О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

II. Тригонометрические функции углов от 90 до 360°.

§ 27. Распространение формул § 12.

Покажем, что соотношения между функциями одного угла, выведенные нами для I четверти, будут верны и дня других четвертей.

Прямоугольнoсть и подобие треугольников ОВС, ODA и ЕОМ, которыми мы пользовались в § 12, существуют не только в I четверти, но и в остальных четвертях (черт. 15 —18), а потому геометрические соотношения, полученные нами в § 12, останутся в силе и теперь. Таким образом, во всех четвертях:

Здесь имеются только абсолютные величины функций, для того же, чтобы вошли самые функции, необходимы еще знаки при абсолютных величинах. Но, просматривая таблицу § 25 по отдельным четвертям, мы видим, что от присоединения требуемых знаков равенства (1) — (5) не нарушатся. Действительно: в равенстве (1) можно в скобках приписывать знаки благодаря четности показателей; равенства (2) и (3) не нарушатся вследствие того, что "частное" знаков, недостающих в первой части, всегда одинаково со знаком, недостающим в левой части¹⁾; равенства (4) и (5) не нарушатся потому, что недостающие знаки всегда одинаковы.

¹⁾ По таблице § 25 видно, где sin и cos имеют одинаковые знаки (в I и III), там tg и ctg положительны, а где sin и cos имеют разные знаки (в II и IV), там tg и ctg отрицательны.

Итак, формулы (I)—(V) (§ 12) распространяются и на углы, большие прямого: это будет верно и для формул (VI) — (VIII) (§ 14), потому что они получаются из них как их  следствие.

Пример. Для наглядности разберем хотя бы один случай более подробно. Выведем, например, формулу ctg α  =  ^{cos α}/_{sin α}  для IVчетверти.

По чертежу 24:

ctg α = — ^ME/_R,    cos α = ^OC/_R   и   sin α = ^BC/_R.       (а)

Так как /\ ОME  /\ ОBС, то   ^ME/_OM= ^OC/_BC   а отсюда

            (b)

Припишем здесь нужные нам знаки: они таковы, что равенство от этого не нарушится [см. (а)], получим^

§ 28. Применение формул (I) — (VIII).

Это применение несколько  отличается  от сделанного в § 15, как   покажут примеры.

Пример 1. Найти соseс α ,  зная, что  α   оканчивается в IV четверти¹⁾  и ctg α = — ¹⁵/₈.

¹⁾Т. е. подвижной радиус угла а находится в IV четверти.

Решение. По формуле (VIII) имеем:

cosec² α = 1 + ctg² α = 1 + (¹⁵/₈)² = ²⁸⁹/₆₄.

Так как  косеканс в IV четверти   отрицателен,  то далее напишем:

Пример 2. Выразить cos α через sin α.

Решение. Из формулы (I) находим cos²α =1 — sin²α, и так как косинус вообще может иметь и положительное и отрицательное значение, а   данных  для   выбора  знака у нас  нет,   то принимаем

cos α = ± √1 — sin² α .

Пример 3. Зная, что tg α = — ³/₄,   найти   остальные   функции.

Решение. Вычисляем по тому же плану, как в § 15, но, определяя sec α, извлекаем теперь корень со знаком и удерживаем оба знака, потому что при отрицательном тангенсе секанс может быть как положительный (IV четверть), так и отрицательный (II четверть); отсюда уже получим соответственно по два знака и в дальнейшем. Окончательно будем иметь:

ctg α = —⁴/₃ ; sec α = ± ⁵/₄;  cos α = ± ⁴/₅; sin α = ± ³/₅; cosec α = ± ⁵/₃,

или, выписывая каждый ответ отдельно:

1) ctg α = —⁴/₃ ; sec α = + ⁵/₄;  cos α = +⁴/₅; sin α = — ³/₅; cosec α = — ⁵/₃

2) ctg α = —⁴/₃ ; sec α = — ⁵/₄;  cos α = — ⁴/₅; sin α = + ³/₅; cosec α = + ⁵/₃

(Первый ответ относится к IV четверти,  а   второй — ко II четверти.)