О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

II. Тригонометрические функции углов от 90 до 360°.

§ 30. Формулы приведения.

Тригонометрические функции углов, больших прямого, легко приводятся к функциям острого угла. Для этой цели служат те два острых угла, которые подвижной радиус образует с горизонтальным и вертикальным диаметрами (эти углы дополнительные); так, если на чертеже 16  /  AOB = 143°, то указанные острые углы суть:
/  NOB = 37° и /  МОВ = 53°, и можно перейти на любой из них. Как это делается, рассмотрим сначала на примерах.

Пример 1. Функции тупого угла привести к его дополнению до 180°.
На чертеже 25 для тупого угла АОВ дополнением до 180° служит острый угол  NOB, величину   которого   обозначим через α; тогда /  АОВ = 180° — α.

Чтобы для угла α составить функции, мы должны сперва отложить его от общего начала ОА; пусть /  АОС =  α. Проведя линии синуса BD и СЕ, получим:

sin(180° — α) = + ^BD/_R и sin α = + ^CE/_R,

так как BD = СЕ, то:

sin (180° — α) = sin α.             (а)

Далее

cos (180° — α) = — ^OD/_R                                (1)

и

cos α = + ^OE/_R ;                               (2)

здесь вторые части, имея равные абсолютные величины (так как OD = OE), различаются знаками; чтобы уравнять их вполне, не изменяя равенства (1), умножим обе части равенства (2) на —1, отчего получим:

— cos α = — ^OE/_R.              (3)

В равенствах (1) и (3) вторые части равны; следовательно:

cos (180° — α) = — cos α.                               (b)

С помощью формул (а) и (b) находим для  остальных функций (по §§ 28 и 12):

Пример 2. Функции тупого угла привести к его избытку над 90°.
На чертеже 26 угол АОВ можно рассматривать как 90° + α, обозначая через α величину угла MOB. Отложив от общего начала /  АОС — α и проведя линии синуса BF и СО, будем иметь:

sin (90°+ α) = + ^BF/_R;                                (1)

cos (90°+ α) =  — ^OF/_R;                           (2)

sin α == + ^CG/_R;                                         (3)

cos α = + ^OG/_R .                                        (4)

Так как BF=OG, то

sin (90° + α) = cos α.                               (a)

Так как OF = CG, то, умножив обе части равенства (3) на — 1, увидим, что

cos (90°+ α) =  — sin α.                            (b)

Из равенств (а) и (b) можно сделать вывод для остальных функций   тем же путем, как в примере 1; получится:

tg(90°+ α) = — ctg α;           ctg(90° + a) = — tg α;

sec (90° + α) = — cosec α;       cosec (90°+ α) = sec α.

Пример 3. Привести ctg(90°+ α) к углу α (не сводя ctg на другие функции того же угла)
(черт. 27).
Проведя для угла АОС линию котангенса МС, получим треугольник МОС, потом отложим угол α от общего начала и составим треугольник,  равный полученному; таким будет треугольник AOD. Далее имеем:  ;

ctg (90° + α) = ^MC/_R;               (1)

MC=AD;                               (2)

tg α = + ^AD/_R;                         (3)

— tg α = — ^AD/_R,                  (4)

Из равенств (1), (2) и (4) следует:

ctg (90° + α)  = — tg α .

Пример 4.   Привести sec (180°+ α)   к углу α. По чертежу 28 имеем:

sес (180° + α) = — ^OD/_R;   (1)

sec α = + ^OD/_R ;                (2)

— sec α = — ^OD/_R .          (3)

Из равенств (1) и (3) следует:

sес (180° + α) = — sec α .

Правила и примеры. Разбор всех случаев (90° ± α, 180°± α, 270° ± α, 360° — а) дал бы нам 42 формулы приведения ( Это название прилагается и к формулам § 17), но все они сводятся к следующему простому правилу:

1)  если приводимая функция имеет отрицательное значение, то надо функцию острого угла умножить на — 1;

2)  название приводимой функции сохраняется, если острый угол взят при горизонтальном диаметре, и меняется  на сходное, если острый угол взят при вертикальном диаметре.

Приложим это правило к примерам:

1) Привести к острому углу tg 130°. Так как 130° = 180° — 50° = 90° + 40°, то привести можно к 50° и 40°. Зная, чт,о tg 130° отрицателен, и помня, что 50° считаются от горизонтального диаметра, а 40° от вертикального, напишем:

tg130°= — tg 50°   и    tg 130° = — ctg 40°.

2)  Привести sec 295° к острому углу, не превышающему 45°.
Имеем: 295° = 360° — 65°= 270° + 25°; следовательно, требуемый угол есть 25°.
Так как   sec 295°   имеет   положительное   значение и 25° считаются от вертикального диаметра, то по правилу   получим : sec 295° = cosec 25°.

3)  Еще примеры:

a) cos (^3π/₂ — α ) = — sin α;                               . .

b) tg 1,2π  = tg (π  + 0,2π ) = tg 0,2π ;

с) sin 240° = sin (180° + 60°) = — sin 60°  = — ^√3/₂ ,

§ 31. Другой вывод формул приведения.

1) Предварительно обратим внимание на то, что отношение тригонометрической линии  к радиусу представляет собой для I четверти всегда полное значение функции, а для остальных четвертей иногда только абсолютную величину функции .Обратимся теперь к чертежу 29.

Сравнивая тригонометрические линии дуг АМС, AMND и AMNDE с тригонометрическими линиями дуги АВ, видим, что они или одни и те же или соответственно равны. Отсюда заключаем, что для дуг 180° — α, 180° + α; и 360° — α  абсолютные величины функций соответственно равны функциям дуги α.

2)  Так как выражения: 180° — α, 180° + α; и 360° — α можно заменить через:
90° + β, 270° — β, 270° + β, а  функции дуги α равны сходным функциям дуги β (как дополнительной),  то на основании п.1 заключаем что для дуг:
90° + β, 270° — β, 270° + β  абсолютные величины функций равны сходным функциям дуги β.

3)  Из равенств (1) и (2) вместе следует: чтобы составить какую-нибудь формулу приведения, надо приводимую функцию выразить с помощью знака и абсолютной величины, заменяя  абсолютную величину функцией острого угла, при этом название приводимой функции следует сохранить, если ее аргумент содержит в своем составе 180° или 360°, и изменить на сходное, если аргумент содержит 90° или  270°.
Так, получим:  sin (180° — α) = sin α; tg (360° — α) = — tg α; cos (270° — β) = — sin β 
и т. д.