О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

IV. Выражение синуса, косинуса и тангенса суммы и разности углов,
двойного угла и половины угла.

§ 54. Доказательство общности формул § 53.

Рассмотрим сначала формулы для суммы, а из них уже легко будет получить формулы для разности. При выводе мы будем пользоваться, между прочим, и формулами приведения, но общность их уже доказана (§ 38). Переходим к самому доказательству.

I. а) Оба слагаемые угла положительны.

1)  Для α + β < 90° формулы доказаны.

2)  Пусть α < 90° и β < 90°; но  α + β > 90°; тогда, полагая α = 90° — α₁ и β = 90° — β₁, будем иметь:

sin (α + β) = sin [180° — (α₁+ β₁)] = sin (α₁+ β₁);

cos (α + β) = cos [180° — (α₁+ β₁)] = — cos (α₁ + β₁).

Так как α₁+ β₁ < 90°, то, применяя к этой сумме доказанные формулы и пользуясь свойством дополнительных углов, получим:

sin (α + β)  = sinα₁ • cos β₁ + cos α₁• sin β₁ = cos α • sin β + sin α • cos β;

cos (α + β) = — cos α₁ • cos β₁+ sin α₁• sin β₁ = — sin α • sin β + cos α • cos β.

Получилось то же самое, что и в § 53.

Из пп. 1) и 2) вместе следует, что формулы (I) и (II) верны для всяких острых углов.

3)  Докажем теперь, что если формулы (I) и (II) справедливы для  каких-нибудь   двух   углов,   то   они   останутся   справедливы   и  тогда, когда к одному из этих углов  прибавим 90°. Обозначим через α и β два таких угла, для  которых  формулы  верны, и положим,  что α + 90° = α₁, тогда:

sin (α₁ + β) = sin [90° + (α + β)] = cos (α + β);

cos (α₁ + β) = cos [90° + (α + β)] = — sin (α + β).

Разлагая здесь cos (α + β) и sin (α + β) на основании условия относительно α и β, получим:

sin (α₁ + β) = cos α • cos β — sin α • sin β;                              (1)

cos (α₁ + β) = — (sin α • cos β + cos α • sin β).                       (2)

Во вторых частях перейдем от α к α₁. Tax как α + 90° = α₁ , то α = α₁ — 90°, или
α = — (90° — α₁), а отсюда:

sin α = — sin (90° — α₁) = — cos α₁;

cos α = cos (90° — α₁) = sin α₁.

Заменяя теперь в равенствах (1) и (2) sin α через (— cos α₁) и cos α  через sin α₁ получим:

sin (α₁+ β) = sin α₁ • cos β — (— cos α₁) • sin β = sin α₁• cos β + cos α₁ • sin β;

cos (α₁+ β) = — [(—cos α₁) • cos β + sin α₁ • sin β] = cos α₁ • cos β — sin α₁ • sin β.

Соотношение осталось то же самое, каксе прeдположено для α.

4) Каждый положительный угол, превышающий 90°, можно получить через последовательное присоединение 90° к острому углу; формулы (I) и (II) для острых углов уже доказаны, а приcoединение 90° к тому или другому углу не нарушает соотношения, как мы только что видели, поэтому формулы будут верны для положительных углов любой величины.

I.  б) Один из слагаемых углов или оба  отрицательны.

Отрицательный угол может быть получен через последовательное присоединение
— 360° к положительному углу; для положительных углов формулы (I) и (II) доказаны, а присоединение — 360° к α или  β или к тому и другому не изменяет ни sin и cos суммы, ни sin и cos отдельных углов, поэтому формулы будут верны и тогда, если один из углов или оба вместе будут отрицательны.

Из пп. 1а)  и  16) следует, что  формулы  (I) и (II) верны при любом значении α и  β.

II.  Случай разности двух углов. Заменяя в формулах суммы β через —β, найдем:

sin (α — β) = sin α • cos(— β)+ cos α • sin (—β) = sin α • cos β — cos α • sin β;

cos (α — β) = cos α • cos(— β) — sin α • sin (— β) = cos α • cos β + sin α • sin β.

Эти формулы, выведенные теперь без ограничений, одинаковы с формулами (III) и (IV) в § 53.

Итак, общность формул (I) — (IV) доказана.