О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

§ 56. От сложения и вычитания двух углов можно последовательно перейти к сочетанию какого угодно числа слагаемых и вычитаемых углов; например:

sin (α  — β + γ) = sin [(α  — β) + γ] = sin (α  — β) • cos γ + cos (α  — β) • sin γ;

далее применяем формулы (III) и (IV).

§ 57. Синус, косинус и тангенс двойного угла.

В формулах для суммы двух углов полагаем β = α ; получим:

sin 2α  = 2 sin α • cos α ;                                (VII)

cos 2α  = cos² α  — sin² α ;                            (VIII)

§ 58. Чтобы разложить тригонометрические функции углов 3α и 4α, представляем их в виде 2α + α и 2(2α). Например:

1)  sin 3α = sin (2α + α) = sin 2α • cos α + cos 2α  • sin α  =
= (2 sin α • cos α) • cos α + (cos² α  — sin² α) • sin α =
= sin α (3 cos² α — sin² α) = 3 sin α — 4 sin³ α;

2)  sin 4α  = sin 2 (2α ) = 2 sin 2α  • cos 2α =
= 4 sin α cos α  (cos² α  — sin² α ).

§ 59. Нередко бывает надобно функции данного угла выразить посредством функции его половины;  для  этого  рассматриваем  целое как удвоенную величину и применяем § 57. Например:

a)  sin α = sin 2(^α/₂)  = 2 sin ^α/₂ cos ^α/₂ ;

b)  cos α = cos 2(^α/₂) = cos^{2 α}/₂— sin^{2 α}/₂.

§ 60. Синус, косинус и тангенс половины угла.

По §§ 12 и 59 имеем следующие равенства:

cos^{2 α}/₂ + sin^{2 α}/₂ = 1;     cos^{2 α}/₂— sin^{2 α}/₂ = cos α

Складывая и вычитая их, найдем:

2 cos^{2 α}/₂  = 1 + cos а   и    2 sin^{2 α}/₂ = 1 — cos α

а отсюда:

Разделив равенство (X) на (XI), получим:

В следующем параграфе будет дана более удобная формула.

Применяя полученные формулы, следует удерживать перед корнем оба знака только тогда, когда нет данных для выбора между ними; в противном случае возьмем один требуемый знак.

Пример. Найти tg ^α/₂, если α содержится между 270 и 360° и cos α = 0,6.  
 Так  как  270° < α < 360°,   то   135° < ^α/₂< 180°; таким образом, угол ^α/₂ —тупой, и tg ^α/₂ имеет отрицательное значение.
Поэтому мы  должны взять

§ 61. О двойных знаках в формулах (X) и (XI). Если дан cos α и значения α ничем другим не ограничены, то определение функции ^α/₂ равносильно их определению для  всех значений  α,  соответствующих данному значению   косинуса.   Пусть   будет   из   них  φ  наименьшее   положительное; тогда  α = ± φ +360° • n, а  следовательно,
^α/₂ = ± ^φ/₂ +180° • n. Концы дуг + ^φ/₂ и — ^φ/₂ находятся в I и IV четвертях; присоединяя 180° • n, мы получим при п четном те же самые концы дуг (т. е. в I и IV четвертях), а при п нечетном — диаметрально противоположные им (т. е. в Ш и II четвертях).

Таким образом, концы дуг ^α/₂ распределятся по  всем четырем четвертям, а потому функции ^α/₂ будут и с положительными, и с отрицательными значениями.

§ 62. Выразим  tg ^α/₂ еще через sin α и cos α. Для этого заменим tg α  через  и
дополним сначала числитель, а потом знаменатель до sin α = 2 sin ^α/₂ cos ^α/₂ ;
получим (по § 59 и 60):

Пример. Применим формулы а) и b) к примеру из §60. Имеем: 270°< α <360° и
cos  α = 0,6; отсюда:

sin  α = — √1 — (0,6)²    = — 0,8.

Таким образом: