О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.

(ГОНИОМЕТРИЯ.)

VI. О тригонометрических уравнениях.

§ 70. Общие замечания. Уравнение называется тригонометрическим, если содержит неизвестное под знаком тригонометрической функции; таковы, например, уравнения:

2sin2x + 3cos x = 0;    sin 5x = sin 4x;    tg (α+ x) = m tg x

(в первом уравнении неизвестное служит аргументом, во втором — входит в состав аргумента, в третьем — то и другое).

От тригонометрических уравнений следует отличать тригонометрические тождества: так называются те равенства, которые справедливы при всех значениях аргумента. Например, в равенстве sin2x + cos2 х = 1 первая часть всегда равна второй: оно есть тождество, а равенство sin2x — cos2 х = 1 верно только для некоторых значений аргумента1); оно есть уравнение.

1)Например, при x = 45° первая часть не равна второй.

Решить тригонометрическое уравнение — значит определить те углы, которые удовлетворяют ему, т. е. делают обе его части равными (эти углы называются корнями уравнения). Для решения надо сначала определить какую-нибудь функцию неизвестного угла, а по ней определим аргумент (обыкновенно с помощью таблиц). Но из § 47 мы знаем, что данному значению функции соответствует бесконечный ряд углов, таким образом, тригонометрическое уравнение (если оно разрешило) имеет бесконечное число корней; обыкновенно находят их общий вид. Пусть, например, решая какое-нибудь тригонометрическое уравнение,   мы   получили    tg 3x = 1.   Этому    значению   тангенса соответствует аргумент такого состава: 45° + 180°• n, где n — произвольное целое число; следовательно, 3x = 45°+ 180°• n, откуда определяем х; деля обе части равенства на 3, получим: x = 15°+60°• n; это и будет общий вид корней данного уравнения.

(Примером неразрешимого уравнения может служить 5sin х =7; из него sin х = 7/5, а это невозможно, так  как  абсолютная  величина синуса должна быть не более единицы.)

Что касается самих приемов решения, то большею частью выгодно приводить уравнение к одной функции, преимущественно к синусу или косинусу, и к одному аргументу; тогда, приняв эту функцию за особое неизвестное, решаем уравнение как алгебраическое и отбрасываем те корни его, которые не могут служить значением определяемой функции. Иногда бывает также выгодно приводить вопрос к обращению в нуль произведения или дроби. Все сказанное поясним на примерах.

§ 71. Примеры.

I. 2 sin2x= 3 sin x.

Решение. Приведя уравнение к виду sin x (2 sin x — 3) = 0, получим:

sin x = 0;    2sin x — 3 = 0,  откуда   sin x = 3/2 .

Второе значение sin x невозможно (так как превышает единицу), а первому значению соответствует х = 180°• n (или х = πn).

II.   2 sin2 х + 3 cos х = 0.

Решение. Заменяя sin2 х через 1— cos2 х, получим:

2 • (1 — cos2 х) + 3 cos x = 0

и затем

cos2 х 3/2  cos х —1= 0,

откуда

cos x = 3/2  ±  ;   cos x1 = 2    и    cos x2 = — 1/2.

Первое   значение  для   cos x  невозможно,   а   взяв    cos x = — 1/2, получим:

x = 360°• n ± 120° (или x = 2πn ±  /3).

III.   ctg (270° — x) = 3 ctg x.

Решение. Заменяя ctg (270° — х) и ctg х соответственно через tg х и 1/tg х, будем иметь  tg х = 3/tg х , откуда tg x = ± √3 .

Оба полученные значения для tg x пригодны: если tg x1 = √3 , то x1 = 60° + 180°• n; если tg x2 = — √3 , то x2 = — 60° + 180°• n. Таким образом, вообще:

x =180°• n ± 60° ,    или    х = πn ± π/3.

IV.  tg (α + х) = т tg х, где α и m предполагаются  известными.

Решение. Разложив tg (α + х), находим последовательно:

V.  sin x — cos x =

Решение. Здесь выгодно заменить  первую часть произведением (ср. в § 64 пример 4):

sin x — sin (90° — x) = ;  2 cos 45°• sin (x— 45°) = ;

2 sin (x— 45°) = ;   sin (x — 45°) = 1/2.

Отсюда:

x— 45° = 30°+ 360°• n   и    150° + 360°• n,

а следовательно, x =75°+ 360°• n и 195° + 360°• n или x = 5/12 π + 2πn    и  13/12 π  + 2πn.

VI.  sin2 x — 2sin x • cos x = 3cos2 x.

Решение. Разделив обе части на cos2 x, получим:

tg2 x —2 tg x = 3,

откуда tg x  = — 1 и 3; соответственно этим значениям tg x  найдем:

x1 = 135°+180°• n или x1= — 45° + 180°• m и x2 = 71°33'54"+180°• n.

VII.  sin 5x = sin 4x.

Решение.   sin 5x — sin 4x = 0;      2 sin x/2 • cos 9x/2 = 0;   далeе: sin x/2 = 0,  
откуда x/2 = 180°• n   и,    следовательно,    x =360°• n,

cos 9x/2 = 0, откуда  9x/2 = 90° + 180° • n и, следовательно, x = 20° + 40°• n.

Итак,

x = 360°• n ;  20° + 40°• n.

VIII.  a • sin x = b • cos2  x/2.

Решение.

a • 2sin x/2 cos x/2 = b • cos2  x/2;   cos x/2 (2a • sin x/2 — b • cos x/2) = 0,

отсюда:

1) cos  x/2= 0;   2) 2a • sin x/2 — b • cos x/2 = 0, откуда tg x/2 = b/2a .

IX.  tg 5x = tg2x.

Решение.  Приведя   уравнение   к   виду   tg 5x — tg 2x = 0   и применяя §67,  получим:

;   

это   дает   sin 3x = 0, откуда 3x = 180°• n  и, следовательно, x =60°• n.

X.  a • sin x +  b • cos x = c.

Решение. 1-й способ. Так как sin x и cos x выражаются друг через друга иррационально, то, сначала уединив a • sin x  (или b • cos x), возводим обе части в квадрат и тогда заменяем уже sin2 x (или cos2 x).

2-й способ.  Воспользуемся тем, что sin α  и  cos α   выражаются рационально  через

tg α/2, а именно:

1) Взяв sin α = 2 sin α/2 • cos α/2  и  cos α  = cos α/2 — sin α/2, делим вторые части на
cos2 α/2 + sin2 α/2 (что равно 1), а затем числителя и знаменателя делим на coscos2 α/2.

Если сделать такую  замену, в нашем уравнении,  то  получим уравнение квадратное  относительно tg x/2 , из которого и   найдем:

Отсюда, между прочим, видно, что условие возможности задачи есть: a2 + b2 > c

Если для функции искомого угла получается выражение буквенное, как, например, в данном случае, то оно и считается окончательным ответом; необходимо только исследовать, при каких значениях входящих в ответ букв полученное для тригонометрической функции значение возможно.

3-й способ. При сложных числах предыдущий способ затруднителен, и тогда решают данное уравнение посредством вспомогательного угла следующим образом:   
разделив обе части уравнения на b и полагая a/b = tg φ, будем иметь:

tg φ • sin х + cos x = c/b ;

умножая теперь обе части на cos φ, получим:

cos (х — φ) =  c/b cos φ.

Используются технологии uCoz