О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТАБЛИЦАХ.

VII. Понятие о составлении тригонометрических таблиц.

§ 73. Покажем, как для всякого угла могут быть найдены приближенные значения его тригонометрических функций.

Тригонометрические функции всякого угла приводятся, как мы знаем, к функциям положительного угла, не превышающего 45°; все тригонометрические функции можно вычислить по одной из них, например по синусу; из этого следует, что для нашей цели достаточно указать способ, каким можно было бы вычислить синус каждого из углов, содержащихся между 0 и 45°.

Один из способов основан на том, что при очень малом угле можно без значительной погрешности линию синуса заменить дугой.

Пусть, например,  на чертеже 39 /  AOB =10'. По определению синуса должно быть
sin 10' = ^BC/_R, а   указанный способ состоит в том, что вместо ^BC/_R мы берем  ^AB/_R.

Для вычисления этого отношения мы имеем:

.       

подставляя сюда значение  π, получим:

^AB/_R = 0,002908882...

Это число и послужит приближенным значением sin 10'.

Так как величина отношения ^AB/_R есть радианное   выражение дуги, можно сказать, что синус очень малого угла мы заменяем радианной мерой соответствующей дуги.

По этому способу мы начнем вычисление с достаточно малой доли данного угла и будем увеличивать угол постепенно, примeняя формулы, относящиеся к двойному углу и к сумме углов.

В §§74 — 76 будут доказаны три теоремы: из них вторая оправдывает замену очень малого синуса дугой (выраженной в радианах), а третья позволяет судить о погрешности при такой замене.

§ 74. Теорема. Дуга, меньшая  ¹/₂ π , более своего синуса и менее своего тангенса.

Пусть имеем: 0 <  а < ¹/₂ π , где а есть  радианное  выражение угла; требуется доказать, что sin a <  a < tg a.

Доказательство. По чертежу 39, проведя вспомогательную хорду АВ, имеем: площадь /\ ОВА< плошади сектора ОАВ < площади /\ ODA, или, взяв выражения этих площадей,

¹/₂OA• BC < ¹/₂OA • AB < ¹/₂ OA• AD.

Отсюда

BC < AB <AD,

а деля каждую часть на  R:

^BC/_R < ^AB/_R < ^AD/_R

т. е. sin a < a < tg a.

§ 75. Теорема. Если угол стремится к нулю, то отношение синуса к радианной мере угла имеет пределом единицу.

Нам надо доказать, что ,   где а есть радианная мера угла.

Доказательство. По § 74 имеем:

sin a < a < tg a                                    (1)

Разделив sin а на   каждую  часть  этого   неравенства,   получим:

1 < ^{sin a}/_a < cos a.                                    (2)

Если угол а стремится к нулю, то cos а стремится к единице; таким образом в неравенстве (2) третья и первая части неограниченно сближаются по величине, а следовательно, неограниченно сближается и вторая часть с первой, т. е. предел отношения ^{sin a}/_a есть единица.

§ 76. Теорема. Для острого угла разность между радианной мерой  и  синусом   менее  четверти  куба радианной  меры.

Пусть   а — радианная   мера   угла,   причем   0 < а <  ¹/₂ π  тpебуется доказать, что
.

Доказательство. Начнем с неравенства  ^a/₂ < tg ^a/₂  ( применяя § 74 к дуге ^a/₂). Умножив обе части на 2 cos^{2 a}/₂ ,   получимг a • cos^{2 a}/₂ < 2 sin ^a/₂ • cos ^a/₂.  
Откуда: a ( 1 — sin^{2 a}/₂) < sin a, а   отсюда a — sin a < a • sin^{2 a}/₂ .
Заменяя  теперь sin ^a/₂  большей   величиной ^a/₂ (§74), мы будем иметь окончательно:
.

§ 77. Применяя способ, указанный выше (с некоторыми упрощениями), можно составить так называемые таблицы натуральных тригонометрических величин, а взяв логарифмы найденных чисел, получим те логарифмические таблицы,   которыми   пользуютсяв   тригонометрических   вычислениях.

Замечание. В предыдущем доказана только возможность составления тригонометрических таблиц. Что же касается того, как они были составлены на самом деле в первый раз, то заметим лишь, что примененные тогда приемы были весьма сложны.