О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТАБЛИЦАХ.
VIII. Тригонометрические таблицы.
§ 78. Дадим краткое объяснение таблиц тригонометрических функций, приведенных в книге В. Брадис, "Четырехзначные математические таблицы".
Таблица IX содержит значения синусов и косинусов для всех острых углов, содержащих целое число градусов и минут. Для отыскания синуса надо найти слева данное число градусов, а сверху — данное число минут; на пересечении соответствующей строчки и столбца находится искомый синус.
Примеры, sin 20° 12' = 0,3453 ; sin 75°48' = 0,9694.
Обратно, при отыскании угла по синусу нужно найти данное значение синуса и слева взять градусы, а сверху — минуты.
sin x = 0,8949; x = 63°30'.
При отыскании косинуса надо градусы брать справа, а минуты снизу, например:
cos 35°42' = 0,8121.
Минуты в этой таблице даны через 6'. Для вычисления функций промежуточных углов надо пользоваться поправками на 1, 2 и 3 минуты в столбике справа. Например:
sin 34°15' = 0,5628
(к sin 34°12' прибавлена поправка на 3', равная 7).
Так как при увеличении угла синус увеличивается, а косинус уменьшается, то для синуса поправка прибавляется, а для косинуса — вычитается.
Таблица X содержит значения тангенсов и котангенсов для углов от 0 до 81°. Пользоваться этой таблицей надо так же, как таблицей IX.
Таблица XI содержит значения тангенсов и котангенсов для углов от 81 до 90° и котангенсов для углов от 0 до 9°; в этих интервалах тангенс и котангенс меняются особенно быстро. В этой таблице углы отличаются на 1'; поправок находить не надо.
§ 79. Таблицы XII, XIII, XIV, XV и XVI содержат логарифмы тангенсов, котангенсов, синусов и косинусов. Устройство этих таблиц ничем не отличается от описанных натуральных таблиц.
Примеры.
lg sin 20°18' = 1,5402;
lg cos 26°48'= 1,9506,
lg tg 61°54'= 0,2725;
lg ctg 18°30' = 0,4755.
§ 80. Употребление пятизначных таблиц логарифмов.
Опишем устройство таблиц Пржевальского.
В этих таблицах на стр. 62—151 стереотипного издания содержатся логарифмы синуса, косинуса, тангенса, котангенса острых углов, причем углы идут, через 1', а логарифмы даны с точностью до 1/2 стотысячной.
Отрицательные характеристики для удобства при печатании увеличены на 10, так что характеристика 9 обозначает 1, характеристика 8 обозначает 2 и т. д.
Числа градусов более 45° напечатаны внизу страницы; когда берутся эти числа, то минуты берутся справа, а названия функций — снизу.
Если угол содержит секунды, то к табличному логарифму делается поправка. Эта поправка вычисляется с помощью пропорции, так как небольшие изменение угла и небольшие изменения логарифма приблизительно пропорциональны.
Пример 1. Найти lg sin 34°16'43".
Решение. На стр. 130 находим:
lg sin 34°16'=1,75054.
Выписываем табличную разность D = 19. Составляем пропорцию:
x : 19 = 43": 60",
где х — искомая поправка логарифма, соответствующая 43".
Находим:
х = 19 • 43/60 ≈ 14
Итак,
lg sin 34°16'43" = 1,75068.
Для нахождения поправки можно пользоваться табличками, помещенными сбоку каждой страницы.
В приведенном примере по табличке сначала берем поправку на 40" (получится 12,7) и потом на 3" (получится 0,95), всего будет приблизительно 14.
Действие надо располагать так:
§ 81. Случай очень большой табличной разности. Находя поправку к табличному логарифму или табличному углу, мы принимали, что изменения угла и изменения логарифма пропорциональны, но на самом деле это справедливо только приблизительно; если бы это было верно вполне, то для одной и той же функции все табличные разности были бы равны между собой, чего однако нет, хотя вообще они меняются и очень медленно. Но на первых страницах таблицы для синуса, тангенса и котангенса очень малых углов (а следовательно, для косинуса, котангенса и тангенса углов, близких к 90°) логарифмические разности изменяются очень быстро, а потому в этих случаях предыдущий способ для вычисления поправки ненадежен. Приводим пример.
По обычному способу найдем:
lg sin 22'48" = 7,80615 — 10 + 0,01930 x 8/10 = 7,82159 — 10,
между тем как в более полных таблицах показано: lg sin 22'8" = 7,82166—10; таким образом, обычный способ вычисления поправки здесь оказывается грубым (разница достигает 7 стотысячных).
По указанной причине в случае очень большой табличной разности (например для синуса и тангенса углов менее 2°) употребляют другой прием, а именно: принимают, что синусы и тангенсы очень малых углов пропорциональны самим у г л а м (а остальные случаи сводят на это же).
Покажем этот прием на примерах.
Пример 1. Мы находим lg sin 22'48". Применим новый способ. Будем иметь:
sin 22'48"/sin22' = 22'48"/22' или sin 22'48"/sin22' = 22,8/22
отсюда:
lg sin 22'48" = lg sin 22' + (lg 22,8 — lg 22) =
= 7,80615 — 10 + (1,35793 — 1,34242) = 7,82166 — 10,
что согласно с более полными таблицами.
Пример 2. Найти lg tg 88°56'20".
По обычному способу получается 1,73232, а должно быть (по полным таблицам) 1,73231. Применим теперь новый способ.
Имеем
Произведя вычисление, получим:
а) lg tg l°3'40" = 8,26312 — 10 + (2,28103 — 2,27646) = 8,26769 — 10;
б) lg ctg l°3'40" = 0 — lg tg l°3'40" == 1,73231,
что и должно быть (по полным таблицам).
Пример 3. Дано: lg ctg α = 2,20443; требуется найти α.
По обычному способу получим α = 21 '29". Применим новый способ.
Берем lg tg α = lg 1 — lg ctg α = 7,79557—10; ближайший меньший логарифм в таблице есть 7,78595, н ему соответствует угол 21"; составим пропорцию:
α/21' = tg α/tg 21'
полагая теперь α = х", получим:
x/1260 = tg α/tg 21'
откуда:
lg х = lg 1260 + (lg tg α — lg tg 21') = 3,10999.
Найдя целое число, наиболее подходящее к этому логарифму, будем иметь α =1288. Итак, α = 1288" = 21'28", Тот же самый угол получается и по более полным таблицам.
§ 82. Степень точности при определении угла по пятизначный таблицам. Для того чтобы два логарифма какой-нибудь тригонометрической функции различались между собой на 0,00001, надо, чтобы соответствующие им углы отличались один от другого на 60''/d , где d означает величину табличной разности (в стотысячных долях); если же разность двух углов будет меньше 60''/d, то соответствующие логарифмы будут различаться менее чем на 0,00001, и следовательно, при ограничении пятью десятичными знаками они окажутся равными. Отсюда следует, что ошибка в определении угла по логарифму может доходить до 60''/d.
В случае синуса до 12° имеем d >60, а следовательно, величина 60''/d менее 1"; затем она начинает возрастать, при 85° достигает 1', а при углах, близких к 90°, один и тот же логарифм соответствует уже нескольким углам, так что здесь колебание в угле может достигать нескольких минут. Таким образом, по синусу, а следовательно, и по косинусу, углы определяются с малой точностью; особенно же неточно определяются: по синусу — углы, близкие к прямому, а следовательно, по косинусу — углы, близкие к нулю.
.Логарифмы тангенса и котангенса дают бо'льшую степень точности что с изменением угла тангенс и котангенс изменяются гораздо быстрее, чем синус и косинус, так что табличная разность их логарифмов (общая) всегда более соответствующей разности для синуса или косинуса. В случае тангенса и котангенса всего хуже определяются углы, близкие к 45°, но и там возможная ошиока остается менее 60''/25, т. е. менее 2,4 .