ОТДЕЛЕНИЕ IV.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

§ 1.Преобразование   многочленов  в  произведение без посредства  формул  сокращенного  умножения и деления.

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то можно разделить весь многочлен на этот множитель и обозначить умножение того же множителя на полученное многочленное частное. От этого данное выражение не изменит своего количественного значения, но примет форму произведения. Например, двучлен аb+ас можно представить в виде а(b+с).

Такое преобразование формы называется вынесением общего множителя за скобки. Производя это действие, следует заботиться выносить.за скобку все, что можно, так чтобы в членах частного, заключаемого в скобки, не оставалось больше никакого общего множителя.

Иногда при вынесении за скобку придают общему миожителю знак минус. В таком случае члены частного в скобках пишутся со знаками, противоположными тем, какие имели перед собой члены данного многочлена. Отрицательный знак общего множителя относится при этом ко всему произведению. Напр., двучлен —аb+ас может быть представлен в виде (—а)(b—с), а вместо этого пишут —а(b—с), причем минус относится уже не к одному множителю а, но ко всему произведению.

ответы

Когда члены многочлона не имeют общего множителя, то иногда удачной группировкой членов в нeсколько групп, содержащих по нeсколько члeнов в каждой грусшe, находят в этих образовавшихся группах общий и притом многочленный множитель. Нерeдко для такой группировки оказывается достаточным заключить нeсколько членов в скобки со знаком +, или со знаком —.

Напр., имeя трeхчленное выражение а(b+с)+b+с мы заключаем два послeдние члена в скобки с плюсом и находим выражение а(b+с)+(b+с), которое можно рассматривать как двучлен и котороe преобразовывается в произведоние (а+1)(b+с).

Подобно этому в выражении а(b—с)—b+с заключаем два послeдние члена в скобки с минусом, отчего выражение примет вид   а(b—с)—(b—с), а  затeм преобразуется в произведение (а—1)(b—с).

ответы

В большинствe случаев, встрeчающихся на практикe, требуется для открытия общего многочленного множителя не только соединить члены данного многочлена в группы, но еще вынести в этих группах общий одночленный множитель, различный для каждой. группы. При удачном выборe групп и при обязатeльном условии выносить за скобку все, что можно, общий множитель всего данного многочлена легко обнаруживаeтся.

Напр., имeя многочлен а³+а²b+2аb²+2b³, соединяем первыe два члена в одну группу и послeдниe два в другую и выносим в первой группe за скобки а² и во второй 2b²; получим а²(а+b)+ 2b²(а+b) или (а+b)(а²+2b²). Того жe результата можно достигнуть, вынося в пeрвом и трeтьем членах множитeль а, а во втором и четвeртом множитель b.

Подобно этому, соeдиняя в многочленe 3а³—3а²b—аb²+b³ пeрвый член с третьим и второй с четвeртым и вынося в пeрвой груапe множитeль а, а во второй множитeль— b, получии а(3а²—b²)—b(3а²—b²) или (а—b)(3а²—b²). Тот жо результат оказался бы при вынесении из пeрвых двух члонов за скобки 3а², а из послeдних двух —b².

Нужно замeтить, что подобного рода преобразования отличаются большим разнообразием, в особенности при соединeнии их с другими алгебраическими дeйствиями. Поэтому нельзя дать для этих преобразований общих и вполнe опродeленных  правил; навык в них приобрeтается лишь обстоятельным и мeтодическим упражнeнием.

ответы

Иногда, преждe чeм группировать члeны мкогочлена для вынeсения в нeм многочлeнного множителя, требуeтся разложить нeкоторыe из членов в алгебраическую сумму новых членов, подобных разлагаемым. В таком случаe части разложенных членов относятся при группировкe к различным группам. Примeним способ разложения к преобразованию трехчленных выражeний.

Чтобы преобразовать трехчлен х²+5х+6, разлагаем член 5х в сумму членов 2х и 3х. Таким образом получим:

х²+5х+6= х²+2х+3х+6= х(х+2)+3(х+2)==(х+2)(х+3).

Для преобразования трехчлена х²+2х—15, разлагаем член +2х в сумму членов +5х и —3х  Найдем:

х²+2х—15= х²+5х— 3х—15= х(х+5)—3(х+5)==(х—3)(х+5).

Существует общее правило, указывающее, когда возможно преобразованиe трехчленов ппдобного вида в произведение, и как производить такое преобразование. Для вывода и уяснeния этого правила нужно только разложить четыре вида трехчлена х²± (а+b)х +аb и х²± (а—b)х —аb, взяв каждый из них отдeльно и начав прeобразованиe с раскрытия скобок. Тогда окажется, что в произведение преобразовываются тe трехчлены, у которых пeрвый коэффициент при х² есть единица, второй коэффициент при х какой угодно, а третий коэффидиeнт или член, нe содержащий х  есть алгебраическое произведение тeх самых количеств, на алгeбраическую сумму которых разлагается второй коэффицинт. Так, в трехчленe х²+5х+6 коэффициент 5 есть сумма чисел 3 и 2, а 6 eсть произвeдениe тeх жe чисел, в трехчленe х²+2х—15 коэффициeнт  —2 есть сумма количеств —5 и +3, а —15 есть произведение тех жe количеств. Чтобы произвести прeобразованиe трехчлена, когда оно возиожно, нужно по знакам и числовым величинам третьего и второго коэффициента подыскать способ разложeния трeтьего коэффициeнта в произвeдeниe двух количеств, а второго в сумму тeх жe количеств. Рассмотрим примeры:

Пусть, напр., дан трехчлеч х²—11х+24. Так как коэффициент 24 положитeлен, то искомые производитeли eго должны имeть одинаковыe знаки. Судя по тому, что второй коэффициент —11 отрицатeльный, видим, что эти производитeли коэффициента 24 или слагаeмыe коэффициента —11 оба отрицатeльны. Наконец, разлагая 24 на два отрицательных множителя и сравнивая сумму их с — 11, убeдимся в том, что для преобразования трeхчлeна в произвeдение нужно разложить средний член — 11х на члены —3х и — 8х.

Положим еще, что дан трехчлен х²— 7х—30. Здeсь коэффициент —30 отрицательный; поэтому производители его имeют разные знаки. Коэффициснт —7 отрицательный; слeдовательно, при составлении его сложением берет перевeс отрицательное слагаемое, имeющее таким образом большую числовую величину. Поэтому член — 7х нужно разложить на члены —10х и +3х.

В произведение прeобразовываются такжe нерeдко трехчлены, у которых первый коэффициeнт нe есть единица. Для таких преобразований не будeм указывать тепeрь общего правила, вывод которого требует болee сложных рассуждений.

ответы

Развивая выше рассмотрeнный способ преобразования трехчленов в произведение, можно разлагать многочлены высших степеней в тeх случаях, когда они представляют произведения простeйпшх двучленов первой степени. Для упрощения подобных преобразований полезно выяснить слeдующее замeчание: положим, что какой-либо многочлен содержит множителем нeкоторый двучлен х + а. Так как двучлен этот, при замeнe х через —а, обращается в нуль, то многочлен, содержащий х+а множителем , должен также обращаться в нуль при этой замeнe. Подобно этому если многочлен содержит множителем двучлен х—а, обращающийся в нуль при замeнe х через а, то и сам  многочлен обращается в нуль при той же замeнe. Справедливо и обратное заключение: если многочлен, содержащий разные степени х, обращается в нуль при замeнe х через —а или через а, то он навeрноe дeлится в первом случаe на х+а, а во втором на х—а, потому что обращение многочлена в нуль при одной из указанных подстановок может быть объяснено только тeм, что в состав многочлена входит соотвeтствующий двучленный множитель. Вышеуказанные замeчания дают простое средство для открытия в многочленe двучленного множителя, а затeм этот множитель может быть вынесен за скобки посредством разложения средних членов многочлена в алгебраические суммы.

Возьмем, напр., многочлен х³+6х²+11х+6. Он обращается в нуль при замeнe х через —1 и потому дeлится на х+1. Зная этот множитель наперед, мы облегчаем себe разложение членов в суммы тeм, что опредeленно подбираем к каждому члену, начиная с высшего, часть слeдующего члена так, чтобы пара группируемых членов содержала множителем х+1. Поэтому преобразование ведется слeдующим образом:

х³+6х²+11х+6 = х³+х²+5х²+5х+6х+6= х²(х+1)+ 5х(х+1)+ 6(х+1)= (х+1)(х²+5х+6) =
= (х+1)(х+2)(х+3)

ІІодобно этому замeчаем, что многочлен х³—4х²—11х+30 обращаeтся в нуль при замeнe х через 2 и слeдовательно дeлится на х—2. Поэтому выполняем преобразование так:

х³—4х²—11х+30 = х³—2х²—2х²+4х—15х+30 = х²(х—2) —2х(х—2)—15(х—2)=
=(х—2)(х²—2х—15)=(х—2)(х+3)(х—5).

Первоначальный подбор множителя облегчается тeм, что в многочлен требуется подставлять талько тe количества,  числовая величина которых входит множителeм в послeдний член многочлена. Это обнаруживается при рассмотрeнии многочлена, выражающего общий вид произведения (х+а)(х+b)(х+c) . Последний член этого многочлена есть abc.

ОТВЕТЫ