ОТДЕЛЕНИЕ V.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ .

§ 7.  Употребление отрицательных показателей.

Дробныe выражения можно преобразовывать по тем же правилам, какие известны для целых выражений. Такое распространение прежних правил основано на расширении понятия о показателе степени.

Показатели степени могут быть положительные, нулевые и отрицательные. Известно, что когда показатоль п есть чпсло целое и положительное, то степень а^п есть произведение п множителей, равных основанию а, т.-е. а^п = а • а ...• а. Степень с отрицательным показателем а^—п имеет совсем другое значение, именно , т.е. такая степень выражает количество,  обратное   предыдущему а^п; так, напр., имеем , а  степень с нулевым показателем а⁰ представляет единицу всегда, каково бы ни было основание а.

311. Вычислить:

311.Вычислить:

312.Вычислить:

312.Вычислить:

Определить количественные значения выражений:

ответы

В следующих выражениях уничтожить степени с нулевыми и отрицательными показателями и затем упростить, где можно, полученные результаты:

ответы

Представить нижеследующие дроби в виде целых выражений, вводя степени с отрицательными показателями:

ответы

Свойство обратности степеней с равнопротивоположными показателями можно выразить в формe слeдующих  двух   положений:

Всякая степень с отрицательным показателем равна единицe, раздeленной на подобную же степень с положительным показателем, как-то ; и обратно, всякая степень с положительным показателем равна единицe, раздeленной на подобную же степень с отрицательным показателем, как-то

Основываясь на этих положениях, а также на правилах умножения и дeления дробей, находят слeдующее правило для преобразования дробных выражений,  числители и знаменатели которых представляют произведения степеней с положительными или отрицательными показателями: во всякой подобной дроби можно перeнести любой множитель из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель, перемeнив только знак показателя в этом множителe на противоположный.

В каждом из слeдующих выражений сдeлать послeдовательно чeтыре преобразования, именно: 1) привести знаменатель к единицe, 2) привести числитель к единицe, 3) уничтожить всe стeпени с отрицательными показателями, 4) унитгожить всe степени с положительными показателями:

ответы

При умножении и дeлении степеней с отрицатeльными показателями они подчиняются тeм жe правилам, какие извeстны для степеней с положительными показателями, т. e. при умножении степеней показатели алгебраически складываются, а при дeлении алгебраически вычитаются. Поэтому, когда требуется произвести дeйствия с выражениями, содержащими отрицательные показатели, то нeт надобности исключать подобные степени, выражая их через обыкновенныя степени с положитeльными показателями. Только в окончательных рсзультатах дeйствий, когда выражение результата окончательно упрощается, нужно уничтожить в них всeх отрицательные показатели.

Произвести в слeдующих выражениях показанные действия и освободить результаты от отрицательных показателей:

ответы

ответы

ОТВЕТЫ