ОТДЕЛЕНИЕ VI.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 1.  Пропорции.

Разность двух количеств а—b называется также разностным отношением первого количества ко второму. Частное от деления двух количеств а : b называется иначе кратным отношением первого ко второму. В обоих случаях первое количество а называется предыдущим членом отношения, а второе b последующим членом отношения.

Найти разностное отношение количеств:

1. а + b   и  а—b                       1. а—b и а + b

2. а2—b2 и а2 + b2                    2. а2 + b2   и  а2—b2

ответы

6. Найти разностное отношение  а— х   к   х—b полагая  

6. Найти разностное отношение  х + а  к  b — х  полагая   

Найти кратное отношение количеств:

7. а2—b2 и  а + b                                           7. а2—b2  и а + b

8. а31  и  а — 1                                          8. а3 +1  и  а +1

12. Найти кратное отношение  а + х к  b — х  полагая   

12. Найти кратное отношение  а— х   к   х—b полагая  

Равeнство двух разностных отношений называется разностной пропорцией; общий вид ее есть а—b = с—d.

Равенство двух кратных отношений есть кратная пропорция; ее общий вид а : b = с : d.

Количества а, b, с, d называются членами пропорций притом а и d называются крайними членамн, b и с средними.

Главное свойство разностной пропорции то, что в ней сумма крайних членов равна суммe средних.—Обратно, если дано равснство а + d = b + с , то количества а,b,с и d  разностно пропорциональны, т.-e. из них можно составить пропорцию указаннаого вида.

Главное свойство кратной пропорции то, что в ней произведениe крайних члeнов равно произведению средних. Обратно, если дано равeнство аd = bс , то количества а,b,с и d кратно пропорциональны, т.-e. из них можно составить кратную пропор-дию указаннаго вида.

На указанных свойствах основана между прочим повeрка пропорций, которую можно производить двумя способами—или вычисляя отдeльно оба отношения данной пропорции для сравнения их, или составляя отдeльно в разностной пропорции—суммы, а в кратной произведения крайних и средних членов, для сравнения этих обeих сумм или произведений.

В разностной пропорции каждый крайний член равен суимe средних членов бeз другого крайнего, каждый средний член равен суммe крайних членов без другого среднего.

В кратной пропорции каждый крайний член равен произведению средних, дeлeнному на другой крайний, каждый средний члeн равен произведению крайних, дeленному на другой средний.

На этом  основано  рeшение  пропорций  или  опредeление  одного неизвeстнаго члена по трем извeстным.

Провeрить пропорции:

ответы

Решить пропорции:

ответы

Главныяе свойства каждого равенства и в том числе пропорции состоят в том, что к обеим частям равенства можно прибавить или из них вычесть равные между собою количества, а также обе части равенства можно умножить илци разделить на равные между собой количества. Из этих свойств выводятся следующие важные практическик правила:

Если части равенства представляют многочленные суммы или разности, то каждый член одной части равенства можно перенести в другую часть, сделав его вместо слагаемого вычитаемым и наоборот, или, говоря короче, переменив у переносимого члена его знак.

Пример     Применяя это общее правило к разностной пропорции а—b = с—d, находим, веренося члены: b и с, пропорцию а—с = b—d., подобно этому,  перенося члены а и d, пропорцию d—b = с— а, и, наконец, перенося во второй пропорции а и d, или в третьей b и с, пропорцию d—с = b— а. Совокупность этих четырех пропорций, которые все соответствуют одной и той же сумме средних и крайних а + d = b + с доказывает, что во всякой разностной пропорции можно перемещать взаимно средние члены, или крайние члены, или те и другие вместе.

Если части равенства представляют одночленные произведения или частные, то каждый множитель или делитель одной части равенства можно перенести в другую часть, сделав его вместо множителя делителем и наоборот.

Пример. Примняя это общее правило к кратной пропорции а: b=с: d, иаходим, перенося количества b и с, пропордию а : с= b : d перенося количества а и d пропорцию d:b = с:аи, наконец, перенося во второй пропорции а и d, или в третьей b и с, пропорцию d:с=b:а. Совокупность этих четырех пропорций, которые все соответствуют одному и тому же произведению средних и крайних аd = bс, показывает, что во всякой кратной пропорции можно перемещать взаимно средние члены, или крайние члены, или те и другие вместе.

Вышоприведенные примеры представляют только весьма частные случаи преобразования пропорций. Основываясь на указанных главных свойствах равенств, можно производить очень разнообразные преобразования пропорций. Всякая пропорция, выведенная из данной пропорции посредством  какого-нибудь преобразования последней называется производной от данной пропорции. Данная пропорция и всякая производная от нее называются совместными пропорциями.

В нижеследующих задачах предыдущие объяснения применяются к преобразованиям одних только кратных пропорций:

Представить следующие равенства в виде пропорций:

ответы

41. Прибавляя к обеим  частям  пропорции a/b= c/d по единице, показать, что в данной пропорции сумма членов первого отношения так относится к первому последующему, как сумма членов второго отношения ко второму последующему. Выразить словами те новые пропорции, которые получаются из упомянутой первой производной пропорции через различные перемещения членов.

41.  Вычитая из обеих частей пропорции a/b= c/d по единице, показать, что в данной пропорции разность членов первого отношения так относится к первому последующему, как разность членов второго отношения ко второму последующему. Выразить словами те новые пропорции, которые получаются из упомянутой первой производной пропорции через различные перемещения членов.

42.  Переместив в пропорции a/b= c/d  средние члены, показать,что в данной пропорции сумма предыдущих так относится к предыдущему, как сумма последующих к последующему. Выразить словами другие производные пропорции, получаемые через перемещения членов.

42. Переместив   в   пропорции a/b= c/d средние члениы, показать, что в данной пропорции разность предыдущих так относится к предыдущему, как разность последующих к последующему. Выразить словами другие производные пропорции, получаемые через перемещения членов.

43. Показать, что  если дана пропорция a/b= c/d  то верна  также пропорция   ,  т.-е. сумма членов первого отношения, умноженных на какие угодно количества, так относится к первому последующему, как сумма членов второго отношения, умноженных на те же количества. относится ко второму последующему.

43.  Показать, что ссли дана пропорция a/b= c/d то верна также пропорция , т.е   разность  членов  первого  отношения, умноженных на какия-нибудь количества, так относится к первому последующему, как разность членов второго отношения, умноженных на те же количества, отиосится ко второму последующему.

44.  Показать,   что   из   пропорции  a/b= c/d  выводится   пропорция т.е. что сумма предыдущих, умноженных на произвольные количества, так относится к сумме последующих, умноженных на те жое количества, как один из предыдущих к своему последуюшему.

44.  Показать,   что    из   пропорции a/b= c/d   выводится   пропорция т.е. что разность предыдущих, умноженных на произвольные количества, так относится к разности последующих, умноженных на те же количества, как один из предыдущих к своему последующему.

45.  Последовательно  применяя   вывод   задачи   42-й,   показать, что  при  существовании   ряда   равных    отношений обнаруживается пропорция ,  которую и выразить словами.

45.  Последовательно применял выводы задач 42-й и 42-й, показать, что при существовании ряда равных отношений обнаруживается пропорция ,  которую и выразить словами.

46.  Последовательно применяя  вывод   задачи  44-й,   показать, что  из  ряда  равных отношений  вытекает пропорция  

46.  Последовательно применяя  выводы  задач  44-й и 44-й, показать, что  из  ряда  равных отношений  вытекает пропорция  

47.  Исходя из основного  свойства  всякой  пропорции, показать,  что   если  дана пропорция    , то количества а,b,c,d  пропорциональны.

47.  Исходя из основного  свойства всякой пропорции, показать, что если дана пропорция  , то количества а,b,c,d  пропорциональны.

48.  Показать, что если дана пропорция   , то количество b есть среднее пропорциональное между а и с.

48.  Показать, что если дана пропорция  , то количество b есть среднее пропорциональное между а и с.

49.  Показать,  что   равенство  обусловливает пропорциональность количеств а,b,c,d .

49.  Показать,  что   равенство   обусловливает пропорциональность количеств а,b,c,d .

50.  Показать. что равенство  обусловливает непрерывную пропорцию между количествами а,b,c.

50. Показать, что равенство  обусловливает непрерывную пропорцию между количествами а,b,c.

Если дано несколько каких-нибудь равенств. напр., пропорций, то можно складывать эти равенства по частям, или вычитать части одно равенство из частей другого.

Пример. Положим,что даны две разностные пропорции а—b = с—d и ,т—b = п—d, у которых последующие члены саответственно равны. Вычитая вторую пропорцию из первой, находим новую пропорцию а—т = с—п, которая показывает, что предыдущие данных пропорций разностно пропорциональны. Также можно доказать, что если в двух разностных пропорциях предыдущие соответственно равны, то последующие пропорциональны.

Имея несколько равенств, в частности пропорций, можно перемножить эти равенства по частям, или разделить части одного равенства на части другого.

Пример. Если даны две пропорции a/b= c/d и  a/т= c/п , у которых последуюшие члены соответственно равны, то, разделив первую пропорцию на вторую, получим новую пропорцию a/т= c/п показывающую, что предыдущие данных пропорций. пропорциональны. Точно также докажем, что когда в двух пропорциях предыдущие соответственно равны, то последующие пропорциональны.

Всякая пропорция. которая выводится на основании вышеуказанных начал из нескольких  пропорций,  называется составной.

Составляя из данных пропорций производные и составные, можно получать чрезвычайно разнообразные виды пропорций.

Пропорции представляют прастейшие виды равенств. Изучение их подготовляет учащихся к уяснению общей теории равенств. Те важные положения, на которых основано составление производных и составных пропорций, получают дальше широкое развитие.

51. Показать, что во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к первому предыдущему, как сумма членов второго отношения ко второму предыдущему.

51. Показать, что во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к первому предыдущему, как разность членов второго отношения ко второму предыдущему.

52.  Пока.зать, что  если  даны две  пропорции,  то   произведения членов одной пропорции на соответственные члены другой пропорциональны.

52. Показать, что если даны две пропорции, то произведения предыдущих каждой из них на соответственные последующие другой пропорциональны.

53.  Показать,  что  во всякой  пропорции  сумма членов первого отношения так относится к разности этих  членов, как  сумма членов второго отношения к разности тех же членов.

53. Показать, что во всякой пропорции сумма предыдущих так относится к разности предыдущих, как сумма последующих к разности последующих.

54.  Показать, что во всякой пропорции сумма  квадратов предыдущих так относится к разности квадратов предыдущих, как сумма квадратов последующих относится к разности квадратов последующих.

54. Показать, что во всякой пропорции сумма квадратов членов отношения так относится к разности квадратов этих членов, как сумма квадратов членов второго отношения относится к разности квадратов тех же членов,

Следующие пропорции преобразовать так, чтобы х осталось только в одном члене, и затем определить х:

ответы

В следующих пропорциях определить количественные значения х и у принимая во внимание данные равенства:

Из пропорции a/b= c/d вывести посредством составления производных и составных следующие новые пропорции:

ответы

Из пропорции a/b= c/d вывести посредством составления производных и составных следующие новые пропорции:

ОТВЕТЫ

  

Используются технологии uCoz