ОТДЕЛЕНИЕ VI.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 2. Решение числовых уравнений первой степени.

Равенства, в которые входят обозначенные буквами количества, разделяются на тождества и уравнения.

Тождеством называется такое равенство,  обе части которого равны между собою при всевозможных  частных   значениях входящих  в них  букв.   Таковы,  напр.,   равeнства   х + 1=1 + х,   2(х+3)=2х + 6, (х—2)²= х²— 4х + 4,    (х— 1)(х—2) = х²—3х+2;   мы можeм здeсь вставлять вмeсто х какие угодно количества и всeгда первая часть окажется равна второй.

Уравнением называется такоe равенство,  обe части которого вообщe нe равны, но дeлаются равными только при особом выборe одной из входящих в него букв. Таковы, напр., равенства   х +1 = 3 — х,   2(х+3)=10,  (х—2)² = 2х — 4, (х— 1)(х—2) = х— 1. Первоe из них справедливо только при х = 1, второе, когда х = 2, третьe в двух случаях, когда х = 2 и когда х = 4, наконец, четвертоe тоже в двух случаях, при х = 1 и при х = 3. Буква, для которой подбираются особые значения, уравнивающие обe части, называeтся неизвeстной. Обыкновенно обозначают еe через х.

При рассматривании уравнений возникает вопрос, каким образом найти то частноe значение неизвeстной, входящей в уравнениe буквы, при котором обe части уравнения дeлаются равными между собою. Сдeлать это значит рeшить уравнение, а то особое значение, вотороe уравнивает обe части уравнения, называется его корнем. Из предыдущих примeров видим, что уравнение может имeть один или нeсколько корней.

Рeшение уравнений состоит в том, что данноe уравнениe послeдоватeльно замeняют другими, которые отличаются от данного и между собою как внeшним видом их частей, так и по сущeству количественными значениями этих частей, но всe имeют одинаковые общиe корни. Такия уравнения называются совмeстными. Напр., х + 1=3—х и 2х=2 суть совмeстныяе уравнения, потому что оба имeют одинаковый корень х = 1.

Преобразования данного уравнения в другие, совмeстные с ним, основаны на том, что равенство не нарушается, если к обeим частям eго мы придадим или из них вычтем равные между собою количества, если обe части умножим или раздeлим на равные между собою количества. Как послeдствия этих свойств всякого равенства, мы получаем уже указанные в предыдущей статьe правила о перенесении из одной части в другую слагаемых и вычитаемых, а также множителей и дeлителей. Теперь эти правила мы примeним к рeшению уравнений:

Имeя уравнение х + 1=3—х, прибавим в обe части его по х и вычтем по 1; получим новоe уравнениe 2х=2, совмeстноe с данным. Раздeлив обe части второго уравнения на 2, составим третье уравнение х =1, которое только тогда и вeрно, когда х замeняется черeз 1. Поэтому 1 есть также корень второго уравнения, а слeдовательно соотвeтствует и первому.

Возьмем уравнение 2(x+3)=10. Перенося 2 дeлителем во вторую часть, находим новоe уравнениe x+3 =5. Перенося здeеь 3 вычитаемым во вторую часть, составляем третье уравнениe x=2,  корень которого есть два. Этот корень соотвeтствует также второму и первому уравнениям.

Обращаясь к уравнению (х—2)² = 2х — 4, которое можно написать в видe х²— 4х + 4=2х—4, вычтем из обeих частей его по 2х и прибавим по 4, иначе перенесем все  члены второй части в первую, отчего вторая часть приведется к нулю и составится новоe уравнение х²— 6х + 8= 0, которое можно представить в видe (х—2)(х—4)=0. Но произвeдение может обратиться в нуль только тогда, когда обращается в нуль один из его множителей; поэтому второе уравнениe, а также и первое, имeет корни 2 и 4 и не может имeть никаких иных корней.

Рассмотрим наконец уравнение (х— 1)(х—2) = х— 1, или, что то жe х²— 3х + 2=х— 1. Перенося в нем члены второй части в первую, находим новоe уравнение х²— 4х + 3= 0, которое преобразуется в форму (х— 1)(х—3)=0. Отсюда видно, что второe уравнение, а также и первое имeет только корни 1 и 3.

В интересах развития изобрeтательности и ради устранения скучной механической работы вычисления по извeстным правилам, учащимся слeдует ограничиться вышеуказанными пояснениями и примeрами и постараться самим на передeлкe нижеслeдующих задач выработать болeе общие правила для рeшения простeйших уравнений.

ответы

ОТВЕТЫ