ОТДEЛЕНИЕ IX.
УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
§ 3. Проcтeйшие примeнeния теории квадратного уравнeния
Корни квадратного привeденного уравнeния x2 + px + q = 0 бывают дeйствительными и различными при условии p2 > 4q, равными при условии p2 = 4q и мнимыме при условии p2 < 4q.
Подобным жe образом корни общего уравнения ax2 + bx + c = 0 дeйствитeльны и различны при условии b2 > 4ac, равны при условии b2 = 4ac и мнимы при условия b2 < 4ac.
Нe рeшая слeдующих уравнeний, опредeлить, какие из них имeют дeйствитeльныe, равные или мнимыe корни:
В уравнении привeдeнном сумма корнeй равна коэффициeнту р, взятому с противоположным знаком, а произведениe корнeй равно коэффициенту q.
В уравнении общем сумма корней равна отношению коэффициентов b/a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов с/a
Пользуясь этими замечаниями, можно определить знаки действительных корней.
Не решая следующих уравнений, определить знаки корней их, если последние действительны:
Пользуясь связью между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, можно составлять уравнения по данным корням их. При этом уравнение составляется в приведенной форме. Если же коэффициенты полученного уравнения оказываются дробными, то, уничтожая знаменатель, получаем уравнение в общей форме.
Составить квадратные уравнения по данным корням их:
Квадратный трехчлен вида x2 + px + q = 0 всегда разлагается в произведение (х — x1)(х — x2), где x1 и x2 суть корни трехчлена.
Трехчлен вида ax2 + bx + c = 0 разлагается произведение а(х — x1)(х — x2) отличающееся от предыдущего лишним множителем а.
Разложить трехчлены в произведения:
ответы
151. Полагая, что корни уравнения x2 + px + q = 0 суть x1 и x2 , составить уравнение, корни которого были бы и .
151. Полагая, что корни уравнения ax2 + bx + c = 0 суть x1 и x2 , составить уравнение, корни которого были бы и .
152. Составить уравнение, корни которого были бы в m раз больше корней уравнения x2 + px + q = 0.
152. Составить уравнение, корни которого были бы в m раз больше корней уравнения ax2 + bx + c = 0.
153. Составить уравнение, корни которого были бы на p/2 больше корней уравнения x2 + px + q = 0.
153. Составить уравнение, корни которого были бы на b/a больше корней уравнения x2 + px + q = 0.
154. Составить уравнение, корнями которого были бы сумма и произведение корней уравнения x2 + px + q = 0.
154. Составить уравнение, корнями которого были бы сумма и произведение корней уравнения ax2 + bx + c = 0.
155. Выразить сумму квадратов корней уравнения x2 + px + q = 0 через коэффициенты р и q.
155. Выразить разность квадратов корней уравнения x2 + px + q = 0 через коэффициенты р и q .
156. Выразить сумму кубов корней того же уравнения.
156. Выразить разность кубов корней того же уравнения.
ответы
157.Не решая уравнения x2—2х—15=0, вычислить сумму квадратов и кубов его корней .
157.Имея уравнение x2+2х—35=0, вычислить разность квадратов и кубов его корней.
158. Не решая уравнения 3x2+7х+2=0, вычислить сумму квадратов и кубов его корней .
158.Имея уравнение 2x2—7х+3=0 вычислить разность квадратов и кубов его корней.
159. Решить уравнение x2— 8х + q =0, зная, что сумма квадратов его корней равна 34.
159. Решить уравнение x2+ рх+21=0, зная, что сумма квадратов его корней равна 58.
160. Решить уравнение x2+ рх+45=0, зная, что квадрат разности его корней равен 144.
160. Решить уравнение x2— 17х + q =0, зная, что квадрат разности его корней равен 49.
161. При каком значении b уравнение 4x2+ bх+25=0 имеет равные корни?
161. При каком значении b уравнение 9x2+ bх+64=0 имеет равные корни?
162. Показать, что трехчлен ax2 + bx + c преобразовывается в полный квадрат при условии b2 = 4ac.
162. Показать, что трехчлен ax2 — bx + c преобразовывается в полный квадрат при условии b2 = 4ac.
163. При каких положительных значениях с корни уравнения 3x2— 18х + с =0 действительны и при каких мнимы?
163. При каких положительпых значениях с корни уравнения 5x2+ 10х + с =0 действительны и при каких мнимы?
164. Определить корни уравнения ax2 + bx= 0 по общей формуле, разрешающей полное уравнение.
164. Определить корни уравнешя ax2 + с = 0 по общей формуле, разрешающей полное уравнение.
165. В уравнении x2— 6х + q =0 определить то значение q, при котором корни его x1и x2 удовлетворяют уравнению 3x1 + 2x2=20.
165. В уравнении x2— 5х + q =0 определить то значение q, при котором корни его x1и x2 удовлетворяют уравнению 3x1 + 5x2=17.
166. Найти условие, при котором трехчлен (а—b) x2—(а + b) x + а—b представляет полный квадрат.
166. Найти условие, при котором трехчлен (а + b) x2—(а — b) x + а + b представляет полный квадрат.
167. Каковы должны быть знаки коэффициентов урявнения ax2 + bx + c = 0 для того, чтобы оба корня этого уравнения были положительны?
167. Каковы должны быть знаки коэффициентов уравнения ax2 + bx + c = 0 для того, чтобы оба корня этого уравнения были отрицательны?
168. Показать, что корни уравнения x2 + px + q = 0 при условии р = k + q/k всегда соизмеримы, если только сами количества р, q и k соизмеримы.
168. Показать, что корни уравнения ax2 + bx + c = 0 при условии b = ak + c/k всегда соизмеримы, если только сами количества а, b, с и k соизмеримы.
169. Какое преобразование нужно выполнить с обоими корнями уравнения x2 + px + q = 0, чтобы в выражениях этих корней числители сделались рациональными, а радикал перешел бы в знаменатель?
169. Какое преобразование нужно выполнить с обоими корнями уравнения ax2 + bx + c = 0, чтобы в выражениях этих корней числители сделались рационалными, а радикал перешел бы в знаменатель?
170. Пользуясь предыдущим преобразованием, показать, что если в уравнении ax2 + bx + c = 0, где b есть абсолютное число, коэффициент а беспредельно уменьшается, то один из корней беспредельно увеличивается, а другой приближается к значению c/b.
170. Пользуясь предыдущим преобразованием, показать, что если в уравнении ax2 + bx + c = 0, где b есть абсолютное число, коэффициент а беспредельно уменьшается, то один из корней беспредельно увеличивается, а другой приближается к значению —c/b
ОТВЕТЫ
|