ОТДEЛЕНИЕ IX.

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.

§ 3. Проcтeйшие примeнeния теории квадратного уравнeния

Корни квадратного привeденного уравнeния x2  + px + q = 0  бывают дeйствительными и различными при условии p2 > 4q, равными при условии  p2 = 4q и мнимыме при условии  p2 < 4q.

Подобным жe образом корни общего уравнения ax2  + bx + c = 0  дeйствитeльны и различны при условии b2 > 4ac, равны при условии b2 = 4ac и мнимы при условия b2 < 4ac.

Нe рeшая слeдующих уравнeний, опредeлить, какие из них имeют дeйствитeльныe, равные или мнимыe корни:

В уравнении привeдeнном сумма корнeй равна коэффициeнту р, взятому с противоположным знаком, а произведениe корнeй равно коэффициенту q.

В уравнении общем сумма корней равна отношению коэффициентов b/a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней  равно отношению  коэффициентов с/a

Пользуясь этими замечаниями, можно определить знаки действительных корней.

Не решая следующих уравнений, определить знаки корней их, если последние действительны:

Пользуясь связью между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, можно составлять уравнения по данным корням их. При этом уравнение составляется в приведенной форме. Если же коэффициенты полученного уравнения оказываются дробными, то, уничтожая знаменатель, получаем уравнение в общей форме.

Составить квадратные уравнения по данным корням их:

Квадратный трехчлен вида  x2  + px + q = 0   всегда разлагается в произведение
(хx1)(хx2), где  x1 и x2 суть корни трехчлена.

Трехчлен вида ax2  + bx + c = 0  разлагается  произведение а(хx1)(хx2) отличающееся от предыдущего лишним множителем а.

Разложить трехчлены в произведения:

ответы

151. Полагая, что корни уравнения x2  + px + q = 0 суть x1 и x2  , составить уравнение, корни которого  были бы   и .

151.   Полагая, что корни уравнения ax2  + bx + c = 0  суть x1 и x2 , составить уравнение, корни которого были бы  и .

152.   Составить уравнение, корни которого   были бы в m раз больше корней уравнения x2  + px + q = 0.

152.  Составить  уравнение, корни которого  были бы в m раз больше корней уравнения ax2  + bx + c = 0.

153.  Составить уравнение, корни которого  были бы на p/2  больше корней уравнения  x2  + px + q = 0.

153. Составить уравнение, корни которого  были бы на b/a  больше корней уравнения   x2  + px + q = 0.

154.   Составить уравнение, корнями которого были бы сумма и произведение корней уравнения x2  + px + q = 0.

154.  Составить   уравнение, корнями которого были бы сумма и произведение корней уравнения ax2  + bx + c = 0.

155.  Выразить сумму квадратов корней уравнения  x2  + px + q = 0 через коэффициенты р и q.

155.   Выразить разность квадратов корней уравнения x2  + px + q = 0 через коэффициенты р и q .

156.   Выразить сумму кубов корней того же уравнения.

156. Выразить разность кубов корней того же уравнения.

ответы

157.Не решая уравнения x22х—15=0, вычислить сумму квадратов и кубов его корней .

157.Имея уравнение x2+2х—35=0, вычислить разность квадратов и кубов его корней.

158. Не решая уравнения 3x2+7х+2=0, вычислить сумму квадратов и кубов его корней .

158.Имея уравнение  2x2—7х+3=0 вычислить разность квадратов и кубов его корней.

159. Решить уравнение x2— 8х + q =0, зная, что сумма квадратов его корней равна 34.

159. Решить уравнение x2+ рх+21=0, зная, что сумма квадратов его корней равна 58.

160.  Решить уравнение x2+ рх+45=0, зная, что квадрат разности его корней равен 144.

160.  Решить уравнение x2— 17х + q =0, зная, что квадрат разности его корней равен 49.

161.  При каком значении b уравнение 4x2+ +25=0 имеет равные корни?

161.   При каком значении b уравнение 9x2+ +64=0 имеет равные корни?

162.  Показать,  что  трехчлен   ax2  + bx + c  преобразовывается в полный квадрат при условии b2 = 4ac.

162.  Показать,  что   трехчлен   ax2  bx + c   преобразовывается в полный квадрат при условии  b2 = 4ac.

163.   При каких положительных значениях с корни уравнения 3x2— 18х + с =0 действительны и при каких мнимы?

163.  При каких положительпых значениях с корни уравнения 5x2+ 10х + с =0 действительны и при каких мнимы?

164.  Определить корни уравнения ax2  + bx= 0 по общей формуле, разрешающей полное уравнение.

164.  Определить корни уравнешя ax2  + с = 0  по общей формуле, разрешающей полное уравнение.

165.  В уравнении x2— 6х + q =0 определить то значение q, при котором  корни  его x1и x2 удовлетворяют уравнению   3x1 + 2x2=20.

165.  В   уравнении   x2— 5х + q =0  определить  то   значение q, при котором корни его x1и x2 удовлетворяют уравнению 3x1 +  5x2=17.

166. Найти условие, при котором трехчлен (а—bx2—(а + bx + а—b представляет полный квадрат.

166.  Найти условие, при котором трехчлен (а + bx2—(а — bx + а + b  представляет полный квадрат.

167.   Каковы  должны  быть  знаки   коэффициентов   урявнения ax2  + bx + c = 0 для того, чтобы  оба корня этого уравнения были положительны?

167.   Каковы должны   быть знаки   коэффициентов  уравнения ax2  + bx + c = 0 для того, чтобы оба  корня   этого уравнения были отрицательны?

168.   Показать, что корни уравнения x2  + px + q = 0  при условии р = k + q/k всегда соизмеримы, если только сами количества р, q и k соизмеримы.

168.  Показать, что корни уравнения ax2  + bx + c = 0  при условии  b = ak + c/k   всегда соизмеримы, если только сами количества а, b, с и k соизмеримы.

169.  Какое преобразование нужно  выполнить  с  обоими  корнями уравнения x2  + px + q = 0, чтобы в выражениях этих корней числители сделались рациональными, а радикал перешел бы в знаменатель?

169.  Какое  преобразование  нужно  выполнить с обоими корнями уравнения ax2  + bx + c = 0, чтобы в выражениях этих корней числители сделались рационалными, а радикал перешел бы в знаменатель?

170.  Пользуясь  предыдущим  преобразованием, показать, что если в уравнении ax2  + bx + c = 0, где  b есть  абсолютное число, коэффициент а беспредельно уменьшается,  то один из  корней беспредельно увеличивается, а другой приближается  к значению c/b.

170. Пользуясь предыдущим преобразованием, показать, что если в уравнении ax2  + bx + c = 0, где b есть абсолютное число, коэффициент а беспредельно уменьшается, то один из корней беспредельно увеличивается, а другой  приближается к значению —c/b

ОТВЕТЫ

 

Используются технологии uCoz