|
ОТДЕЛЕНИЕ XI. НЕОПРЕДЛЕННЫЙ АНАЛИЗ . § 2. Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным. Уравнение первой степени с соизмеримыми коэффициентами имеет один корень, выражаемый соизмеримым и в общем случае дробным числом. Корень может быть положительным, отрицательным, нулевым, бесконечным, или неопределенным. Каждое значение корня вполне удовдетворяет соответствующему уравнению и соответствует особенностям формы последнего. Положительпый корень обыкновенно дает вполне удовлетворительный ответ на вопрос задачи, но в некоторых исключительных случаях может оказываться несообразным. Если корень уравнения отрицательный, то, переменив в уравнении знак у х, получаем новое уравнение, корень которого имеет ту же абсолютную величину, но оказывается положительным. Отрицательный корень не удовлетворяет вопросу тогда, когда неизвестное вопроса есть абсолютная величина; в таком случае перемена знака х в уравнвиии позволяет исправить задачу, изменяя в ней некоторые условия в смысле перемены направления указанных в условиях количеств. Нулевой корень не удовлетворяет вопросу тогда, когда по роли неизвестного оно должно быть отлично от нуля. Бесконечный корень вообще указывает несообразность вопроса; только в исключительных случаях он может считаться косвенным ответом на данный вопрос. Неопределенный корень, представляющий произвольное количество, получается тогда, когда уравнение обращается в тождество, т.е. когда условия вопроса суть только кажущияся, а на самом деле никаких условий нет. Опредeлить, при каких значeниях а нижеслeдующие уравнeния имeют положитeльные рeшeния?
Одредeлить, при каких значениях а нижeслeдующие уравнения имeют отрицатeльные рeшeния?
Нижеслeдующие уравнения, имeющие отрицательные рeшeния, измeнить так, чтобы рeшения их сдeлались положитeльными.
Исслeдовать, при каких значeниях буквенных количеств, входящих в нижеслeдующие уравнения, эти уравнения имeют положитeльные, отрицатeльные, нулевые, бесконечные и неопредeленные рeшения?
83. Двe партии рабочих получили вмeстe 120 рублей; каждый рабочий пeрвой партии получил 7 р., а каждый рабочий второй 5 р.; во второй партии было 3-мя рабочими большe, чeм в пeрвой. Сколько было рабочих в каждой партии? 83. В общeствe, состоящeм из 12 лиц, сдeлан был сбор в пользу бeдных; каждый мужчина внeс по 6 руб., а каждая женщина по 2 руб.; всего собрали 54 руб.. Сколько было мужчил и жeнщин? 84. Опредeлить двузначноe число, в котором число десятков вдвоe мeньшe числа простых единиц, а разность мeжду числами eдиниц и дeсятков составляет 6. 84. Опрeдeлить двузначноe число, в котором сумма цифр равна 14 и котороe от прибавления 72 обращаeтся в число с обратным порядком прeжних цифр. 85. Из двух игроков первый имeл 250 р., а второй 100 р.; послe нeскольких игр у пeрвого оказалось денег в 6 раз большe, чeм у второго. Сколько проиграл пeрвый второму? 85. Из двух игроков пeрвый имeл 270 р., а второй 50 р.; послe нeскольких игр у первого оказалось денегь втрое большe, чeм у второго. Сколько выиграл первый у второго? 86. Куплeно нeсколько фунтов муки; eсли бы за каждый фунт заплатили 8 к., то у покупщика осталось бы 12 к., а eсли бы фунт стоил 6 к., то у покупщика нe хватило бы 4 к.. Сколько муки куплeно? 86. Куплeно нeсколько фунтов муки; eсли бы за каждый фунт ваплатили по 9 к., то у покупщика не хватило бы 14 к., а если бы фунт стоил 12 к., то у покупщика осталось бы 7 к.. Сколько муки куплено? 87. Из двух сортов чаю цeною в 3 р. и 5 р. за фунт требуется составить 12 фунтов смeси цeной по 2 р. 50 к. за фунт. По скольку нужно взять от каждого сорта? 87. Из двух сортов чаю цeною в 3 р. и 3 р. 50 к. за фунт трeбуется составить 8 фунтов смeси цeною в 4 р. за фунт. По скольку нужно взять от каждого сорта? 88. В бассейн провeдeны три трубы; пeрвая можeт наполнить бассeйн в 6 часов, вторая в 8 часов; через трeтью трубу вода выливаeтся и можeт вытeчь вся в 3 часа. Во сколько врeмени наполнится бассeйн при одноврeменном дeйствии всeх труб? 88. В бассейн, наполненный водой, провeдeны три трубы; чeрeз пeрвую трубу вся вода может вытeчь в 6 часов, чeрeз вторую в 9 часов; трeтья труба можeт снова наполнить бассeйн в 3 часа. Послe часового дeйствия пeрвых двух труб открыли трeтью. Чeрeз сколько врeмeни послe этого можeт вытечь из бассейна вся вода? 89. За провоз нeкоторого товара платят возчикам по копeйкe с пуда и вeрсты; упаковка товара обходится в 3 коп. с пуда. На какоe расстояниe можно пeрeвезть 3000 пудов товара за 60 рублeй? 89. За провоз некоторого товара железная дорога берет по 0,1 копейки с пуда и версты; кроме того за нагрузку взимается 1 р. 50 к. с 1000 пудов. На какое расстояние можно перевезти 50000 пудов за 70 рублей? 90. Два курьера отправляются одновременно из места А иВ и едут по одному направлению через место С, расположенное за местом В. Расстояние АС равно 50 верстам, расстояние ВС =40 верстам. Первый курьер проезжает в час 10 верст, второй 6 верст. На каком расстоянии, за местом С, первый догонит второго? 90. Два курьера выезжают одновременно из мест А и В и едут по одному направлению к месту С, расположенному за местом В. Расстояние АС равно 90 верстам, расстояние ВС=54 верстам. Первый курьер проезжает в час 11 верст, второй 8 верст. На каком расстоянии, не доезжая до С, первый курьер догонит второго? 91. Возраст отца 50 лет 8 месяцев, а возраст сына 12 лет 8 месяцев. Через сколько лет отец будет вчетверо старше сына? 91. Возраст сына 15 лет 5 месяцев, а возраст отца 46 лет 3 месяца. Сколько лет тому назад отец был втрое старше сына? 92. Числитель некоторой дроби составляет 5/6 знаменателя; если прибавить к числителю 6 и к знамеяателю 9, то дробь обратится в 2/3. Найти эту дробь. 92. Знаменатель некоторой дроби составляет 3/4 ее числителя; если же от обоих членов дроби отнять по 10, то дробь обратится в 1. Найти эту дробь. 93. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби 5/6, чтобы дробь обратилась в единицу? 93. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби 9/7, чтобы дробь обратвлась в единицу? 94. В бассейн проведены три трубы; первая наполняет его в 8 часов, вторая в 4 часа; через третью трубу вода вытекает и может вытечь вся в 2 ч. 40 м.. Во сколько часов наполнится бассейн при одновременном действии всех труб? 94. В бассейн проведены три трубы; первая может наполнить его в 2 ч. 24 м.; через вторую вся вода может вытечь в 4 часа, а через третью в 6 часов. Во сколько времени полный бассейн может вытечь при одновременном действии всех труб? 95. Из мест А и В выходят одновременно два пешехода и идут по одному направлению. Первый пешеход идет по 8 часов в день и в каждый час проходит по 5 верст, второй идет по 10 часов в день и в каждый час проходит по 4 версты. Через сколько дней первый догонит второго, если известно, что расстояние АВ равно 75 верстам? 95. Из мест А и В выходят одновременно два пешехода и идут по одному направлению. Считая все остановки, первый пешеход проходит средним числом по 16 1/2 верст в каждые 61/2 часов, а второй по 14 верст в каждые 42/3 часа. На каком расстоянии от А первый догонит второго, если известно, что расстояние АВ равно 60 верстам? 96. В одном закроме имеется 120 четвертей овса, а в другом 180. Сколько раз в первый закром нужно всыпать по 4 четверти, а во второй по 2 четверти, чтобы в первом оказалось вдвое больше овса, чем другом? 96. В одном амбаре 2000 четвертей овса, а в другом 3000. Сколько раз следует взять из первого по 2 четверти, а из второго по 6 четвертей, чтобы в первом оказалось втрое меньше овса, чем во втором? 97. Некоторое двузначное число, в котором число десятков двумя больше числа простых единиц, имеет такое свойство, что если в нем переставить цифры, то получается число меньшее прежнего на 18. Найти это число. 97. Некоторое двузначное число, в котором число десятков тремя меньше числа простых единиц, имеет такое свойство, что если в нем переставить цифры, то получится число большее прежнего на 27. Найти это число. 98. Имеется четыре куска сукна; во втором больше 3-мя аршинами, в третьем 5-ю и в четвертом 8-ю, чем в первом вместе же в первом и четвертом столько, сколько во втором и третьем. Сколько аршин в каждом куске? 98. Имеются четыре куска сукна; число аршин второго на 3 меньше удвоенного числа аршин первого, число аршин третьего на 2 больше учетверенного числа аршин первого, число аршиш четвертого, 5-ю больше утроенного числа аршин первого, вместе же в первом и третьем столько, сколько во втором и четвертом. Сколько аршин в каждом куске? 99. Найти число по следующим условиям; если сложить 3/4 от суммы этого числа в числа 20 с 1/12 суммы того же числа и 300, то получится 5/6 суммы того же числа с 48-ю. 99. Найти число, зная, что если сложить его с 6-ю и сумму разделить на 3, то частное будет на столько больше неизвестного числа, на сколько 2 больше 2/3 неизвестного числа. 100. Разносчик купил 55 лимонов; отобрав 20 лимонов худшего достоинства, он рассчитал, что если продать каждый из них 2 -мя копейками дешевле того, что он сам платил за каждый лимон, и надбавить на каждый из остальных лимонов по 3 к., то выручится всего 40 коп. прибыли. Почем платил он сам за лимон? 100. Разносчик купил 75 лимонов, из которых 45 оказались испорченными; рассчитывая продать каждый из плохих лимонов с убытком по 3 к. и взять на каждом из остальных по 4 к. прибыли, он нашел, что все-таки весь товар принесет ему 15 к. убытку. Что стоил ему самому каждый лимон? Определить истинное значение следующих дробей при указанных частных предположениях:
Решить и исследовать следующие общие задачи, приводящие к буквенным уравнениям: 111. Один работник делает в день а аршии сукна, другой b аршин. Первый сработал уже m аршин, второй n аршин. Через сколько дней после этого количества аршин, сработан-ных тем и другим рабочим, сравняются? 111. В одном резервуаре налито а ведер, в другом b ведeр воды. Каждый час прибавляется в первый по m ведер, а во второй по n ведер Через сколько часов количества ведер в обоих резервуарах сравняются? 112. Отцу а лет, сыну b лет. Через сколько лет отец будет в к раз старше сына? 112. Какое число нужно вычесть изт. чисел а и b для того, чтобы отношение разностей оказалось равным к? 113. В бассейн проведены две трубы; первая наполняет весь бассейн в а часов, вторая выливает из него всю воду в b часов. Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб? 113.Переднее колесо повозки имеет в окружности а футов, заднее b футов. Как велик путь, на котором переднее колесо сделает одиним оборотом больше заднего?' 114. Какое число нужно приложить к числителю и знаменателю дроби a/b , чтобы она обратилась в дробь m/n ? 114. Как увеличить числа а и b на одно и то же число с тем, чтобы получить предыдущие члены пропорции, которой последующие члены суть m и n? 115. В а ведрах воды растворено b фунтов соли; сколько нужно прибавить воды, чтобы на каждое ведро приходилось m фунтов соли? 115. Имеется m фунтов морской воды, в которых содержится р фунтов соли; сколько фунтов чистой воды нужно прибаввть, чтобы т фуитов смеси содержали только # фувтов соли? 116. В двух точках А и В прямой MN восставлены перпендикуляры к ней. Прямая РQ отсекаeт на этих перпендикулярах длины АС = а и ВD=b. Раcстояние АВ = d. Определить расстояние точки пересечения прямых MN и РQ от точки А. 116. К двум кругам, радиусы которых суть АВ=R и СD = r, проведена общая касательная ВD. Расстояние центров АС = d. Определить положение точки пересечения касательной с линией, соединяющей центры. 117. Разложить число а на две части так, чтобы сумма произведений первой части на m и второй на n была равна сумме произведений первой части на р и второй на q. 117. Разложить число а на две части так, чтобы разность произведений первой части на m и второй на n была равна разности произведений первой частй на р и второй на q. 118. В треугольнике АВС даны стороны АВ= с, АС = b и ВС = а. Проведя равноделящую внешнего угла при вершине С, отмечаем точку D пересечения этой равноделящей с продолжением стороны АВ. Определить расстояние АD. 118 В трапеции АВСD даны параллельные стороны ВС = а и АВ = b и одна из непараллельных АВ = с. Продолжив непараллельные стороны, отмечаем точку Е их пересечения. Определить расстояние АЕ. 119. Два .курьера, двигаясь равномерно по одному направлевию от М к N, проезжают одновременно —первый через место A, второй через место В. Узнать, в каком расстоянии от А оба курьера встречаются, если известно, что первый проезжает в час а верст, второй b верст и что расстояние от А до В равно d верст. 119. Два курьера, двигаясь равномерно по одному направлению от М к N , проезжают одновременно—первый через место А, второй через место В. Определить, когда оба курьера встречаются, если известно, что первый проезжает в час а версть, второй b верст и что расстояние от А до В равно d вeрст. 120. Два курьера едут по направлению MN, проезжая в час первый а верст, второй b верст. Первый в некоторый момент проехал, через место А, второй m часов позднее проехал чeрез место В. Расстояние АВ =d верст. Узнать, через сколько часов после проезда первoго через А они встретятся? 120. Два курьера едут по направлению MN, проезжая в час первый а верст, второй b верст. Первый в некоторый момент проехал, через место А, второй m часов позднее проехал чeрез место В. Расстояние АВ =d верст. Определить расстояние от В до места встречи.
|
