|
ОТДЕЛЕНИЕ XI. НЕОПРЕДЛЕННЫЙ АНАЛИЗ . § 3 Исслeдованиe системы уравнeний первой степени с двумя нeизвeстными. Система двух уравнений имeет один корень по х и один по у. Неявные выражения обоих корней имeют всeгда одинаковый зпаменатель. При рeшeнии двух уравнений существeнно различать два случая—когда общий знаменатель корней отличен от нуля и когда он равен нулю. Общий знаменатель обоих корнeй системы уравнeний ах + bу = с составляется, перемножая коэффициенты неизвeстных накрест и вычитая, именно он имeет вид аb1 — а1b. Числители получаются из знамeнатeля посредством замeны коэффициентов опредeляемого неизвeстного соотвeтствующими извeстными членами, так что рeшения имeют вид
Если знаменатель корней нe равeн нулю, то корни могут быть оба положительны, оба отрицательны, или один положителен, а другой отрицателен, и в частности могут получиться нулeвые рeшения. Уравнения при этом нe прeдставляют никаких важных особeнностей. В случаe, когда знамeнатeль корнeй равeн нулю, соблюдается то свойство, что числители могут обращаться, в нуль нe иначе, как оба вмeстe. Если при нулевом знаменатeлe числитeли отличны от нуля, то корни бесконечны. Данные уравнения тогда несовмeстны, т. е. противоречат одно другому. Признаком этого случая служит пропорция Если при нулевом знаменателе числители также нули, то корни неопределенны, т.е. выражаются произвольными количествами. Данные уравнения тогда тождественны, т.е. сводятся к одному уравнению, которое одно только и ограничивает произвол неизвестных. Признаком этого случая служит пропорция 121. Определить, при каких значениях а система уравнений х + у = а и 3х—2у =10 дает положительные решения? 121. Определить, при каких значениях а система уравнений 4х + 5у = 15 и 3х + 2у = а дает отрицательные решения? 122. Определить, при каких значениях а система уравнений 4х—3у =6 и —5х + ау = 8 дает отрицательные решения? 122. Определить, при каких значениях а система уравнений 7х — ау = 1 и 5х — 9у = 9 дает положительные решения? 123. Определить, при каких значениях а система уравнений 3х—7у =15 и 6х + ау =60 не имеет решений? 123.Определить значение а, при котором система уравнений 2х + 5у =7 и7х — ау =9 не имеет решений? 124. Определить значевия а и b, при которых система ур-ий aх—6y=15 и 4x + by=2 имеет бесчисленное множество решений? 124. Определить значения а и b, при которых система ур-ий ах—у = b и 4x + 3y=10 имеет беcчисленное множество решений? 125. В бассейн проведены две трубы; обе наполяют его. Если первая действует 8, а вторая 5 миаут, то в бассейн вливается 30 ведер , если же первая действует 12, а вторая 7 минут, то вливается 46 ведер. Сколько ведер дает каждая труба в минуту? Исправить задачу. 125 В бассейн проведены две трубы; через первую вода втекает, через вторую выливается. Если первая действует 9, а вторая 5 минут, то в бассейн втекает 51 ведро; если же первая действует 6, а вторая 7 минут, то втекает 45 ведер. Сколько ведер протекает через каждую трубу в минуту? Исправить задачу. 126. Наняты две артели рабочих, из которых в первой двумя человеками больше, чем во второй. Каждый рабочий первой артели получает в день 2 руб., а каждый рабочий второй артели рубль. Ежедневно вторая артель выручает 10 - ю рублями больше первой Сколько рабочих в каждой артели? Исправить задачу 126. Наняты две артели рабочих, из которых в первой тремя человеками меньше, чем во второй. Каждый рабочий первой артеля получает за день 2 руб., а каждый рабочий второй артели 3 руб.. Ежедневно первая артель выручает 15-ю рублями больше второй. Сколько рабочих в каждой артели? Исправить задачу. 127. Куплено несколько аршин материи по определенной цене. Если бы куцили 3-мя аршинами больше, а за аршин заплатили бы 2-мя рублями дешевле, то на всю покупку издержали бы 12-ю рублями меньше. Также, если бы купили 6-ю аршинами меньше, но за арщвв заплатили бы 4-мя руб. дороже, то вся покупка обошлась бы 12-ю рублями дешевле. Сколько куплено аршин и по какой цене? 127. Куплено несколько аршин материи по определенной цене. Если бы купили 4-мя аршинами меньше, а за аршин заплатили бы рублем дороже, то на всю покупку издержали бы 8-ю руб. меньше. А если бы купили 12-ю аршинами больше, но за аршин платили бы 3-мя рублями дешевле, то вся покупка обошлась бы 24-мя рублями дешевле. Сколько куплено аршин и по какой цене? 128. Вычислить стороны прямоугольника, зная, что если одну из них увеличить на 6 футов, а другую на 15 футов, то площадь увеличится на 128 кв. футов. Если же первую сторону уменьшить на 2 фута, а вторую на 5 футов, то площадь уменьшится на 25 кв. футов. 128. Вычислить стороны прямоугольника, зная, что если одну из них увеличить на 8 фут., а другую на 6 фут., то площадь увеличится на 140 кв. футов. Если же первую сторону уменьшить на 4 фута, а вторую на 3 фута, то площадь уменьшится на 51 кв. фут. 129. Торговец, имеющий два сорта чаю, из которых фунт одного стоит а рублей, а фунт другого b рублей, желает составить m фунтов смеси, ценою по с рублей за фунт. Сколько он должен взять фунтов первого и второго сорта? 129. В бассейн проведены три трубы. Первая дает в каждый час по а ведер и может наполнить бассейн в m часов. Вторая дает в час b ведер и третья с ведер. Узнать, на сколько часов нужно открыть одну после другой вторую и третью трубы, для того, чтобы бассейн наполнился также в m часов? 130. Два курьера едут равномерно по одному направлению со скоростями а и b верст в час. В некоторый момент первый курьер паходится в месте А, а второй в месте В, на расстояниях ОА = с и ОВ= d от некоторого, места О. Узпать, на каком расстоянии от места О и через сколько часов от вышеуказанного момента произойдет встреча? 130. Работник, прослужив в некотором, месте а дней и имея при себе сына в продолжение b дней, заработал вместе с ним р рублей. В другой раз, пробыв на том же месте и при тех же условиях с дней и имея при себе сына в течение d дней, он заработал q рублей. Сколько получали за день отец и сын?
|
и 
между коэффициентами неизвестных, если при этом известные члены не пропорциональны этим коэффициентам.
между всеми коэффициентами уравнений.