ОТДЕЛЕНИЕ XI.
НЕОПРЕДЛЕННЫЙ АНАЛИЗ . ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ.
§ 4. Исследование уравнений второй степени.
Квадратное уравнение имеет два корня, которых выражения в общем случае иррациональны и взаимно сопряженны, т.е. отличаются знаками при общей иррациональной части.
Корни квадратного уравнения могут быть или действительны и различны, или в частном случае равны, или мнимы. Это зависит, во-первых, от знака третьего коэффициента, а в случае, когда этот коэффициент положителен, то от соотношения всех трех коэффициентов. Раньше в теории квадратных уравнений этот вопрос был рассмотрен.
Иногда при решении буквенных квадратных уравнений интересуются подыскиванием частных соизмеримых решений. Для этого нужно подобрать коэффициенты так, чтобы в выражениях корней получился под радикалом полный квадрат. Общих способов для этого нет, но можно сделать некоторые частные указания.
Возьмем уравнение 3х2—8х— а =0, решение которого есть
Положим 16 + 3а = m2 и найдeм отсюда . Из этого видно, что, придавая чиcлу m значения 4, 5,.6,...., можем вычислить бесконечное множество целых и дробных значений а, при которых корни данного уравнения. будут соизмеримы.
Рассмотрим еще уравнение х2+ 8ах + 25 = 0, которому соответствует формула
Примем а2—102=m2n2 и допустим разложение этого равенства на два: а+10=m2n и а—10=n. Отсюда имеем и после чего, исключая n, получим . Если будем придавать числу т значения 2, 3, 4,..., то получим те значения а, при которых корни соизмеримы.
В нижеследующих задачах подобрать ряд значений буквы а таких, чтобы соответствующие задачам квадратные уравнения имели действительные, положительные, соизмеримые и притом целые корни.
ответы
131. Некто купил вина на а рублей. Если бы он на эти деньги купил 4-ыя ведрами меньше, то ведро обошлось бы ему рублем дороже. Сколько он купил вина?
131. Некто купил вина на а рублей. Если бы он на эти деньги купил двумя ведрами больше, то ведро обошлось бы ему рублем дешевле. Сколько он купил вина?
132. В бассейа проведены две трубы. Первая в некоторое время наполняет его, вторая во время двумя часами большее выливает всю воду. При совместном действии обеих труб бассейн наполняется в а часов. Во сколько часов первая труба наполняет бассейн ?
132. В бассейн проведены две трубы. Первая в некоторое время наполняет его, вторая во время тремя часами меньшее выливает всю воду. При совместном действии обеих труб полный бассейн выливается в а часов. Во сколько часов первая труба наполияет бассейн?
133. Высота прямоугольника на а футов больше его основания, а площадь равна 30 кв. футам. Найти стороны.
133. Высота прямоугольника на а футов меиьше его основания, а площадь равна 70 кв. футам. Найти стороны.
134. Периметр прямоугольника равен 2а, а площадь 36 кв. футам. Найти стороны.
134. Периметр прямоугольника равен 2а, а площадь 225 кв. футам. Найти стороны.
В нижеследующих задачах определить условия, при которых корни уравнений будут действительными и положнтельными, а также подыскать для корней некоторые соизмеримыя целые значения, соответствующие частным предположениям.
135. Найти два числа, которых сумма а, а произведение b.
135. Разделить число а на такие две части, чтобы сумма квадратов их была b.
136. В данный квадрат, сторона которого а, вписать другой квадрат, сторона которого b.
136. По данной гипотенузe а построить прямоугольный трeугольник, равновeликий квадрату, сторона которого b.
137. Нeкто на всe свои дeньги купил товару и тотчас же продал, получив прибыли т рублей. На вырученныя деньги он купил того жe товару и снова продал его по прeжним цeнам. Послe этого у него оказалось п рублей. Сколько он имeл денег вначалe? Рассмотрeть особо случай, когда т отрицательно.
137. На т рублей куплено нeсколько аршин сукна. В другои раз на т + п рублей купили сукна большe п аршинами и при этом заплатили за каждый аршин на а рублей дороже. Сколько куплено сукна в первый раз? Рассмотрeть особо случай, когда п отрицательно.
138. Дан круг радиуса R и внe его точка в расстоянии d от центра. Провести через эту точку сeкущую в кругу так, чтобы ее внутрeнний отрeзок равнялся бы радиусу круга.
138. Вписать в круг радиуса R прямоугольник, площадь которого была бы равна площади квадрата со стороною к.
В нижeслeдующих уравнениях второй степeни с двумя неизвeстными требуется опредeлить тe дeйствительные значeния перемeнного х, при которых пeремeнноe у такжe дeйствительно.
139. х2+ у2—2ху + х = 0 139. 4х2—4ху + у2 +7х—6у + 9 = 0
140. 2х2—2ху + у2 + 2х —4у +1 = 0 140. 2х2 + 2ху + у2—х—2у—5 =0
ОТВЕТЫ
|