ОТДЕЛЕНИЕ XI.

НЕОПРЕДЛЕННЫЙ     АНАЛИЗ .
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ.

§ 4. Исследование уравнений второй степени.

Квадратное уравнение имеет два корня, которых выражения в общем случае иррациональны и взаимно сопряженны, т.е. отличаются знаками при общей иррациональной части.

Корни квадратного уравнения могут быть или действительны и различны, или в частном случае равны, или мнимы. Это зависит, во-первых, от знака третьего коэффициента, а в случае, когда этот коэффициент положителен, то от соотношения всех трех коэффициентов. Раньше в теории квадратных уравнений этот вопрос был рассмотрен.

Иногда при решении буквенных квадратных уравнений интересуются подыскиванием частных соизмеримых решений. Для этого нужно подобрать коэффициенты так, чтобы в выражениях корней получился под радикалом полный квадрат. Общих способов для этого нет, но можно сделать некоторые частные указания.

Возьмем уравнение  3х28ха =0, решение которого  есть

Положим 16 + 3а = m2 и найдeм отсюда . Из этого видно, что, придавая чиcлу m значения 4, 5,.6,...., можем вычислить бесконечное множество целых и дробных значений а, при которых корни данного уравнения. будут соизмеримы.

Рассмотрим еще уравнение х2+ 8ах + 25 = 0, которому соответствует  формула  

Примем  а2102=m2n2   и   допустим разложение этого равенства на два: а+10=m2n и   а10=n. Отсюда имеем   и     после чего, исключая n, получим . Если будем придавать числу т значения 2, 3, 4,..., то получим те значения а, при которых корни соизмеримы.

В нижеследующих задачах подобрать ряд значений буквы а таких, чтобы соответствующие задачам квадратные уравнения имели действительные, положительные, соизмеримые и притом целые корни.

ответы

131. Некто купил вина на а рублей. Если бы он на эти деньги купил 4-ыя ведрами меньше, то ведро обошлось бы ему рублем дороже. Сколько он купил вина?

131.   Некто купил вина на а рублей. Если бы он на эти деньги купил двумя ведрами больше, то ведро обошлось бы ему рублем дешевле. Сколько он купил вина?

132.  В бассейа проведены две трубы. Первая в некоторое время наполняет его, вторая во время двумя часами большее выливает всю воду. При совместном  действии  обеих труб бассейн наполняется в а часов. Во сколько часов первая труба наполняет бассейн ?

132.   В бассейн проведены две трубы. Первая в некоторое время наполняет его, вторая во время тремя часами меньшее выливает всю воду. При совместном действии обеих труб полный бассейн выливается в а часов. Во сколько часов первая труба наполияет бассейн?

133.  Высота прямоугольника на а футов больше его основания, а площадь равна 30 кв. футам. Найти стороны.

133.   Высота прямоугольника на а футов меиьше его основания, а площадь равна 70 кв. футам. Найти стороны.

134.   Периметр прямоугольника равен 2а, а площадь 36 кв. футам. Найти стороны.

134.  Периметр прямоугольника равен 2а, а площадь 225 кв. футам. Найти стороны.

В нижеследующих задачах определить условия, при которых корни уравнений будут действительными и положнтельными, а также подыскать для корней некоторые соизмеримыя целые значения, соответствующие частным предположениям.

135.   Найти два числа, которых сумма а, а произведение b.

135.  Разделить число а на такие две части, чтобы сумма квадратов их была b.

136.  В данный   квадрат, сторона которого  а, вписать другой квадрат, сторона которого  b.

136.  По данной  гипотенузe  а  построить  прямоугольный трeугольник, равновeликий квадрату, сторона которого  b.

137.  Нeкто на всe свои дeньги купил товару и тотчас же продал, получив прибыли т рублей. На вырученныя деньги он купил того жe товару и снова  продал его по прeжним цeнам. Послe этого у него оказалось п рублей. Сколько он имeл денег вначалe? Рассмотрeть особо случай, когда т отрицательно.

137.  На т рублей куплено нeсколько аршин сукна. В другои раз на т + п  рублей   купили  сукна большe п аршинами и при этом заплатили за каждый аршин на а рублей дороже. Сколько куплено сукна в первый раз? Рассмотрeть особо случай, когда п отрицательно.

138.  Дан  круг   радиуса R и внe  его  точка  в расстоянии d от центра. Провести  через эту точку   сeкущую в кругу так, чтобы ее внутрeнний отрeзок равнялся бы радиусу круга.

138. Вписать   в  круг   радиуса   R  прямоугольник,   площадь которого  была бы равна площади квадрата со стороною к.

В нижeслeдующих уравнениях второй степeни с двумя неизвeстными требуется опредeлить тe дeйствительные значeния перемeнного х, при которых пeремeнноe у такжe дeйствительно.

139. х2+ у22ху + х =            139. 4х2—4ху + у2 +7х—6у + 9 = 0

140. 2х22ху + у2 + 2х —4у +1 = 0      140. 2х2 + 2ху + у2х2у5 =0

 

ОТВЕТЫ

 

Используются технологии uCoz