|
ОТДЕЛЕНИЕ XI. НЕОПРЕДЛЕННЫЙ АНАЛИЗ . § 5. Рeшениe неопредeленных уравнений первой степени. Уравнение ах + bу = с данноe в отдeльности, имeeт бесчисленное множество пар корнeй. Значение одного нeизвeстного может быть выбрано совершенно произвольно, а соотвeтствующee значениe другого неизвeстного опредeляется данным уравнением на основании сдeланного выбора. Сущность рeшения нeопредeленного уравневия состоит в отыскании цeлых значений для обоих неизвeстных. Для этого необходимо, чтобы в уравнeнии, окончательно сокращенном, коэффициенты а и b при нeизвeствых нe имeли никакого общего множителя. Напр., уравнениe 6x—9у=11 нe может быть рeшено в цeлых числах, т.е. х и у не могут быть одноврeмeнно цeлыми. Когда условие возможности цeлых рeшений удовлетворяется, то число систем цeлых рeшeний неограничeнно. Всe системы цeлых корней уравнения ах + bу = с заключeны в формулах х = т ± bt и Вид прeдыдущих формул, разрeшающих данноe уравнeниe, показывает, что для составлeния этих формул нужно знать только т и п, т.-e. одну пару цeлых корнeй уравнeния, взаимно соотвeтствующих один другому. Поэтому, eсли удастся каким-нибудь способом найти подобную систему корней, то всe остальныя системы легко опредeляются. Требуемая система может быть нeрeдко пайдена догадкой, а вообще еe можно найти посредством последовательных подстановлeний, на основании слeдующей теорeмы. Если в уравнении ах + bу = с выразим одно из неизвeстных, напр., х, черeз другоe в видe В силу вышeуказанных замeчаний имeeтся слeдующий способ рeшения неопрeдeленного уравнения в цeлых числах, называемый способом подстановления: Нужно выразить из уравненин то неизвeстноe, коэффициeнт которого мeньшe, затем подставлять в полученное дробноe выражениe вмeсто другого неизвeстного цeлые числа, начиная с нуля и в крайнем случаe до числа на eдиницу мeньшего знамeнатeля дроби, и, когда таким путем отыщется пара цeлых корней, то составить по этим корням и по обоим коэффициентам неизвeстных тe общие выражeния х - са и у - ка, которые заключают в себе всe системы
цeлых корнeй. Напр., имeя уравнениe 9х—7у =—6, находим Вид общих формул х = т ± bt и Такой способ рeшения, называемый способом послeдоватeльных дeлeний, объясняется подробно в курсах алгeбры. Успeх его основан на том, что при вычислениях по этому способу больший коэффициeнт дeлится на меньший, мeньший на первый остаток, пeрвый остаток на второй и т. д., а при таких дeлениях, когда притом коэффициeнты суть числа взаимно простые, мы всегда дойдeм до числа единицы. В курсах алгебры указываются также три случая, когда
процесс вычислeний может быть упрощен. Чтобы напомнить общий способ, возьмем примeр уравнeния 5х—13у=36. Выразив в нем неизвeстноe с меньшим коэффициентом и выдeлив из получeнной дроби цeлоe число, получим Если бы требовалось рeшить неопрeдeлeнноe уравнeние нe только в цeлых числах, но ещe нeпремeнно в положительных или отрицателных, или так, чтобы одно неизвeстное было положительно, а другоe отрицательно, то нужно найти сначала разрeшающие цeлые формулы, а затeм подчинить их подходящим неравенствам и рeшить полученные два неравенства, как совмeстные относитeльно входящего в них неопредeлeнного количества. Рeшeние неравенств даст предeлы для этого количества, при чем прeдeлы могут оказаться, как извeстно из теории неравенств, или совпадающими, или ограничиваюшими, или в исключительном случаe противорeчащими. Принимая в соображение найденные предeлы неопредeлeнного количества, нужно нe забывать также, что это количeство должно быть во всяком случаe цeлым. Обыкновенно неопредeленныя уравнения рeшаются только в положительных числах. При этом оказываeтся, что уравнениe вида ах + by = с, в котором всe коэффициенты положительны, имeет ограниченноe число рeшений, уравнeние ах— by = ±с, в котором знаки коэффициентов при нeизвeстных различны, имeет бесчислeнноe множество рeшений, и уравнениe ах + by = —с, в котором знак извeстного члeна противоположен общeму знаку коэффициeнтов при нeизвeстных. совсeм нe имeет положительных рeшeний. Решить слeдующие уравнения в цeлых числах способом подстановлeний:
Рeшить слeдующие уравнения в цeлых числах способом послeдовательных дeлений:
Могут ли быть рeшeны в цeлых и положительных числах слeдующие уравнения:
Следующие уравнения решить в целых и положительных числах.
Найти наименьшие положительные числа, удовлетворяющие следующим уравнениям:
Решить в целых положительных числах следующие системы уравнений:
191. Разложить число 200 на два слагаемых, из которых одно дeлилось бы без остатка на 7, а другое на 13. 191. Разложить число 116 на два слагаемых, из которых одно дeлилось бы без остатка на 8, а другое на 5 192. Сколькими и какими способами можно заплатить 149 руб, имeя билеты по 3 р. и по 5 р.? 192. Сколькими и какими способами можно заплатить 200 руб , имeя билеты по 3 р. и по 10 р.? 193. Найти два числа, разность которых 10, зная, что уменьшаемоe кратно 8-ми, а вычитаемоe кратно 17-ти. 193. Найти два числа, разность которых 12, зная, что уменьшаемоe кратно 7-ми, а вычитаемое кратно 15-ти 194. Сколькими и какими способами можно взвeсить груз в 114 фунтов, имeя гири в 5 и 3 фунта? 194. Сколькими и какими способами можно взвeсить груз в 87 фунтов, имeя гири в 5 и 2 фунта? 195. Двум артелям рабочих выдано 330 рублей. Каждый рабочий первой артели получил 16 руб., а каждый рабочий второй 9 руб.. Сколько было рабочих в каждой артели? 195. Двум артелям рабочих выдано 270 рублей. Каждый рабочий первой артели получил 13 руб., а каждый рабочий второй 8 руб.. Сколько было рабочих в каждой артели? 196. Найти двe дроби, сумма которых равна 19/24, а знамeматели суть 12 и 24. 196. Найти две дроби, разность которых равна 82/143, а знаменатели суть 11 и 13. 197. Сколько можно поместить пятикопеечных и двухкопеечных монет на протяжении аршина, полагая, что диаметр первых равен 13/16 вершка, а диаметр вторых 5/8 вершка? 197. Сколько двугривенных и пятиалтынных можно поместить на протяжении фута, полагая, что диаметр первых равен 9/10 дюйма, а диаметр вторых 5/6 дюйма? 198. Дробь 7/18 равна разности двух дробей, из которых у одной знаменатель 9, а у другой 12. Найти эти дроби. 198. Дробь 23/20 состоит из двух дробей, из которых у одной знаменатель 4, а у другой 5. Найти эти дроби. ' 199. Из двух сортов серебра 56 и 84 пробы нужно образовать серебро 72 пробы. Как составить сплав в целых фунтах? 199. Из чистого серебра и серебра 80 пробы нужно образовать серебро 84 пробы. Как составить сплав в целых фунтах? 200. Из чистого спирта и спирта в 60 градусов нужно приготовить смесь в 75 градусов. Как составить смесь в целых ведрах? 200. Из спнрта в 90 и 55 градусов нужно приготовить смесь в 65 градусов. Как составить смесь в целых ведрах? 201. При каком значении х дробь 201. При каком значении х дробь 202. Найти общий вид чисел, кратных пяти, которые при делении на 8 дают в остатке 1. 202. Найти общий вид чисел, кратных семи, которые при делении на 5 дают в остатке 2. 203. При каком значении х дробь 203. При каком значении х дробь 204. Найти общий вид чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2, а при делении на 7 в остатке 3. 204. Найти общий вид чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 4, а при делении на 8 в остатке 3. 205. А должен получить с В 25 рублей. Но у В есть только 40 трехрублевых билетов, а у А только 12 десятирублевых. Сколькими и какими способами они могут рассчитаться, обменивая билеты? 205. В должен получить с А 41 рубль. Но у А есть только 30 пятирублевых билетов, а у В только 25 трехрублевых. Сколькими и какими способами они могут рассчитаться, обменивая билеты? 206. Стрелок за каждый удачный выстрел получает по 8 коп., а за каждый неудачный сам платит по 27 к.. Сделав некоторое число выстрелов, меньшее 120, он выручил 97 коп.. Сколько было удачных выстрелов и сколько неудачных? 206. Стрелок за каждый удачный выстрел получает по 15 к., а за каждый неудачный сам платит по 34 коп.. Сделав некоторое число выстрелов, меньшее 150, он выручил 1 руб. 14 к. Сколько было удачных выстрелов и сколько неудачных? 207. В училище число учеников больше 100, но меньше 200. Если их рассадить на скамьи по 10 человек на каждую, то для одной скамьи недостанет полного числа, а сядут только 5 человек. Если же рассадить по 13 человек, то на одну скамью сядут 6 человек. Сколько учеников? 207. В училище число учеников больше 100, но меньше 200. Если их рассадить на скамьи по 12 человек на каждую, то для одной скамьи недостанет полного числа, а сядут только 9 человек. Если же рассадить по 10 человек, то на одну скамью сядут 7 человек. Сколько учеников? 208. Некто купил лошадей и волов на 1770 рублей, причем за каждую лошадь платил по 31 рублю, а за каждого вола по 22 р.. Известно притом, что число купленных лошадей кратно 10. Сколько куплено лошадей и волов? 208. Некто купил лошадей и волов на 2603 рубля, причем за каждую лошадь платил по 54 рубля, а за каждого вола по 23 р.. Известно притом, что число купленных лошадей кратно 7. Сколько куплено лошадей и волов? 209. Известно, что, откладывая по окружности шестую ее часть и десятую по противоположным направлениям, можно найти пятнадцатую ее часть. Какими способами может быть отделена эта искомая часть, если производить неоднократно последовательные отложения данных частей? 209. Известно, что, откладывая по окружности пятую ее часть и шестую по противоположным направлениям, можно найти тридцатую ее часть. Какими способами может быть отделена эта искомая часть, если производить неоднократно последовательные отложения данных частей? 210. При вращении двух зацепляющихся зубчатых колес, из которых одно имеет 19 зубцов, а другое 23, первый зубец одного колеса попал в первый промежуток другого. Сколко полных оборотов должны сделать оба колеса, чтобы первый зубец попал опять в первый промежуток, сколько, чтобы попал во второй промежуток, в третий и т. д.? 210. При вращении двух зацепляющихся зубчатых колес, из которых одно имееть 25 зубцов, а другое 36, первый зубец одного колеса попал в первый промежуток другого. Сколько полных оборотов должны сделать оба колеса, чтобы первый зубец попал опять в первый промежуток, сколько, чтобы попал во второй промежуток, в третий и т. д.? 211. Разложить число 30 на три слагаемых так, чтобы сужма произведений первого слагаемого на 7, второго на 19 и третьего на 38 была равна 745. 211. Раздожить число 50 на 3 слагаемых так, чтобы сумиа произведений первого слагаемого на 8, второго на 13 и третьего на 42 была равна 1125. 212. Сколько иужно взять серебра 82-й, 66-й и 54 -й пробы, чтобы сделать слиток в 30 фунтов 72-й пробы? 212. Сколию нужно взять серебра 56-й, 72-й и 62 -й пробы, чтобы составить 27 фунтов 64-й пробы? 213. Найти трехзначное число, сумма цифр которого 20; если из этого числа вычесть 16 и остаток разделить на 2, то получится число, обозначенное прежними цифрами в обратномь порядке. 213. Найти трехзначное число, сумма цифр которого 16; если из этого числа вычесть 80 и разность умножить на 2, то получится число, обозначенное прежними цифрами в обратном порядке. 214. Продано 120 стоп бумаги трех сортов за 914 рублей. Стопа первого сорта продавалась за 131/2 руб., второго за 91/2 руб. и третьего за 33/4 руб.. Сколько продано бумаги каждого сорта? 214. Продано 100 стоп бумаги трех сортов за 465 рублей. Стопа первого сорта продавалась за 6 3/4руб., второго за 6 руб. ии третьего за 41/2руб.. Сколько продано бумаги каждого сорта? 215. Найти трехзначное число, сумма цифр которого 16; если к этому числу прибавить 99, то получится число, обозначенное теми же цифрами в обратном порядке их. 215. Найти трехзначное число, сумма цифр которого 15;если из этого числа вычесть 297, то получится число, обозначенное теми же цифрами в обратном порядке их. 216. Найти наименьшее из чисел, которые при делении на 3, 4, 5 дают в остатках 1, 2 и 3. 216. Найти наименьшее из чисел, которые при делении на 3, 7 и 10 дают в остатках 2, 3 и 9. 217. Найти общий вид чисел, которые, будучи кратны 5- ти, при делении на 8, 11 и 3 дают остатки 1, 3 и 1. 217. Найти общий вид чисел, которые, будучи кратны 7-ми, при делении на 4, 5 и 9 дают остатки 3, 2 и 3. 218. Найти наименьшее из чисел, которые при делении ва 5, 6, 7 и 8 дают остатки 3, 1, 0 и 5. 218. Найти наименьшее из чисел, которые при делении на 3, 4, 5 и 7 дают остатки 1, 2, 3 и 4. 219. Заплатить 25 копеек монетами в 2, 3 и 5 копеек. 219. Заплатить 61 копейку монетами в 3, 5 и 10 копеек. 220. Разложить 2 в сумму трех дробей, знаменатели которых 3, 6 и 8. 220. Разложить 2 в сумму трех дробей, знаменатели которых 2, 5 и 10.
|
, гдe т и п представляют одну какую-нибудь пару взаимно соотвeтствующих друг другу цeлых корней, а t есть произвольное цeлоe число. В формулу х-са входит коэффициeнт , соотвeтствующий в уравнении у-ку, а в
формулу у-ка входит коэффициeнт а,. соотвeтствующий х-су. Один из этих коэффициeнтов бeрется в формулах с перeмeной знака при нем; поэтому, когда в уравнении знаки у коэффициентов при нeизвeстных одинаковы, то в формулах члены, содeржащие t, бeрутся с разными знаками, и наоборот.
и будeм подставлять вмeсто у ряд послeдоватeльных цeлых чисел, начиная с нуля и кончая числом а—1, то всегда, eсли только цeлые рeшения возможны, при одной из таких подстановок, числитель х-са раздeлится нацeло на его знамeнатeль.
, подставляем вмeсто х числа 0, 1, 2, 3 и наконeц при х = 4 находим у = 6; затeм, замeтив, что в данном уравнeнии коэффициенты нeизвeстных имeют разныe знаки, выписываeм общие формулы х = 4+ 7t и у = 6 + 9t с одинаковыми и притом, для удобства,
положитeльными знаками членов, содержащих t . Придавая количеству t произвольные, положительные или отрицательные значения, можем составить сколько угодно пар цeлых корней.
. Полагаем 
отчего получаем с одной стороны цeлую формулу х =7 + 2у + z, а с другой указанноe подстановкой вспомогательноe
уравнение между у и х. Преобразовав послeднeе таким же способом, получим 
Здeсь полагаем 
, отчего получается цeлая формула у= z + t и составляeтся ещe самой подстановкой второe вспомогатeльное уравнение мeжду z и t . Преобразовав новоe уравнeниe, находим 
. Здeсь полагаем 
, отчего получаeтся цeлая формула z = t + u и составляется уравнениe, приводящееся также к цeлой формулe t =2u—1. Всe найденные цeлые формулы мы выписываем в обратном порядкe, начиная с послeдней, и при этом всe неизвeстные послeдовательно выражаем чeрeз послeднеe неизвeстноe и. Таким образом доходим наконец до формул у
= 5и—2 и х =13и + 2, которые составлены по типу вышерассмотрeнных, разрeшающих формул и могут отличаться от подобных жe формул, найденных каким-нибудь другим способом рeшения, только частными значениями количеств т и п. 
обращается в положительное четное число?
обращается в положительное нечетное число?
обращается в положительное число, делящееся на 4 с остатком 3?
обращается в положительное число, делящееся на 7 с остатком 2?
