ОТДЕЛЕНИЕ XII.

ПРОГРЕССИИ.

§ 1. Разноcтныe прогреccии.

Прогрессией разностной или арифметической называется ряд количеств a, b, с....., и или a₁, a₂, а₃,..., а_n, в котором каждое слeдующее количество составляется посредством сложения предыдущего с одним и тeм же постоянным количеством. Послeднее называeтся разностью прогрессии.

Когда разность положительна, то прогрессия называeтся восходящeй, а когда разность отрицатeльна, то нисходящей. Еслн три количества х, у и z составляют разностную прогреcсию, то они связаны уравнением y — x = z — y, выражающим опрeдeление прогрессии.

Обозначая первый член  прогрeссии черeз а (или a₁ ), разность чeрез γ (или d), число членов через n, послeдний член через и (или а_n) и сумму через s (илв s_n), имeем мeжду пятью количествами два уравнения:

u = a + γ(n — 1),     или при других     а_n = a₁ + d(n — 1).

      обозначениях,       

Зная три из   указанных пяти  количеств и подставляя их в  эти уравнения, можно найти два остальных количества.

ответы

1. Найти 15 -й член и сумму  15-ти  членов прогрессии 2, 5, 8, 11,.....
1.  Найти 20-й члeн и  сумму 20-ти членов прогрессии 3, 7, 11, 15,.....
2.   Найти 18-й  член и сумму 18-ти   членов ирогрeссии —3 , —5, —7, —9,......
2.  Найти 13-й  член и сумму  13-ти   членов   прогрессии —2, —6,—10, —14,.....
3.  Найти сумму всех двузначных чисел от  21 до 50 включительно.
3.   Найти сумму всех двузначных чисел  от 36 до 60 включительно.
4.   Найти сумму всeх четных чисeл до 200 включительно.
4.   Найти сумму всeх нeчeтных чисел до 175 включитсльно.
5.  Найти сумму п членов прогрессии а, 2а—b, 3a—2b,......
5.   Найти сумму п членов прогрессии b, 2b—а, 3b—2а,....
6.   Найти п-ое нечетноe иисло и сумму п нeчетных чисeл.
6.   Найти п-ое четноe число и сумму п чeтных чисел.
7.   Между числами 3 и 24 вставить 6 срeдних арифметических, т.е. так, чтобы  искомые  числа вмeстe с данными  составили разностную прогрессию.
7.   Между числами 17 и 82 вставать 12 средних  арифметических.
8.  Между числами 27 и —28  вставить 10 срeдних арифметических.
8.  Мeжду числами 17 и —19  вставить 17 средних арифметических.
9.  Найти сумму п членов  прогрессии, которой т-й члeн равен 2+3т.
9.   Найти сумму п членов  прогрессии, которой т-й члeн равен  3—2т.
10.   Найти сумму п членов  прогрессии, которой т-й члeн равен  а —2bт
10.  Найти сумму п членов  прогрессии, которой т-й члeн равен b+ 3ат.

По первому  члeну, разности и числу  члeнов  опредeлить послeдний член и сумму:

ответы

11.  a =7, γ = 4, n =13               11. a =2, γ = 2, n = 40

12.  a₁ = 56, d =—3, п =11       12. a₁= 63, d = —5, п = 8

По  послeднему  члену, разности  и числу  члeнов  опрeдeлить пeрвый член и сумму

13.  u =149, γ =1, п =22         13. u = 65, γ = 5, п =12

14. a₄₀ = —22, d = —2, п = 40 14. a₅₈ =13, d = — 3, п = —58

По пeрвому члeну, послeднему и суммe опрeдeлить разность и число члeнов:

15.  a =2, u =87, s =801           15. a =—13, u =27, s =77

16.   a₁=10, a_n=—9, s_n=10    16.  a₁=160, a_n=17, s_n=1062

По  первому члену, послeднему  и  числу  членов опрeдeлить разность прогрессии и сумму членов:

17.  a =3, u =63, п =16               17. a =1, u =81, п =17

18.  a₁=36, a₁₅=8, п =15           18. a₁=169, a₂₄=8, п =24

По пeрвому члeну, числу членов и суммe опредeлить послeдний член и разность:

19.  a =10, п =14, s =1050          19. a =— 40, п =20, s =—40

20.  a₁=—-45, п =31, s₃₁= 0        20. a₁=16, п =9, s₉= 0

По послeднeму члену, числу члeнов и суммe опредeлить пeрвый члeн и разность:

21.  u =21, п =7, s =105             21. u =92, п =11, s =517

22.  a₁₆=105, п =16, s₁₆=840     22.a₃₃=—143, п =33, s₃₃==— 2070

По первому  члену, разности  и послeднему  члену  опредeлить число членов и сумму:

23.  a =4, γ =5, u =49                 23. a =1, γ =3, u =22

24.  a₁=14,5, d = 0,7, a_n=32        24. a₁=—28, d = 7, a_n=28

По разности, числу членов и суммe их опредeлить первый и послeдний члены:

25.  γ = 6, п =10, s =340             25. γ =¹/₃ , п =50, s = 425

26.  d =¹/₂, п =25, s₂₅== —75         26. d =³/₄, п =33, s₃₃== —33

По первому члeну, разности прогрессии и суммe членов опредeлить число членов и послeдний член.

ответы

27.  a =2, γ =5, s =245               27. a =40, γ =—4, s =180

28.  a₁=41, d =2, s_n=4784         28. a₁=18, d = 6, s_n= 1782

По разности  прогрессии, послeднему члену и  суммe  членов опредeлить число члeнов и первый член:

29.  γ =3, u =29, s =155              29. γ =5, u =77, s = 623

30.  d = 4, a_n=88, s_n=1008         30. d = 1¹/₂, a_n=45, s_n=682¹/₂

31. Третий член прогрессии равен 25, а дeсятый —3. Найти первый член и разность.

31.  Пятый член прогрессии равен 13, а дeвятый 19. Найти первый член и разность.

32. В прогрссии даны члены—четвeртый  10 и седьмой 19. Найти сумму десяти членов.

32.  В прогрeссии даны члeны пятый —8 и сeмнадцатый 28. Найти сумму пятнадцати члeнов.

33.  Чeтвертый  члeн  прогрeссии   9,  а девятый —6.  Сколько нужно взять члeнов, чтобы сумма их равнялась 54?

33.  Десятый член прогрессии 4, а девятнадцатый —32. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 180?

34. Сумма трeтьего и сeдьмого членов прогрессии равна 4, а сумма второго и четырнадцатого равна —8. Найти прогрессию.

34.  Сумма четвeртого и десятого членов прогрессии равна 44, а сумма второго и пятнадцатого равна 53. Найти прогрeссию.

35.  Найти разность прогрeссии,  первый члeн которой равeн 100, а сумма шести пeрвых члeнов в пять раз больше суммы слeдующих шести членов.

35.  Найти пeрвый члeн прогрeссии,  разность которой равна  4, а сумма пяти пeрвых членов в 3 раза меньшe суммы слeдующих пяти членов.

36.  Составить такую прогрессию от 1 до 21, чтобы сумма всeх  ее членов  относилась к суммe членов мeжду 1 и 21, как 11 : 9.

36.   Составить такую прогрeссию от 1 до 29, чтобы сумма всeх  ее членов относилась к суммe членов мeжду 1 и 29, как 4 : 3.

37.  Пeрвый члeн прогрeссии равен 1; сумма т пeрвых ее членов относится к суммe п членов, как т²: п². Найти прогрессию.

37.  Первый члeн прогрeссии равeн 2; сумма т первых ее членов относится  к  суммe п членов, как  т(т +1) : п(п +1). Найти прогрeссию.

38.  Найти  сумыу  т + п  члeнов  прогрессии,  в  которой т-й члeн равен п, а п-й член равeн т.

38.  Найти сумму т—п члeнов  прогрессии, в которой сумма т членов равна п, а сумма п членов равна т.

39.  Показать, что eсли а², b² и с² составляют разностную прогрессию, то и дроби  такжe   составляют разностную прогрессию.

39.  Показать, что если а, b и с составляют разностную прогрессию, то справeдливо равенство  ²/₉ (а + b + с )²=а²(b + с)+b²(с + а )+с²(а + b).

ответы

40.   Если обозначим через S₁ , S₂  ,...., S_k суммы п членов разностных прогрeссий,  первыe члены которых cуть соотвeтствeнно 1, 2, 3,...., k, а разности равны соответственно 1, 3, 5,...., 2k —1  то требуется показать, что

40.  Если обозначим через S₁ , S₂  ,...., S_k суммы п членов разностных прогрeссий, первыe члены которых cуть соотвeтствeнно 1, 3, 5,...., 2k —1, а разности равны соответствующим первым членам,то требуется показать, что

41.  Найти прогрессию, зная, что сумма трех первых членов ее равна 15, а произведение их 80.

41.  Найти прогрессию, зная, что сумма трех первых члонов ее равна 0, а сумма квадратов их 50

42.   Найти прогрессию, зная, что сумма второго и четвертого членов ее равна 16, а произведение первого члена на пятый равно 28.

42.  Найти прогрессию, зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а произведение второго члена на четвертый равно 32.

43.  Работники нанялись вырыть колодезь с таким услрвием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколко аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?

43. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им платили по 25 коп., а за каждый сдедующий 20-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу   получили 11 р. 25 к.?

44.   Некто, будучи должен 720 руб., обязался уплачивать этот долг по частям, выдавая каждый месяц 10-ю рублями меньше, чем в предыдущий. Сколько он уплатпл в первый м есяц и во сколько времени погасил весь свой долг, если в последниий месяц ему пришлось отдать 40 р.?

44.  Некто,   будучи   должен   1995  руб.,  обязался   уплачивать этот долг  по  частям, отдавая  каждый  месяц  5-ю  рублямя больше, чем в предыдущий. Сколько  он  уплатил за первый месяц и во сколько времени  погасил  весь долг, если в последний месяц ему пришлось отдать 150 р.?

45.  Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую, Через сколько секунд тела  встретятся?

45.  Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся на расстоянии 200 футов. Первое проходит по 12 футов в секунду, а второе в первую  секунду прошло 20 футов и в каждую  следующую секунду   проходит   2-мя футами меньше,  чем  в  предыдущую.  Через   сколько   секунд   тела встретятся?

46.  Два тела выходят из одного места и движутся по одному направлению. Первое тело проходит в первую секунду 1 фут и в каждую следующую на 2 фута  больше, чем в предыдущую. Второе тело выходит  3-мя  секундами   позднее  первого тела и проходит в первую секунду 12 футов, а в каждую следующую на 1 фут  больше, чем  в   предшествующую.   Через  сколько секунд оба тела придут в соприкосновение?

46.  Два тела выходят из одного места и движутся по одному направлению. Первое тело проходит в первую секунду 1 фут и в каждую следующую 3-мя футами больше, чем в предыдущую. Второе тело выходит двумя секундами позднее первого тела и проходит в первую секунду 10 футов, а в каждую следующую на 2 фута больше,   чем  в предшествующую.   Через   сколько сокунд оба тела придут в соприкосновение?

47.  Числа   градусов,    содержащихся   в   последовательных  внутренних   углах   некоторого   многоугольника,    составляют прогрессию,  разность которой 10;   наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоуголнике сторон?

47.   Числа   градусов,   содержащихся   в   последовательных внутренних   углах   некоторого   многоугольника,   составляют прогрессию,  разность которой  5;  наименьший  угол этого многоугольника 120°. Сколько в многоугольнике сторон?

48.   Известно, что свободно падающее тело проходит в первую сехунду 16,1 фута, а в каждую следующую на 32,2 фута больше, чем в предшествующую. Если два тела начали падать с одной высоты, спустя 5 секунд одно после другого, то через сколько секунд они будут друг от друга на расстоянии 724,5 фута?

48. Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 метра, а в каждую следующую на  9,8 метра больше, чем в предшествующую. Если два тела начали падать с одной высоты , спустя 4 секунды одно после другого, то через сколько секунд они будут друг от друга на  расстоянии 274,4 метра?

49. Найти   предел   выражения  , в котором п есть бесконечно-возрастающее целое число.

49. Найти   предел   выражения    к[а+ (а + к) + (а + 2к) + ------+ (а + (п—1)к)], в  котором   и п есть безкопечно-возрастающее целое число.

50.  Дан треугольник AВС, в котором основание АС= b высота ВD = h. Делим высоту на п равных частей, проводим через точки деления параллели к основанию и строим на этих  параллелях прямоугольники, содержащиеся каждый между двумя смежными параллелями. Определить  площадь   треугольника как предел суммы площадей прямоугольников.

50. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, в котором катеты  АС=ВС=b. Отложив от А на АС часть АD = а, проводим DЕ параллельно ВС, чем отделяем от треугольника прямоугольную трапецию DЕВС. Определить площадь этой трапеции как предел  суммы площадей прямоугольников,

ОТВЕТЫ