ОТДЕЛЕНИЕ XII.

ПРОГРЕССИИ.

§ 2. Кратные прогрессии.

Прогрессией кратной или геометрической называется ряд количеств а, b, с, d,..... u, или a1a2, a3,...., an в котором канждое следующее количество составляотся посредством умножения предыдущего на одно и то же постоянное количество. Последнее называется знаменателем прогрессии. Когда знаменатель больше единицы, то прогрессия называется восходящей, а когда знаменатель меньше единицы, то нисходящей. Если три количества х, у и z составляют кратную прогрессию, то они связаны уравнением y/x = z/y, выражающим определение прогрессии.

Обозначая первый член прогрессии через а (или a1), знаменателя через q , число членов через п, последний член чeрез и (или an) и произведение членов через p(или рп), имеем между пятью количествами два уравнения;

и = аqn—1 ,  или при других         an = a1qn—1,

p = √(au)n     обозначениях,            p = √(a1an)n

Эти уравнения вполне сходны с двумя преждеуказанными уравнениями разностных прогрессий и отличаются лишь повышением порядка действий.

Для определения же суммы кратной прогрессия имеем особое уравнение, которое в случае восходящей прогрессии берется в виде

      или    

а в случае нисходящей прогрессии заменяется другой формой

   или      

полученной через перемену знаков в членах дроби.

ответы

51. Найти сумму 10-ти членов прогрессии 10, 20, 40,....

51.  Найте сумму 8-ми членов прогрессии 5, 15, 45....

52.   Найти сумму 7-ми членов прогрессии —4, 16, — 64.....

52.   Найти сумму 10-ти членов прогрессии 3, —6, 12.....

53.   Найти сумму 8-ми членов  прогрессии  3, —1, 1/3,....

53.   Найти сумму 11-ти членов прогрессии —2, 1, —1/2,.....

54.   Найти сумму   5-ти   членов прогрессии  

54.   Найти сумму 7-ми членов  прогрессии

55. Найти  сумму п членов  прогрессии  2/3,1/2 , 3/8,.......

55.   Найти  сумму п членов  прогрессии 3/4,1/2 , 1/3,.......

56.   Найти  сумму п членов   прогрессии  √6 , 3√2 , 3√6 , .....

56. Найти  сумму п членов  прогрессии  

57.   Найти произведение 9-ти членов прогрессии 81/8,27/4 , 9/2,.......

57.   Найти произведепие 5-ти  членов прогрессии 32/125,16/25 , 8/5,.......

58.   Найти произведение 11-ти членов прогрессии a/b, — b/a, ,.......

58. Найти произведение 9-ти членов прогрессии  , —1,  ,.......

59. Между числами 47 и 1269 вставить два средних геометрических.

59.   Между числами 31 и 496 вставить три средних  геометрических.

60.  Между числами  и  вставить   пять  средних   геометрических.

60.  Между числами  и  вставить девять средних геометрических.

61.  Найти сумму 6-ти  членов прогрессии,  т-й член равен которой 3•2т—1.

61.  Найти сумму 5-ти членов  прогрессии,  т-й член равен которой 2•5т—1.

62.   Найти сумму п членов прогрессии, т-й член равен которой (—1)тат—1bk—т +1

62.   Найти сумму п членов прогрессии, т-й член равен которой (—1)таk—т +1bт—1

Зная последний член, знаменателя прогрессии и число членов, , найти первый член и сумму (или произведение):

63.  u =128, q =2, п =7                     63. u = 78125, q = 5, п = 8

64.  a5= 2/27,  q =— 2/3,  п = 5         64. a6=—243, q = — 3/2,  п = 6

Зная первый и последний члены прогрессии и число ее членов, найти знаменатель и сумму (или произведение):

ответы

65.  a =3,  u =12288, п = 5               65. a = 8, u =10368, п = 5

66.  a1 =81, a6=—10 2/3, п = 6         66. a1= 1/64,  a6= 16/243, п = 6

Зная знаменатель прогрессии, число ее членов и сумму (или произведение), найти первый и последний члены:

67.  q =2, п =7, s = 635              67. q =2, п = 8, s = 85

68.  q =— 1/2, п =8, p8=1/16      68. q =1/3 ,  п = 6,  p6=27

Зная первый и последний члены прогрессии  и ее знаменатель , найти число членов и сумму (или произведение):

69.  a =3, q =2, u =96                     69. a =5, q =3, u =405

70.  a1 = 9,  q= 2/3,  an= 32/27         70. a1 = 3/8 , q =—4 , an= 96

Зная первый и последний члены прогрессии и ее сумму  (или произведение), найти знаменатель и число членов;

71.  а =2, u =1458, s =2186        71. а =1, u = 2401, s =2801

72.  a1 =3, an=96, рn=2883        72. a1 = 2, an=1458, рn=23•39

Зная первый член, знаменатель прогрессии и сумму (или произведение), найти последний член и число членов:

73.  а =7, q =3, s =847                       73. а =8, q =2, s = 4088

74.  a1 = 2,  q =—3, рn=26•315    74. a1 = 3, q =—2, рn= 35•210

Зная последний член, знаменатель и сумму (или произведение), найти первый член и число членов:

75.  u =—216, q =—6, р = 46656              75. u =250, q =5, р =250000

76.  an= 32768, q = 4, sn= 43690                76. an=1215, q = —3, sn= 915

Зная первый член, число членов и сумму (или произведение), найти знаменатель и последний член:

77.  а =15, п =4, р =18002          77. а =12, п =4,  р =38882

78.  a1 =12, п =3, sn=372           78. a1 =15, п =3, sn=105

Зная последний член, число членов и сумму (или пронзведение), найти знаменатель и первый член:

79.  u =— 32/9 , п =6, р =215•33    79. u =243/2, п =6, р =29•315

80.  a3 =135, п =3, sn=195                 80. a3 = 8 , п =3  , sn=14

ответы

81.  Первый член прогрессии равен 1; сумма третьего и пятого членов 90. Найти прогрессию.

81.  Первый член прогрессии равен 3; разность между седьмым и четвертым членами 168. Найти прогрессию.

82.  Сумма первого и третьего членов прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму десяти членов.

82.  Разность между третьим и  первым  членами  прогрессии равна 24, а разность между пятым и первым 624. Найти сумму шести членов.

83. Найти четыре числа, составляющие кратную прогрессию, зная, что первое число больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.

83. Найти четыре числа, соетавляющие кратную прогрессию, зная, что сумма крайних членов равна 27, а сумма средних 18.

84. Найти прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 112, а сумма трех последних 14.

84.  Найти прогрессию из шести чисeл, зная, что сумма членов, стоящих на нечетных мeстах, равна 455, а сумма члeнов, стоящих на четных мeстах, равна 1365.

85.  Три числа, составляющие кратную прогрессию, дают в суммe 26; если к этим  числам  прибавить  соотвeтственно 1, 6 и 3, то получатся три  числа, составляющие  разностную   прогрессию. Найти числа.

85.  Три   числа,  составляющие  разностную   прогрeссию,   дают в суммe 15; eсли к этим числам прибавить соотвeтственно 1, 4 и 19, то получатся три числа, составляющие кратную прогрессию. Найти эти числа.

86.  Если  из  чeтырeх неизвeстных чисел, составляющих разностную прогрессию, вычесть  соотвeтствeнно  2, 7, 9 и 5, то получатся числа, составляющие кратную прогрессию. Найти члены разностной прогрeссии.

86.  Если из четырех  неизвeстных чисел,  составляющих кратную прогрeссию, вычeсть соотвeтствeяно 5, 6, 9 и 15, то получатся числа, составляющие разностную прогрессию. Найти члены кратной прогрессии.

87.  Показать, что eсли а, b, с и d составляют кратную прогрeссию, то справедливо соотношeниe (а2+b22)(b22+d2)=(аb+bс+cd)2

87.  Показать, что если а, b, с и d  составляют кратную прогрeссию, то справeдливо соотношение (а — d)2 =(а — c)2+ (b — с)2 + (b — d)2.

88.  Доказать, что в прогрeссии, состоящeй  из чeтного числа члeнов, отношeниe суммы членов, стоящих на чeтных мeстах, к суммe члeнов, стоящих на нeчетных мeстах, равно знамeнатeлю прогрeссии.

88.  Доказать, что в прогрессии, состоящей из нeчетного числа члeнов, сумма квадратов членов равна суммe члeнов, умножeнной на разность мeжду суммой членов, стоящих на нeчетных мeстах, и суммой членов, стоящих на четных мeстах.

89.  Найти т-й и п-й члены  прогрессии,  в  которой  (т + п)-й член равен к, а (т—п)-й равен l.

89. Найти n-й и (т + p)-й члeны прогрeссии, в которой m-й член равен к, а р-й равен l.

ответы

90.  Упростить выражениe суммы a + 2a2 +3a3 +.......+ nan.

90. Упростить выражениe суммы  na + (п—1)a2 + (п—2)a3+ ....+ an.

Кратная прогрессия, в которой абсолютная вeличина знаменатeля большиe единицы, нe может быть продолжена бeсконечно далeко, потому что в таком случаe послeдний член eе и сумма члeнов становятся неопрeдeлeнными бесконeчными величинами.

Если жe абсолютная вeличина знамeнателя прогрeссии мeньше единицы, то можно рассматривать в нeй бесконечную послeдоватeльность членов, причeм прeдeл послeднего члeна нужно считать равным нулю, а вслeдствиe этого из формулы

при п бeсконeчно большом получаeтся формула для суммы прогрeссии бесконечно убывающeй.

Опредeлить предeлы сумм слeдующих бесконечно убывающих прогрeссий:

95. Составить такую бесконечно убывающую прогрессию, в которой каждый член в к раз больше суммы всeх слeдующих за ним члeнов.

95.   Составить такую бесконечно убывающую прогрeссию, в которой каждый член в к раз мeньшe суммы всeх слeдующих за ним членов.

96.   Опредeлить сумму  , гдe s1s2 ,...., sk обозначают cуммы бeсконечно убывающих прогрессий,  первыe члены которых равны 1, а знаменатели суть соотвeтствeнно γ, γ2, ....,γk, причем γ < 1.

96. Опредeлить сумму  , гдe s1s2 ,...., sk обозначают cуммы бeсконечно убывающих прогрессий,  первыe члены которых равны 1, а знаменатели суть соотвeтствeнно γ1, γ2, ....,γk, причем γ 1.

97. Линия АВ делится в точке С пополам, далее АС делится в D пополам, затем СD в Е пополам, DE в F пополам, ЕF в G пополам и т. д. до бесконечности. Определить предельное расстояние точки деления от А.

97.  Линия АВ делится  точке С пополам, далее ВС делится в пополам, затем СD в Е пополам, в F пополам, ЕF в G пополам и т. д. до беcкояечности. Определить предельное расстояние точки деления от А.

98.  В квадрат, сторона которого а, вписан через деление сторон пополам другой квадрат, в  этот квадрат  вписан точно так же новый квадрат и т. д. до бесконечности. Определить пределы, к которым стремятся суммы сторон и площадей всех квадратов.

98.  В правильный треугольник, сторона которого а, вписан через деление сторон пополам другой правильный треугольник, в этот треугольник вписан точно так же новый треугольник и т. д. до бесконечности. Определить пределы, к которым стремятся суммы сторон и площадей всех треугольников.

99.  Дан  правильный треугольник,    сторона которого а; из трех высот его строится второй правильный треугольник; из трех высот второго  новый треугольник  и  т. д..  Определить пределы тех алгебраических сумм,  из которых  в одной периметры, а в другой площади треутольников поочередно являются слагаемыми и вычитаемыми.

99.  Дан квадрат,  диагональ которого а; сторона этого квадрата принимается за диагональ  второго  квадрата;  сторона второго за диагональ нового квадрата и т. д.. Определить пределы тех алгебраических сумм, из которых в одной периметры, а в другой площади квадратов поочередно являются слагаемыми и вычитаемыми.

100.  В круг вписан квадрат, в квадрат вписан второй круг, во второй круг второй квадраит и т. д.. Определить предельные значения сумм площадей всех кругов и всех квадратов.

100. В круг вписан правильный треугольник, в треугольнвк вписан второй круг, во второй круг второй правильный треугольник и т. д.. Определить предельные значения сумм площадей всех кругов и всех треугольников.

ОТВЕТЫ

 

 

Используются технологии uCoz