ОТДЕЛЕНИЕ XII.
ПРОГРЕССИИ.
§ 2. Кратные прогрессии.
Прогрессией кратной или геометрической называется ряд количеств а, b, с, d,..... u, или a1, a2, a3,...., an в котором канждое следующее количество составляотся посредством умножения предыдущего на одно и то же постоянное количество. Последнее называется знаменателем прогрессии. Когда знаменатель больше единицы, то прогрессия называется
восходящей, а когда знаменатель меньше единицы, то нисходящей. Если три количества х, у и z составляют кратную прогрессию, то они связаны уравнением y/x = z/y, выражающим определение прогрессии.
Обозначая первый член прогрессии через а (или a1), знаменателя через q , число членов через п, последний член чeрез и (или an) и произведение членов через p(или рп), имеем между пятью количествами два уравнения;
и = аqn—1 , или при других an = a1qn—1,
p = √(au)n обозначениях, p = √(a1an)n
Эти уравнения вполне сходны с двумя преждеуказанными уравнениями разностных прогрессий и отличаются лишь повышением порядка действий.
Для определения же суммы кратной прогрессия имеем особое уравнение, которое в случае восходящей прогрессии берется в виде
или
а в случае нисходящей прогрессии заменяется другой формой
или
полученной через перемену знаков в членах дроби.
ответы
51. Найти сумму 10-ти членов прогрессии 10, 20, 40,....
51. Найте сумму 8-ми членов прогрессии 5, 15, 45....
52. Найти сумму 7-ми членов прогрессии —4, 16, — 64.....
52. Найти сумму 10-ти членов прогрессии 3, —6, 12.....
53. Найти сумму 8-ми членов прогрессии 3, —1, 1/3,....
53. Найти сумму 11-ти членов прогрессии —2, 1, —1/2,.....
54. Найти сумму 5-ти членов прогрессии
54. Найти сумму 7-ми членов прогрессии
55. Найти сумму п членов прогрессии 2/3,1/2 , 3/8,.......
55. Найти сумму п членов прогрессии 3/4,1/2 , 1/3,.......
56. Найти сумму п членов прогрессии √6 , 3√2 , 3√6 , .....
56. Найти сумму п членов прогрессии
57. Найти произведение 9-ти членов прогрессии 81/8,27/4 , 9/2,.......
57. Найти произведепие 5-ти членов прогрессии 32/125,16/25 , 8/5,.......
58. Найти произведение 11-ти членов прогрессии a/b, — b/a, ,.......
58. Найти произведение 9-ти членов прогрессии , —1, ,.......
59. Между числами 47 и 1269 вставить два средних геометрических.
59. Между числами 31 и 496 вставить три средних геометрических.
60. Между числами и вставить пять средних геометрических.
60. Между числами и вставить девять средних геометрических.
61. Найти сумму 6-ти членов прогрессии, т-й член равен которой 3•2т—1.
61. Найти сумму 5-ти членов прогрессии, т-й член равен которой 2•5т—1.
62. Найти сумму п членов прогрессии, т-й член равен которой (—1)тат—1bk—т +1
62. Найти сумму п членов прогрессии, т-й член равен которой (—1)таk—т +1bт—1
Зная последний член, знаменателя прогрессии и число членов, , найти первый член и сумму (или произведение):
63. u =128, q =2, п =7 63. u = 78125, q = 5, п = 8
64. a5= 2/27, q =— 2/3, п = 5 64. a6=—243, q = — 3/2, п = 6
Зная первый и последний члены прогрессии и число ее членов, найти знаменатель и сумму (или произведение):
ответы
65. a =3, u =12288, п = 5 65. a = 8, u =10368, п = 5
66. a1 =81, a6=—10 2/3, п = 6 66. a1= 1/64, a6= — 16/243, п = 6
Зная знаменатель прогрессии, число ее членов и сумму (или произведение), найти первый и последний члены:
67. q =2, п =7, s = 635 67. q =2, п = 8, s = 85
68. q =— 1/2, п =8, p8=1/16 68. q =1/3 , п = 6, p6=27
Зная первый и последний члены прогрессии и ее знаменатель , найти число членов и сумму (или произведение):
69. a =3, q =2, u =96 69. a =5, q =3, u =405
70. a1 = 9, q= 2/3, an= 32/27 70. a1 = 3/8 , q =—4 , an= 96
Зная первый и последний члены прогрессии и ее сумму (или произведение), найти знаменатель и число членов;
71. а =2, u =1458, s =2186 71. а =1, u = 2401, s =2801
72. a1 =3, an=96, рn=2883 72. a1 = 2, an=1458, рn=23•39
Зная первый член, знаменатель прогрессии и сумму (или произведение), найти последний член и число членов:
73. а =7, q =3, s =847 73. а =8, q =2, s = 4088
74. a1 = 2, q =—3, рn=—26•315 74. a1 = 3, q =—2, рn= 35•210
Зная последний член, знаменатель и сумму (или произведение), найти первый член и число членов:
75. u =—216, q =—6, р = 46656 75. u =250, q =5, р =250000
76. an= 32768, q = 4, sn= 43690 76. an=1215, q = —3, sn= 915
Зная первый член, число членов и сумму (или произведение), найти знаменатель и последний член:
77. а =15, п =4, р =18002 77. а =12, п =4, р =38882
78. a1 =12, п =3, sn=372 78. a1 =15, п =3, sn=105
Зная последний член, число членов и сумму (или пронзведение), найти знаменатель и первый член:
79. u =— 32/9 , п =6, р =—215•33 79. u =— 243/2, п =6, р =—29•315
80. a3 =135, п =3, sn=195 80. a3 = 8 , п =3 , sn=14
ответы
81. Первый член прогрессии равен 1; сумма третьего и пятого членов 90. Найти прогрессию.
81. Первый член прогрессии равен 3; разность между седьмым и четвертым членами 168. Найти прогрессию.
82. Сумма первого и третьего членов прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму десяти членов.
82. Разность между третьим и первым членами прогрессии равна 24, а разность между пятым и первым 624. Найти сумму шести членов.
83. Найти четыре числа, составляющие кратную прогрессию, зная, что первое число больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.
83. Найти четыре числа, соетавляющие кратную прогрессию, зная, что сумма крайних членов равна 27, а сумма средних 18.
84. Найти прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 112, а сумма трех последних 14.
84. Найти прогрессию из шести чисeл, зная, что сумма членов, стоящих на нечетных мeстах, равна 455, а сумма члeнов, стоящих на четных мeстах, равна 1365.
85. Три числа, составляющие кратную прогрессию, дают в суммe 26; если к этим числам прибавить соотвeтственно 1, 6 и 3, то получатся три числа, составляющие разностную прогрессию. Найти числа.
85. Три числа, составляющие разностную прогрeссию, дают в суммe 15; eсли к этим числам прибавить соотвeтственно 1, 4 и 19, то получатся три числа, составляющие кратную прогрессию. Найти эти числа.
86. Если из чeтырeх неизвeстных чисел, составляющих разностную прогрессию, вычесть соотвeтствeнно 2, 7, 9 и 5, то получатся числа, составляющие кратную прогрессию. Найти члены разностной прогрeссии.
86. Если из четырех неизвeстных чисел, составляющих кратную прогрeссию, вычeсть соотвeтствeяно 5, 6, 9 и 15, то получатся числа, составляющие разностную прогрессию. Найти члены кратной прогрессии.
87. Показать, что eсли а, b, с и d составляют кратную прогрeссию, то справедливо соотношeниe (а2+b2+с2)(b2+с2+d2)=(аb+bс+cd)2
87. Показать, что если а, b, с и d составляют кратную прогрeссию, то справeдливо соотношение (а — d)2 =(а — c)2+ (b — с)2 + (b — d)2.
88. Доказать, что в прогрeссии, состоящeй из чeтного числа члeнов, отношeниe суммы членов, стоящих на чeтных мeстах, к суммe члeнов, стоящих на нeчетных мeстах, равно знамeнатeлю прогрeссии.
88. Доказать, что в прогрессии, состоящей из нeчетного числа члeнов, сумма квадратов членов равна суммe члeнов, умножeнной на разность мeжду суммой членов, стоящих на нeчетных мeстах, и суммой членов, стоящих на четных мeстах.
89. Найти т-й и п-й члены прогрессии, в которой (т + п)-й член равен к, а (т—п)-й равен l.
89. Найти n-й и (т + p)-й члeны прогрeссии, в которой m-й член равен к, а р-й равен l.
ответы
90. Упростить выражениe суммы a + 2a2 +3a3 +.......+ nan.
90. Упростить выражениe суммы na + (п—1)a2 + (п—2)a3+ ....+ an.
Кратная прогрессия, в которой абсолютная вeличина знаменатeля большиe единицы, нe может быть продолжена бeсконечно далeко, потому что в таком случаe послeдний член eе и сумма члeнов становятся неопрeдeлeнными бесконeчными величинами.
Если жe абсолютная вeличина знамeнателя прогрeссии мeньше единицы, то можно рассматривать в нeй бесконечную послeдоватeльность членов, причeм прeдeл послeднего члeна нужно считать равным нулю, а вслeдствиe этого из формулы
при п бeсконeчно большом получаeтся формула для суммы прогрeссии бесконечно убывающeй.
Опредeлить предeлы сумм слeдующих бесконечно убывающих прогрeссий:
95. Составить такую бесконечно убывающую прогрессию, в которой каждый член в к раз больше суммы всeх слeдующих за ним члeнов.
95. Составить такую бесконечно убывающую прогрeссию, в которой каждый член в к раз мeньшe суммы всeх слeдующих за ним членов.
96. Опредeлить сумму , гдe s1, s2 ,...., sk обозначают cуммы бeсконечно убывающих прогрессий, первыe члены которых равны 1, а знаменатели суть соотвeтствeнно γ, γ2, ....,γk, причем γ <
1.
96. Опредeлить сумму , гдe s1, s2 ,...., sk обозначают cуммы бeсконечно убывающих прогрессий, первыe члены которых равны 1, а знаменатели суть соотвeтствeнно γ—1, γ—2, ....,γ—k,
причем γ > 1.
97. Линия АВ делится в точке С пополам, далее АС делится в D пополам, затем СD в Е пополам, DE в F пополам, ЕF в G пополам и т. д. до бесконечности. Определить предельное расстояние точки деления от А.
97. Линия АВ делится точке С пополам, далее ВС делится в D пополам, затем СD в Е пополам, DЕ в F пополам, ЕF в G пополам и т. д. до беcкояечности. Определить предельное расстояние точки деления от А.
98. В квадрат, сторона которого а, вписан через деление сторон пополам другой квадрат, в этот квадрат вписан точно так же новый квадрат и т. д. до бесконечности. Определить пределы, к которым стремятся суммы сторон и площадей всех квадратов.
98. В правильный треугольник, сторона которого а, вписан через деление сторон пополам другой правильный треугольник, в этот треугольник вписан точно так же новый треугольник и т. д. до бесконечности. Определить пределы, к которым стремятся суммы сторон и площадей всех треугольников.
99. Дан правильный треугольник, сторона которого а; из трех высот его строится второй правильный треугольник; из трех высот второго новый треугольник и т. д.. Определить пределы тех алгебраических сумм, из которых в одной периметры, а в другой площади треутольников поочередно являются слагаемыми и вычитаемыми.
99. Дан квадрат, диагональ которого а; сторона этого квадрата принимается за диагональ второго квадрата; сторона второго за диагональ нового квадрата и т. д.. Определить пределы тех алгебраических сумм, из которых в одной периметры, а в другой площади квадратов поочередно являются слагаемыми и вычитаемыми.
100. В круг вписан квадрат, в квадрат вписан второй круг, во второй круг второй квадраит и т. д.. Определить предельные значения сумм площадей всех кругов и всех квадратов.
100. В круг вписан правильный треугольник, в треугольнвк вписан второй круг, во второй круг второй правильный треугольник и т. д.. Определить предельные значения сумм площадей всех кругов и всех треугольников.
ОТВЕТЫ
|