ОТДЕЛЕНИЕ XII.

ПРОГРЕССИИ.

§ 3. Простейшие ряды, приводящиеся к прогрессиям.

Рядом называется последовательность выражений, в которой каждое следующее выражение составляется из предыдущего по одному и тому же определенному закону. Прогрессии представляют частные примеры рядов. Ряды бывают конечные и бесконечные.

Выражения, составляющие ряд, называются членами его; они обозначаются обыкновенно через и₁, и₂,...., и_n. Выражение и_n представляет общий член ряда; придавая в этом выражения букве п частные значения 1, 2, 3,...., будем получать все члены ряда, начиная с первого. Сумма п членов ряда обозначается через s_n. Определение суммы называется суммированием ряда. Cуммирование рядов не имеет общих правил и возможно лишь в исключительных случаях.

В нижеследующих простейших примерах суммы рядов определяются посредством разложения этих  рядов на разностные или кратные прогрессии.

Если указанное разложение не замечается непосредственно при рассматривании всего ряда, то нужно отдельно рассматривать его общий член и по разложению последнего судить о разложении всего ряда.

Определить в случаях четного и нечетного п суммы п членов следующих рядов, приводящихся к разностным прогрессиям.

ответы

101.  1—3+5—7 +.......             101. 2— 4 + 6 — 8 +............

102.  1—2 + 3— 4+.......              102. 1 + 2—3—4 +..........

Определить  суммы  п членов следующих рядов,  приводящихся к кратным прогрессиям:

107. Основываясь на тождестве п³—(п—1)³ = 3п²—3п + 1 и подставляя  в  это тождество, вместо п ряд чисел 1, 2, 3,...., п, определить сумму квадратов п первых натуральных чисел.

107. Основываясь на тождестве  п⁴—(п—1)⁴ = 4п³—6п² + 4п —1 и подставляя  в  это тождество, вместо п ряд чисел 1, 2, 3,...., п, определить сумму  кубов п первых натуральных чисел.

108.  Найти сумму п членов ряда,  общий член которого 3п²+2п.

108.  Найти сумму п члепов ряда, общий член которого 4п³—3п.

109.   Вообразив пирамидальную кучу шаров, в которой основание и каждый из остальных слоев имеет форму равностороннего треугольника, замечаем, что числа шаров, лежащих в слоях, начиная с верхнего, выражаются  последовательными суммами   1,  1+ 2,  1+2+3,...., 1+2+3+.......+ п.  Основываясь  на жш, что общий член этого ряда сумм может быть представлен в виде  ¹/₂ п²+ ¹/₂ п определить полное число шаров в куче.

109,  Вообразив пирамидальную кучу шаров, в которой основание и каждый из остальных слоев имеет форму прямоугольника, замечаем, что числа шаров, лежащих в слоях, начиная с верхнего, в котором, положим, один  ряд в а шаров, выражаются   последовательно через     а, 2(а+1), 3(а+2),......, п(а + п —1). Основываясь на  том, что общий вид  этих выражений может быть написан в форме п² + (а—1)п, определить полное число шаров в куче.

110. Найти сумму п членов ряда 1•2 + 2•3 + 3•4 + 4•5+...........

110. Найти  сумму  п членов ряда  1•2(а+1) + 2•3(а+2) + 3•4 (а + 3) + 4•5(а + 4)+.........

ОТВЕТЫ