ОТДЕЛЕНИЕ XIII.

ЛОГАРИФМЫ   И   ИХ   ПРИМЕНЕНИЯ.

§ 1. Общие свойства логарифмов.

Два равенства у = ах и х = loga y  (или х = Lga y ) выражают одну и ту же зависимость чисел. Отыскание y по первому из них составляет действие возведение в степень или потенцирование, отыскание х по второму составляет вычисление показателя или логарифмирование. Когда рассматривается последнее действие, то у называется числом, а основанием системы логарифмов и х логарифмом числа у при основании а.

Логарифмом называется показатель степени, в которую нужно возвести основание для составления числа.

1. Какое число имеет логарифм 3 при основании 2?
1. Какое число имеет логарифм 2 при основания 3?
2. Какое число имеет логарифм  1/2 при основании 9?
2. Какое число имеет логарифм 1/3 при основании 8?
3.  При каком основании число 32 имеет логарифм 5?
3.  При каком основании число  81 имеет логарифм 4?
4.  При каком основании число  4 имеет логарифм  1/3
4.  При каком основании число  9 имеет логарифм 5?
5.  Чему равен логарифм числа 16, когда основание равно 2?
5.  Чему равен логарифм числа 27, когда основание равно 3?
6.  Чему равен логарифм числа 3, когда основание равно 81?
6.  Чему равен логарифм числа 7, когда основание равно 49?
7.  При каком основании log 16 равен 2?
7.  При каком основании log  81 равен 2?
8.   Найти х, зная, что log4 х= 3,
8.   Найти х, зная, что log5 х= 3.
9.   Какое число имеет при основании 5 логарифм —2?
9.   Какое число имеет при основании 3 логарифм — 3?
10.   Найти логарифм 1/8 при основании 2.
10.   Найти логарифм 1/81 при основании 3.
11.  Найти логарифмы числа 1024, принимая за основание числа 2,  4 и 32.
11.  Найти логарифмы числа 729, принимая  за основания числа 3,  9 и 27.
12.  Найти логарифмы  числа 81, принимая  за основание числа 1/3 ,1/9, 1/81
12.  Найти логарифмы числа 256, принимая  за основание числа 1/2 ,1/4, 1/16
13.  Какое число имеет логарифм —3 при основании 8?
13.   Какое число имеет логарифм —4 при основании 6?
14.  При каком основании логарифм 1/243 равен —5?
14.  При каком основании  логарифм 1/64 равен —3?
15.  Найти  логарифмы дроби 1/64, принимая  за основания  числа 2,   4 и 8.
15.  Найти логарифмы  дроби 1/729, принимая  за основания числа 3,  9 и 27.
16.  Найти логарифмы  дроби 1/729, принимая за основания числа 1/3 ,1/9, 1/27
16. Найти логарифмы дроби 1/512 , принимая за основания числа 1/2 ,1/4, 1/8
17. Основание равно 3/4; найти числа,  логарифмы которых суть 0, 1, —1, 2, —2, 3, —3
17. Основание равно  11/2; найти числа, логарифмы которых суть 0, 1, —1, 3, —3, 4, —4
18.  Основание равно 21/2; найти логарифмы чисел 2/5 , 6 1/4,  1,  8/125
18.   Основание равно 3/5; найти логарифмы чисел 5/3 , 2 7/9,  1,  27/125
19.  При каких основаниях  число 125   имеет логарифмы 3,1,  —3, —1?
19.  При каких основаниях  число  343  имеет логарифмы 3, —3, 1, —1?
20.  Если основание логарифмов равно 0,5, то чему равны логарифмы  чисел 1, 4, 2, 1/4, 8, 1/8
20.  Если основание логарифмов равно 0,2, то чему равны логарифмы  чисел 1, 25, 5, 0,04, 125, 0,008?

ответы

21.  Какое число имеет логарифм 3/4 при основании 3?
21.  Какое число имеет логарифм 2/3 при основании 2?
22.  Найти логарифм числа 2 при основании 5.
22.  Найти логарифм числа 5 при основании 3.
23.  При каком основании число 5 имеет логарифмом 2?
23.  При каком основании число 3 имеет логарифмом 2?
24.  Найти логарифм числа 200 при основании 10.
24.  Найти логарифм числа 60 при основании 5.
25.  Найти число, логарифм которого при основании 8 равен — 3/4
25. Найти число, логарифм которого при основании 25 равен —2/3
26.  При каком основании число 7 имеет  логарифм —11/2?
26. При каком  основании   число 5 имеет логарифм —3/4?
27. Основание логарифмов —8; найтии числа, логарифмы которых суть —1, 3, —2, 1/3  ,—1/3 .
27.  Основание логарифмов —81; найти числа, логарифмы которых суть 2, —1, —2, 1/4,— 1/2
28.  Найти логарифмы чисел —8/27 ,4/9, 5 1/16 при основании равном  —2/3.
28.  Найти логарифмы чисел —1/4 , —2, —32, 64  лри основании равном —1/8
29.  Чему равен логарифм 59 при основании 3, 81, 1/9 ,  1/81 ?
29.  Чему равен логарифм 349  при основании 7, 1/7, 49, 1/343
30.  При каком основании √8 имеет логарифмы  3/4,—3,—1, 2/3 
30. При каком основании  325 имеет логарифмы  2/3, — 3/2, —1,—2?

Решить следующие показательные уравнения, в которых неизвестные обозначены последними буквами алфавита:

ответы

Если. некоторое число составляется по данным числам посредством действий умножения, деления , возведения в степень и извлечения корня, то логарифм этого числа составляется по логарифмам данных чисел посредством действий низшего порядка —сложения, вычитания, умножения и деления.

Составление логарифма по данному выражению числа называется логарифмированием. Деиствие логарифмирования производится на основании следующих  теорем:

Логарифм произведения равен сумме логарифмов производителей.

Логарифм частного равен разности между логарифмами делимого и делителя.

Логарифм степени равен логарифму числа, возводимого в степень, умноженному на показатель степени.

Логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

51.  Выразить  log 6 через log 2 и log 3.
51.  Выразить   log 21 через   log 3 и  log 7.
52.  Выразить  log 12/3 черeз  log 5 и  log 3.
52.  Выразить  log 23/5 через  log 13 и  log 5.
53.  Выразить  log 125 через  log 5.
53.  Выразить  log 81  через  log 3.
54.  Выразить   log  411 через  log 11.
54.  Выразить log 52  через  log 2.
55.  Если основание логарифмов равно 3, то log 81= 4 и log 243=5.
Чему равны  log (81•243)  и  log 81/243   при том же основании?
55. Если основание логарифмов  равно 2, то log 64=6 и log 1024=10
Чему равны log (1024•64) и log 64/1024 при том же основании?

56. Каких простых чисел нужно знать логарифмы, чтобы найти логарифмы при том же основании чисел 24, 125/27, √38 ?

56.   Каких простых чисел нужно знать логарифмы, чтобы найти логарифмы при том же основании чисел 18, 8/25, 350, ?

В нижеслeдующих задачах посрeдством букв lg обозначены так называeмыe десятичныe логарифмы, т. e. логарифмы при оснозавии 10.

57.   Зная, что lg 2 = 0,30103, lg 3 = 0,47712 и lg 5 = 0,69897, найти lg 6, lg 15, lg 30, lg 10, lg 1000.

57.   Зная, что lg 2= 0,30103, lg 5=0,69897 и lg 7=0,84510, найти , lg 14, lg 35, lg 50, lg 100, lg 10000.

58.  При данных предыдущей задачи найти lg 21/2, lg 12/3, lg 2/25, lg 0,6, lg 0,016.

58.  При данных предыдущей задачи найти lg 24/5, lg 2/7, lg 5/14, lg 0,07, lg 0,0014.

59.   Найти lg 2, lg 20, lg 200, а такжe lg 15, lg 150, lg 1500.

59. Найти lg 7, lg 70, lg 700, а также lg 35, lg 350, lg 3500.

60. Найти lg 3, lg 0,003, lg 0,06, lg 0,0006.

60. Найти lg 0,2, lg 0,002, lg 0,14, lg 0,0014.

Произвести логарифмированиe слeдующих выражeний:

ответы

Если логарифм нeкоторого числа выражeн чeрез логарифмы данных чисeл посрeдством обозначения дeйствий сложeния, вычитания, умножения и дeления, то можно найти выражения искомого чисда чeрeз данные числа посредством обозначeния соотвeтствующих дeйствий высшего порядка.

Составлениe числа по данному выражeнию логарифма называется потенцированиeм. Дeйствиe потенцирования производится на основании вышеуказанных четырeх теорем, выражeнных только в обратной формe.

Сумма логарифмов нeскольких чисeл равна логарифму произведeния этих чисeл.

Разность логарифмов двух чисeл равна логарифму частного от дeления первого числа на второe.

Произвeдение логарифма на число равно логарифму стeпени,  показатель которой равен множителю.

Частноe от дeления логарифма на число равно логарифму корня, показатeль которого  равен дeлителю.

Рeшить посредством потенцирования слeдующия уравнeния:

ответы

Найти выражения по данным формам их логарифмов:

Решить при помощи логарифмирования следующие уравнения:

Решить при помощи потенцирования следующие уравнения:

ОТВЕТЫ

 

Используются технологии uCoz