Часть вторая.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Глава    одиннадцатая.

Распространение законов и свойств действий на дробные числа.

§ 92. Сложение.
§ 93. Вычитание.
§ 94. Умножение.
§ 95. Деление.

§ 92. Сложение.

При изучении целых чисел мы рассматривали различные свойства действий. Теперь, после ознакомления с дробями, мы покажем, что эти свойства остаются справедливыми и для дробных чисел.

1. Сумма дробных чисел подчиняется переместительному закону, т. е. сумма не изменяется от перемены мест слагаемых.

Возьмём две дроби: 1/2 и 1/3.

Сумма этих двух   дробей (1/2 + 1/3)  равна  5/6  независимо   от того, в каком порядке мы будем складывать эти дроби, т. е.

2. Сумма дробных чисел подчиняется сочетательному закону, т. е. сумма не изменится, если какую-нибудь группу  рядом стоящих слагаемых мы заменим их суммой.

Сумма трёх дробей 1/15, 4/15 и 8/15   может   быть   получена   различной группировкой слагаемых, например:

3. Если какое-либо слагаемое увеличим или уменьшим на какое-нибудь число, то и сумма увеличится или уменьшится на то же самое число.

Найдём сумму двух дробей, например:

Прибавим к первому слагаемому 1/8 и посмотрим, как при этом изменится  сумма.

Если мы выполним вычисления, то увидим, что сумма увеличилась на 1/8, т. е. на столько же, на  сколько было  увеличено первое слагаемое.

Далее, можно проверить, что с уменьшением одного слагаемого на какое-нибудь число сумма уменьшится на то же самое  число.

§ 93. Вычитание.

Разность дробных чисел изменяется при изменении данных чисел, т. е. уменьшаемого и   вычитаемого, совершенно так же, как и разность целых   чисел.

1. . Прибавим к уменьшаемому 1/10 ; получим:

вычтем теперь из 4/5 вычитаемое, т. е. 1/5 найдём:

Новая разность (3/5) больше прежней разности ( 1/2 ) на 1/10 . Значит,если уменьшаемое увеличим на какое-нибудь число,  не изменяя вычитаемого, то и разность увеличится на то же самое число.

2.  Очевидно, что если уменьшаемое уменьшим на какое-нибудь число,   не изменяя вычитаемого, то разность уменьшится на то же самое число.

Рекомендуем проверить справедливость этого утверждения, взяв для вычитания любые две дроби.

 

3.  Перейдём теперь к вычитаемому. Пусть мы нашли разность двух  дробей:

Прибавим к вычитаемому дробь 2/15:

Вычтем теперь из 14/15 новое вычитаемое 13/15:

Разность равна теперь не 1/5, a 1/15, т. е. она уменьшилась на 2/15

Значит,  если  вычитаемое увеличим  на  какое-нибудь  число, то разность уменьшится на то же число.

4. Возьмём теперь две другие дроби 10/11 и 1/2 и вычтем из большей меньшую:

Если будем уменьшать вычитаемое и при этом учитывать, что произойдёт с разностью, то увидим, что при уменьшении вычитаемого на какое-нибудь число разность увеличится на то же число.

5. Найдём разность двух следующих дробей:

Увеличим одновременно   уменьшаемое и вычитаемое  на 1/40; и опять выполним вычитание:

Мы  видим,  что одновременное  увеличение  уменьшаемого   и вычитаемого на одно и то же число не изменяет разности.

Уменьшим теперь  одновременно  уменьшаемое и  вычитаемое на 3/40 и снова выполним вычитание:

Снова разность осталась без изменения. Таким образом, можно сказать: если уменьшаемое и вычитаемое увеличим или уменьшим на одно и то же число, то разность не изменится.

§ 94. Умножение.

1. Произведение дробных чисел подчиняется переместительному закону, т. е. произведение не изменяется от перемены мест сомножителей.

Если мы возьмём две какие-нибудь дроби, например 4/5 и 2/3, то можно написать:

2. Произведение дробных чисел подчиняется сочетательному закону, т. е. произведение не изменяется, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей мы заменим их произведением.

Произведение трёх дробных чисел: 1/2, 2/3, 3/4,  может быть получено различной группировкой сомножителей, например:

3. Произведение дробных чисел подчиняется распределительному закону, т. е. произведение суммы нескольких дробных чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого из дробных чисел на это число. Например:

Заметим, что множитель мог быть и дробным числом.

4. Рассмотрим изменение произведения в зависимости от изменения сомножителей. Найдем произведение 14/15 и 1/2:

Увеличим первый сомножитель в 3 раза и снова выполним умножение:

Сравним этот результат с предыдущим посредством деления:

Таким образом, новое произведение в 3 раза больше прежнего.

Следовательно, мы можем сказать: если один из двух сомножителей увеличим в несколько раз, а другой оставим без изменения, то произведение увеличится во столько же раз.

Теперь уменьшим в 2 раза хотя бы второй сомножитель и снова выполним умножение:

Первоначальное произведение было 7/15, а новое 7/30.У этих дробей числители одинаковы, но знаменатель первой в 2 раза меньше, чем знаменатель второй; значит, первая дробь в 2 раза больше второй.

Полученный результат показывает, что, уменьшая один из сомножителей в 2 раза, мы тем самым и произведение уменьшим в 2 раза. Следовательно, если один из сомножителей уменьшим в несколько раз, то произведение уменьшится во столько же раз.

§ 95. Деление.

Частное от деления дробных чисел изменяется при изменении делимого и делителя совершенно так же, как изменяется частное от деления целых чисел.

1.   Возьмем пример:

Если теперь увеличим делимое, например в 2 раза, и посмотрим, как при этом изменится частное, то увидим, что новое частное будет в 2 раза больше первоначального.

Таким образом, если делимое увеличим в несколько раз, то частное увеличится во столько же раз.

2.   Возьмем тот же самый пример   и    уменьшим делимое в 3 раза, а затем посмотрим, что произойдёт от этого с частным.

Выполнив необходимые вычисления, мы увидим, что частное уменьшилось тоже в 3 раза. Следовательно, если делимее уменьшим в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз.

3. Разделим теперь 7/8 на 1/4:

Если   увеличим   делитель   (1/4), например в 2 раза, и снова выполним деление, то увидим, что частное уменьшится тоже в 2 раза.

Значит, если увеличим   делитель в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз.

4.   Возьмём   пример: ,   и  уменьшим    делитель (1/4) хотя бы в 4 раза, затем выполним снова деление.

Вычисления    покажут,   что  если  делитель   уменьшить в  несколько раз, то частное увеличится во столько же раз.

5.   Рассмотрим, наконец, что произойдёт с частным при одновременном увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое число раз.

а) Найдём частное от деления 4/9 на 5/12:

Увеличим делимое и делитель в 3 раза и снова выполним деление:

Частное осталось без изменения.

б) Уменьшим   в  прежнем  примере  делимое  и делитель в 4 раза и снова выполним деление:

Частное снова осталось без изменения.

Таким образом, если при делении дробных чисел увеличить или уменьшить делимое и делитель одновременно в одинаковое число раз, то частное не изменится.

Используются технологии uCoz