|
Часть третья. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. Глава шестнадцатая. Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Периодические дроби. § 114. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. § 114. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Обратить обыкновенную дробь в десятичную — это значит найти такую десятичную дробь, которая была бы равна данной обыкновенной дроби. При обращении обыкновенных дробей в десятичные мы встретимся с двумя случаями: 1) когда обыкновенные дроби могут быть обращены в десятичные точно; 2) когда обыкновенные дроби могут быть обращены в десятичные лишь приближённо. Рассмотрим эти случаи последовательно. 1. Как обратить обыкновенную несократимую дробь в десятичную, или, иными словами, как заменить обыкновенную дробь равной ей десятичной? В случае, когда обыкновенные дроби могут быть точно обращены в десятичные, существует два способа такого обращения. Вспомним, как заменить одну дробь другой, равной первой, или как перейти от одной дроби к другой, не изменяя величины первой. Этим мы занимались, когда приводили дроби к общему знаменателю (§86). Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, то поступаем следующим образом: находим общий знаменатель для данных дробей, вычисляем для каждой дроби дополнительный множитель и потом умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Заметив это, возьмём несократимую дробь 3/20 и попробуем обратить её в десятичную. Знаменатель данной дроби равен 20, а нужно привести её к другому знаменателю, который изображался бы единицей с нулями. Мы будем искать наименьший из знаменателей, выражающихся единицей с последующими нулями. Первый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную основан на разложении знаменателя на простые множители. Необходимо узнать, на какое число следует умножить 20, чтобы произведение выразилось единицей с нулями. Чтобы это узнать, нужно сначала вспомнить, на какие простые множители разлагаются числа, изображаемые единицей с нулями. Вот эти разложения: 10 = 2 • 5, Мы видим, что число, изображаемое единицей с нулями, разлагается только на двойки и пятёрки, а иных множителей в разложении нет. Кроме того, двойки и пятёрки входят в разложение в одинаковом числе. И, наконец, число тех и других множителей в отдельности равно числу нулей, стоящих после единицы в изображении данного числа. Посмотрим теперь, как разлагается 20 на простые множители: 20 = 2 • 2 • 5. Из этого видно, что двоек в разложении числа 20 две, а пятёрок одна. Значит, если к этим множителям мы добавим одну пятёрку, то получим число, изображаемое единицей с нулями. Иными словами, для того, чтобы в знаменателе вместо числа 20 получилось число, изображаемое единицей с нулями, нужно 20 умножить на 5, а чтобы величина дроби не изменилась, нужно умножить на 5 и её числитель, т. е.
Таким образом, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно знаменатель этой обыкновенной дроби разложить на простые множители и затем уравнять в нём число двоек и пятёрок, введя в него (и, конечно, в числитель) недостающие множители в необходимом числе. Применим этот вывод к некоторым дробям. Обратить в десятичную дробь 3/50. Знаменатель этой дроби разлагается так: 50 = 2 • 5 • 5, значит, в нём недостаёт одной двойки. Добавим её:
Обратить в десятичную дробь 7/40. Знаменатель этой дроби разлагается так: 40 = 2 • 2 • 2•5, т. е. в нём недостаёт двух пятёрок. Введём их в числитель и знаменатель в качестве множителей:
Из того, что изложено, нетрудно сделать вывод, какие обыкновенные дроби обращаются точно в десятичные. Совершенно очевидно, что несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой не содержит никаких иных простых множителей, кроме 2 и 5, обращается точно в десятичную. Десятичная дробь, которая получается от обращения некоторой обыкновенной, будет иметь столько десятичных знаков, сколько раз в состав знаменателя обыкновенной дроби после её сокращения входит численно преобладающий множитель 2 или 5. Если мы возьмём дробь 9/40, то, во-первых, она обратится в десятичную, потому что в состав её знаменателя входят множители 2 • 2 • 2 • 5, во-вторых, полученная десятичная дробь будет иметь 3 десятичных знака, потому что численно преобладающий множитель 2 входит в разложение три раза. В самом деле:
Второй способ (посредством деления числителя на знаменатель). Пусть требуется обратить в десятичную дробь 3/4. Мы знаем, что 3/4 есть частное от деления 3 на 4. Это частное мы можем найти, разделив 3 на 4. Сделаем это:
Таким образом, 3/4 = 0,75. Ещё пример: обратить в десятичную дробь 5/8. Таким образом,5/8 = 0,625.
Итак, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, достаточно разделить числитель обыкновенной дроби на её знаменатель. 2. Рассмотрим теперь второй из указанных в начале параграфа случаев, т. е. тот случай, когда обыкновенная дробь не может быть обращена в точную десятичную. Обыкновенная несократимая дробь, знаменатель которой содержит какие-либо простые множители, отличные от 2 и 5, не может обратиться точно в десятичную. В самом деле, например, дробь 8/15 не может обратиться в десятичную, так как её знаменатель 15 разлагается на два множителя: 3 и 5. Мы не можем исключить тройку из знаменателя и не можем подобрать такого целого числа, чтобы после умножения на него данного знаменателя произведение выразилось единицей с нулями. В таких случаях можно говорить только о приближённом обращении обыкновенных дробей в десятичные. Как это делается? Это делается посредством деления числителя обыкновенной дроби на знаменатель, т. е. в этом случае применяют второй способ обращения обыкновенной дроби в десятичную. Значит, этот способ применяется и при точном обращении и при приближённом. Если обыкновенная дробь обращается точно в десятичную, то от деления получается конечная десятичная дробь. Если обыкновенная дробь не обращается в точную десятичную, то от деления получается бесконечная десятичная дробь. Так как мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-нибудь десятичном знаке, т. е. сделать приближённое деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, т. е. ограничиться десятыми долями; в случае надобности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, получив сотые доли, и т. д. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, какая при решении данной задачи необходима. § 115. Понятие о периодической дроби. Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Например: 0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234... Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Период первой из написанных выше дробей есть 3, период второй дроби 12, период третьей дроби 234. Значит, период может состоять из нескольких цифр — из одной, из двух, из трёх и т. д. Первая совокупность повторяющихся цифр называется первым периодом, вторая совокупность — вторым периодом и т. д., т. е.
Периодические дроби бывают чистые и смешанные. Периодическая дробь называется чистой, если её период начинается тотчас после запятой. Значит, написанные выше периодические дроби будут чистыми. Напротив, периодическая дробь называется смешанной, если у неё между запятой и первым периодом имеется одна или несколько неповторяющихся цифр, например: 2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160 Для сокращения письма можно цифры периода писать один раз в скобках и не ставить после скобок многоточия, т. е. вместо 0,33... можно писать 0,(3); вместо 2,515151... можно писать 2,(51); вместо 0,2333... можно писать 0,2(3); вместо 0,8333... можно писать 0,8(3). Читаются периодические дроби так: 0,(3) — 0 целых, 3 в периоде. 7,2(3) — 7 целых, 2 до периода, 3 в периоде. 5,00(17) — 5 целых, два нуля до периода, 17 в периоде. Как возникают периодические дроби? Мы уже видели, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные может быть два случая. Во-первых, знаменатель обыкновенной несократимой дроби не содержит никаких иных множителей, кроме 2 и 5; в этом случае обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную. Во-вторых, знаменатель обыкновенной несократимой дроби содержит в себе какие-либо простые множители, отличные от 2 и 5; в этом случае обыкновенная дробь не обращается в конечную десятичную. В этом последнем случае при попытке обратить обыкновенную дробь в десятичную посредством деления числителя на знаменатель получается бесконечная дробь, которая всегда будет периодической. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим какой-нибудь пример. Попробуем обратить дробь-18/7 в десятичную. Мы, конечно, заранее знаем, что дробь с таким знаменателем не может обратиться в конечную десятичную, и ведём речь только о приближённом обращении. Разделим числитель 18 на знаменатель 7.
Мы получили в частном восемь десятичных знаков. Нет надобности продолжать деление дальше, потому что оно всё равно не окончится. Но отсюда понятно, что деление можно продолжать бесконечно долго и, таким образом, получать в частном новые цифры. Эти новые цифры будут возникать потому, что у нас всё время будут получаться остатки; но никакой остаток не может быть больше делителя, который у нас равен 7. Посмотрим, какие у нас были остатки: 4; 5; 1; 3; 2; б, т. е. это были числа, меньшие 7. Очевидно, их не может быть больше шести, и при дальнейшем продолжении деления они должны будут повторяться, а вслед за ними будут повторяться и цифры частного. Приведённый выше пример подтверждает эту мысль: десятичные знаки в частном идут в таком порядке: 571428, а после этого снова появились цифры 57. Значит, у нас окончился первый период и начинается второй. Таким образом, бесконечная десятичная дробь, получающаяся при обращении обыкновенной дроби, всегда будет периодической. Если периодическая дробь встречается при решении какой-нибудь задачи, то она берётся с той точностью, какая требуется условием задачи (до десятой, до сотой, до тысячной и т. д.). § 116. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. При решении различных задач мы встретимся с такими случаями, когда в задачу входят и обыкновенные, и десятичные дроби. В этих случаях можно идти различными путями. 1. Обратить все дроби в десятичные. Это удобно потому, что вычисления над десятичными дробями легче, чем над обыкновенными. Например,
Обратим дроби 3/4 и 11/5 в десятичные:
2. Обратить все дроби в обыкновенные. Так чаще всего поступают в тех случаях, когда встречаются обыкновенные дроби, не обращающиеся в конечные десятичные. Например, Обратим десятичные дроби в обыкновенные:
3. Вычисления ведут без обращения одних дробей в другие. Это особенно удобно в тех случаях, когда в пример входят только умножение и деление. Например,
Перепишем пример так:
4. В некоторых случаях обращают все обыкновенные дроби в десятичные (даже те, которые обращаются в периодические) и находят приближённый результат. Например,
Обратим 2/3 в десятичную дробь, ограничившись тысячными долями: 0,667 + 0,125 + 0,234 = 1,026. |
