|
Г л а в а П. Решение косоугольных треугольников
§5(39). Теорема косинусов
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
а2 =b2 + с2 — 2bc cos А
b2 =c2 + a2 — 2ca cos B
c2 =a2 + b2 — 2ab cos C
Доказательство. Докажем первое равенство.
|
Случай 1. Угол A острый.
Пусть ВН — высота, опущенная из вершины В ; из геометрии известно (см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 208), что
а2 = b2 + с2—2b · АН. (1)
Из прямоугольного треугольника АВН найдём
АН = с cos А; подставив в формулу (1), получим доказываемое равенство.
|
|
|
Случай 2. Угол A тупой.
В этом случае а2 = b2 + с2 +2b · АН. (2)
(см. А.Киселев Геометрия . Планиметрия. Книга3, глава3,теорема 209)
Из треугольника АВН найдём:
АН = с cos / BAH= с cos ( -A) = — с cos A.
Подставив в формулу (2), получим доказываемое равенство.
|
|
|
Случай 3. Угол А прямой.
В этом случае (по теореме Пифагора):
а2 = b2 + с2 = b2 + с2— 2bc cos А
(так как cos А = 0).
Итак, во всех случаях
а2 =b2 + с2— 2bc cos А
|
|
|
Упражнения
77 (345).
|
|
1) Чтобы определить расстояние между пунктами А и В, которое непосредственно измерить нельзя, выбрали третий пункт С так, что из него видны и доступны оба пункта A и В; затем измерили расстояние ВС = а, АС = b и / ACB =  . Вычислить АВ (а  100 м; b 80 м; 48°50') .
|
|
|
2) Смежные стороны параллелограмма равны 4,0 см и 5,0 см, угол между ними 52°. Найти диагонали параллелограмма.
|
|
3) Две силы: Р 100 кГ и Q 200 кГ — приложены к материальной точке под углом а 50° друг к другу. Определить величину равнодействующей и углы, которые она составляет с силами Р и Q.
|
|
4) Для определения расстояния между двумя пунктами А и В измерили длину а выбранного базиса CD и углы: ACD = . BCD = α , ADC = ß и
BDC =  . Найти AВ.
|
|
|