Глава I. Решение прямоугольных треугольников

УПРАЖНЕНИЯ

8 (341). Решить прямоугольные треугольники по данным основным элементам. Решение каждого примера следует выполнять при помощи таблиц логарифмов и логарифмической линейки.

1) Даны гипотенуза и острый угол:

а) с ≈  9,35; А ≈  65°10';    б) с ≈  0,7979; А ≈  66°35';    в) с ≈  3,643; А ≈  50° 10'.

2) Даны катет и острый угол:

а) а ≈ 6,37; А ≈ 4°20'; б) b ≈ 0,1738; A ≈ 35°55'; в)  b ≈ 0,2954; В ≈ 25°37'.

3) Даны гипотенуза и катет:

а) с  ≈  697; а  ≈ 528; б) с  ≈  113; b  ≈  15; в) с = 1710; b  ≈  823.

4) Даны катеты:

а) а ≈ 261; b ≈ 380; б) а ≈ 0,0978; b ≈ 0,1003; в) а ≈ 12,01; b ≈ 6,92.

9 (342). Решить равнобедренный треугольник по данным его элементам.

Обозначения: а = с — боковые стороны; b — основание; А =  С — углы при основании; В — угол при вершине; h — высота, опущенная на сторону а ; S — площадь треугольника.

1) а ≈ 797,9; А ≈ 66°35'.     4) А ≈ 65°;      h_a  ≈ 20.

2) а ≈ 8,76; b ≈ 13,96.       5) а ≈ 627;      В ≈ 133°.

3) В ≈ 73°14';        S ≈ 4504.        6) b ≈ 925,2;   h_b ≈ 721,4.

10 (8).  Вычислить площадь ромба по его стороне а = 7,5 см и острому углу  = 22°12'.

11 (9).  Диагонали ромба d₁ = 28 см и d₂ = 49 см; вычислить углы ромба.

12 (10). По основанию b = 28,13 м и боковой стороне а =17,53  м  равнобедренного  треугольника  вычислить  угол  при основании.

13 (11). По основанию b= 31,26 м и высоте h = 20,75 м равнобедренного треугольника вычислить угол при его вершине.

14 (12).Основание трапеции a и b, одна из боковых сторон с, острый угол, прилежащий к ней, . Определить площадь трапеции.

15 (13).В кругу радиуса R = 4,175 м вычислить длину хорды, стягивающей дугу  = 37°42'.

16 (14).Смежные стороны прямоугольника а = 75,2 см  та  b = 63,6 см; вычислить, на какие части делит диагональ прямоугольника угол при его вершине.

17 (15). Смежные стороны прямоугольника a = 13,5 см и b  = 7,4 см. Вычислить угол между его диагоналями.

18 (16).  В круге радиуса R = 35,8 см проведена хорда длиной a = 28,7 см. Найти число градусов и минут в меньшей дуге, стягиваемой этой хордой, и расстояние хорды от центра круга.

19 (17). Хорда равна ³/₄ диаметра круга. Определить число градусов и минут в меньшей дуге, которая стягивается этой хордой.

20 (18). Угол , вписанный в окружность, опирается на хорду, длина которой а. Определить радиус круга.

21 (19). Дан круг радиуса R = 3,35 см. Из точки, отстоящей от центра на a = 8,32 см (а > R), проведены две касательные. Вычислить угол между касательными.

22 (20). Линия центров двух кругов, один из которых расположен вне другого, равна d = 6,245 м, а радиусы их равны R =  3,065 м и r =1,007 м. Определить углы, под которыми общие внутренняя и внешняя касательные этих кругов пересекают линию их центров.

23 (21).Боковая   сторона   равнобедренного треугольника a, угол при вершине ß. Определить радиусы описанной (R) и вписанной (r) в этот треугольник окружностей.

24 (22).  Определить радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника, катет которого равен a, а прилежащий к пому острый угол равен ß.

25 (23).

С маяка, высота которого над уровнем моря Н 150 м, определяют расстояние до проходящего мимо парохода. Угол понижения = 9° . Вычислить искомое расстояние.

26 (24).Самолёт радирует капитану рыболовецкого судна, что он находится над косяком рыбы на высоте Н  950 м. С судна определяют угол    26°30' возвышения самолёта. Вычислить расстояние судна от косяка рыбы .

27 (25).Чтобы измерить высоту башни главного входа здания Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, измерили угломерным инструментом угол возвышения . Расстояние угломера от главного входа равно a. Вычислить приближённое значение определяемой высоты, если высота угломерного инструмента h (    53°; а  180 м; h 1,2 м).

28 (26).Штурман на карте прокладывает курс корабля и при прохождении мимо маяка измеряет угол возвышения . Вычислить отрезок, который на карте отложит штурман от точки, изображающей маяк, для установления местонахождения корабля. Высота маяка   H,  масштаб  карты1:100000 (   2°50'; H 150 м).

29 (27).Чтобы определить ширину реки, проводят на одном берегу, непосредственно у воды, базис AB, равный a ; из конца А базиса, по перпендикулярному к нему направлению, на противоположном берегу у самой воды видно дерево С; из другого же конца В базиса это дерево видно под углом ß к базису. Вычислить ширину реки, если а  45 м и ß   25°

30 (28). Горная   железная   дорога   поднимается   на   0,5 м   на каждые 30 м пути. Найти угол подъёма.

31 (29). Поперечный разрез насыпи, при постройке которой был применён наибольший возможный откос , представляет равнобедренную трапецию.Нижнее основание трапеции a, высота h. Вычислить верхнее основание трапеции, если а  10,0 м, h  3,0 м и    39°.

32 (33). Две точки выходят одновременно из вершины прямого угла и движутся равномерно первая по одной, а вторая по другой стороне этого угла; первая проходит по а метров, а вторая — по b метров в секунду. Под каким углом  к направлению движения первой точки видна из неё вторая точка?

33 (34).На прямой MN взята точка А, и из неё под острым углом  к прямой MN проведён отрезок АВ длиной a. Определить проекцию отрезка AВ на прямую MN. Как изменяется величина этой проекции при увеличении угла  от 0 до 90°?

34 (35). Две силы: Р 4,ЗкГ  и  Q 5,6 кГ — направлены перпендикулярно друг к другу. Найти равнодействующую этих сил и угол, который она образует с направлением силы Р.

35 (36). Принимая Землю за шар с приближённым значением диаметра, равным 12 740 км, по широте места  определить длину окружности параллели, соответствующей этому месту. Вычислить для Москвы при   56°.

36 (37). Вагонетка весом Р движется по рельсам в гору под углом . Какую наименьшую силу нужно приложить, чтобы удержать вагонетку на месте, если Р 0,7т и    12°40'?

37 (224). Большее основание трапеции служит диаметром описанной около неё окружности, радиус которой равен R. Острый угол трапеции . Определить площадь трапеции.

38 (225).В угол 2 вписан круг радиуса R. К этому кругу проведена касательная, перпендикулярная к биссектрисе угла (между вершиной угла и окружностью). Определить периметр отсечённого треугольника.

39 (252).К двум внешне касающимся друг друга кругам проведены две общие внешние касательные, образующие угол . Радиус большего круга R. Найти радиус меньшего круга.

40 (253).  Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник с острым углом , равен r. С центром в вершине угла  построена   окружность,   касающаяся   противолежащего   катета.   Определить длину этой окружности.

41 (254).  Основание  равнобедренного треугольника  равно  b, угол при основании равен . Определить периметр треугольника.

42 (255).  1) Определить  площадь треугольника  по двум его углам  и ß и по высоте h , опущенной из вершины третьего угла.

2) Доказать, что площадь всякого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

43 (305). Хорда a, проведённая из конца диаметра круга, образует с диаметром угол . Через другой конец хорды проведена касательная к кругу и продолжена до пересечения с диаметром. Определить отрезок касательной от точки касания до общей точки её с продолжением диаметра.

44 (306). В равнобедренный треугольник с углом  при основании вписана  окружность.Периметр треугольника,  полученного соединением точек касания, равен р. Определить периметр данного треугольника.

45 (307).  В круговой сектор радиуса R с центральным углом  вписан круг. Определить радиус круга.

46 (308). Расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно d. Касательная, проведённая к меньшей окружности из центра большей, составляет с линией центров угол . Определить, радиус большей окружности.

47 (309). Диагональ трапеции, вписанной в круг радиуса R, образует с её боковыми сторонами углы  и 2 . Определить площадь трапеции.

48 (310). Определить длину наименьшей диагонали правильного n-угольника, сторона которого равна a.

49 (311). К окружности радиуса R из одной и той же внешней точки проведены две касательные, образующие между собой угол . Определить площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и меньшей дугой окружности, заключённой между точками касания.

50 (312). В данный угол  вписан круг радиуса R. Определить радиус такого круга, который, касаясь внешним образом данного круга, касается в то же время сторон данного угла (два случая).

51 (313).Острый угол ромба равен . Определить площадь ромба, если площадь вписанного в него круга К кв. ед.

52 (314). В круг вписан правильный n-угольник, сторона которого равна a. Определить сторону правильного вписанного 2n-угольника.

53 (315). В сегмент вписан квадрат; две его вершины, лежащие на дуге, делят дугу на три равные части. Определить дугу сегмента.

54 (316).Две окружности пересекаются, отсекая друг от друга дуги 2 и 2ß. (2 — дуга большей окружности.) Определить угол между общими внешними касательными.

55 (317). Около правильного n-угольника со стороной a описана окружность, и в него вписана другая окружность. Найти площадь образовавшегося кольца.

56 (318). В равнобедренном треугольнике высота равна h,  a высота, опущенная на боковую сторону, равна h₁. Определить угол при основании треугольника.

57 (319). Перпендикуляр, опущенный из середины основания равнобедренной трапеции на боковую сторону, равен h и делит боковую сторону пополам; тупой угол трапеции равен . Найти площадь трапеции.

58 (320).К плоскости восставлен перпендикуляр длиной р из основания его как из центра описана в плоскости окружность радиуса r. Определить угол между перпендикуляром и наклонной, соединяющей  вершину  перпендикуляра с любой точкой окружности (р = 4,5; r = 8).

59 (321). Через центр О квадрата, сторона которого АВ = а, проведён перпендикуляр к плоскости квадрата: на нём взят отрезок ОМ = d, а из М на А В опущен перпендикуляр МС. Вычислить угол между МС и его проекцией на плоскость квадрата.

60 (322).  Ребро куба a = 10 см. Вычислить угол, под которым диагональ куба наклонена к его грани. Изменится ли этот угол, если изменить длину ребра куба?

61 (323). В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 8 см. Высота пирамиды, равная 7 см, проходит через точку пересечения диагоналей основания. Под каким углом боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости её основания?

62 (324).  Из центра О правильного треугольника ABC, сторона которого равна a, восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника, на нём взята точка М так, что отрезок МА = а; из М на АС опущен перпендикуляр MD. Вычислить угол между MD и плоскостью треугольника ABC.

63 (325).Концы отрезка АВ = а удалены от данной плоскости на m и n. Определить угол, который отрезок составляет с плоскостью, и вычислить этот угол, если a = 13 см, m= 5 см и n = 8 см. (Рассмотрите два случая.)

64 (326). Дан двугранный угол . Из точки, лежащей на одной грани этого угла на расстоянии a от ребра, восставлен перпендикуляр до пересечения с другой гранью. Определить длину этого перпендикуляра (a = 6,06; = 41°50').

65 (327). Прямоугольный треугольник ABC расположен так, что гипотенуза его АВ лежит в плоскости Р, а катеты образуют с плоскостью Р углы  и ß. Определить угол между плоскостью треугольника и плоскостью Р.

66 (328). В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза a и острый угол . Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости,  которая проходит через гипотенузу  и составляет угол  с плоскостью треугольника.

67 (329).  Одна сторона (АВ) треугольника ABC лежит на плоскости Р. Две другие стороны (СА и СВ) составляют с плоскостью углы  и ß, тангенсы которых  соответственно   равны ¹/₃   и  ¹/₄,   а проекции этих сторон на плоскость Р взаимно перпендикулярны. Определить угол наклона плоскости треугольника ABC к плоскости Р.

68 (330). Параллелограмм и плоскость Р расположены так, что одна из меньших сторон параллелограмма находится в плоскости Р, а противоположная ей удалена от плоскости Р на расстояние, равное расстоянию между большими сторонами  параллелограмма. Определить угол между плоскостью Р и плоскостью параллелограмма, если стороны параллелограмма относятся как 3 : 5.

69 (331). Наклонная образует с плоскостью угол ;  через вершину этого угла проведена в данной плоскости прямая под углом ß к проекции наклонной на плоскость. Определить угол между наклонной и прямой в плоскости.

70 (332). Прямая, находящаяся вне плоскости, пересекаясь с прямой, лежащей в плоскости, образует с этой прямой угол , a эта последняя образует угол ß с проекцией первой прямой на плоскость. Определить угол первой прямой с плоскостью ( = 8°20'; ß=5°40').

71 (333).  Из двух точек плоскости, удалённых друг от друга на расстояние a, проведены две параллельные наклонные под углом  к плоскости. Определить расстояние между ними, если расстояние между их проекциями на плоскость равно b.

72 (334).Отрезок АВ параллелен плоскости. Из его концов проведены к плоскости две наклонные: АС = с и BD = d. Наклонная АС составляет с плоскостью угол . Определить угол наклона BD к этой плоскости.

73 (335). Через концы трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, проведена плоскость, образующая угол  с плоскостью основания. Смежные стороны основания имеют длины а и b. Определить площадь получившегося сечения.

74 (583).Общие внешние касательные к двум внешне касающимся окружностям между точками касания имеют длину a и составляют с линией центров угол . Точки касания прямых каждой окружности соединены хордами. Определить площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания.

75 (584).Между двумя параллельными плоскостями проведены наклонная, образующая с ними угол , и перпендикуляр, равный 2a. Определить расстояние между серединами этих прямых, если расстояние между их концами в каждой плоскости равно b.

ОТВЕТЫ