Глава III.  Применение тригонометрии к решению геометрических задач

УПРАЖНЕНИЯ

Задачи   на   круглые   тела

Цилиндр
Конус
Усечённый конус
Шар и его части.

Цилиндр

182 (444). В равностороннем цилиндре точка окружности верхнего основания соединена с одной из точек окружности нижнего основания.
Угол между  радиусами,  проведёнными в эти точки,  равен 30°.
Определить угол между проведённой прямой и осью цилиндра.

183 (445). В равностороннем цилиндре, радиус основания которого равен R, точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Проведённая прямая образует с плоскостью основания угол .  Определить расстояние этой прямой от оси цилиндра. Исследовать формулу решения.

184 (446).К цилиндру проведена касательная прямая под углом  к плоскости основания. Определить расстояние центра нижнего основания от этой прямой, если его расстояние от точки касания равно d и радиус основания равен R.

185 (447).Сечение   цилиндра   плоскостью,   параллельное   его высоте Н, представляет собой квадрат, отсекающий от окружности основания дугу . Определить расстояние этого  сечения от оси цилиндра.

186 (448).Цилиндр, высота которого h, пересечён плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от оси на расстояние d. Секущая  плоскость отсекает от окружности основания дугу . Определить площадь сечения.

187 (449).Высота цилиндра равна h. В развёртке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю развёртки угол . Определить объём и площадь поверхности цилиндра.

Конус

188 (450).Радиус основания конуса равен R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом . В этом конусе проведена плоскость через его вершину под углом  к его высоте. Определить площадь полученного сечения. Исследовать формулу решения.

189 (451). Между двумя параллельными плоскостями заключён конус так, что его основание находится на одной из них, а вершина на другой. Угол между осью конуса и образующей равен . Через середину оси проведена прямая, составляющая с ней острый угол ß и пересекающая боковую поверхность конуса в двух точках. Отрезок этой прямой между параллельными плоскостями равен а. Определить отрезок её, заключенный внутри конуса.

190 (452).Площадь боковой поверхности конуса втрое больше площади основания. Найти угол между образующей и основанием.

191 (453).Через две образующие конуса, составляющие между собой угол , проведена плоскость, наклонённая к плоскости основания конуса под углом . Площадь сечения равна S. Определять высоту конуса ( = 52°16';  = 33°10'; S = 618 см²).

192 (454). Высота конуса Н, образующая наклонена к плоскости основания под углом . Перпендикулярно к высоте в конусе проведена секущая плоскость так, что она делит пополам площадь поверхности конуса.Определить расстояние секущей плоскости от вершины конуса.

193 (455). Угол при вершине в осевом сечении конуса равен ; определить центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса. Найти этот угол для равностороннего конуса.

194 (456). Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу  и образующая с плоскостью основания угол ß. Определить угол при вершине получившегося сечения.

195 (457). На   плоскости   основания   равностороннего   конуса (вне конуса) дана точка, удалённая от окружности основания на расстояние радиуса. Через эту точку проведены к конусу две касательные плоскости. Определить угол между ними

196 (458). Через вершину конуса проведена плоскость, делящая боковую поверхность на две части; если развернуть эти части на плоскость, то получатся два сектора с углами  и ß ( >ß). Определить угол при вершине проведённого сечения.

197 (459). Угол откоса для песка   = 259. Куча песка имеет вид конуса,  длина  окружности  основания  которого с  5,0 м. Узнать возможный наибольший объём кучи.

Усечённый конус

 198 (460).Через две образующие усечённого конуса, составляющие между собой угол ß, проведена плоскость, пересекающая основания конуса по хордам, соответственно равным тип (m > n). Каждая хорда стягивает дугу . Найти площадь боковой поверхности усечённого конуса.

199 (461).В усечённом конусе, радиусы оснований которого R и r, проведена плоскость под углом ß к основанию. Эта плоскость Отсекает от окружности каждого основания дугу б и не пересекает Высоту усечённого конуса. Определить площадь сечения.

200 (462).В усечённом конусе высота равна h;  образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол и перпендикулярна к линии, соединяющей верхний конец её с нижним концом противоположной образующей. Определить площадь боковой поверхности усечённого конуса.

201 (463).Площади нижнего и верхнего оснований усечённого конуса и боковой поверхности пропорциональны m, n и р. Определить угол между образующей и плоскостью нижнего основания.

202 (464).В усечённом конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину l и наклонена к плоскости основания под углом ß. Определить объём усечённого конуса.

203 (465).В усечённом конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью большего основания угол  и равна l. Определить площадь поверхности и объём усечённого конуса (l= 12;  = 70°).

Шар и его части.

204 (466).Через точку, данную на поверхности шара радиуса R, проведены две плоскости: одна касательная к шару, другая под углом  к первой. Определить площадь сечения шара второй плоскостью.

205 (467).Дан шар радиуса R; плоскость, пересекая диаметр под углом , делит его на две части в отношении 3 : 1. На какиe-части разделилась поверхность шара?

206 (468).Высота шарового сегмента h; дуга в осевом сечении равна . Определить площадь сферической поверхности сегмента.

207 (469). Дан шаровой сегмент; через середину его высоты проведена плоскость параллельно основанию; площади сечения и основания равны. Определить дугу в осевом сечении сегмента.

208 (470).Определить угол в осевом сечении шарового сектора, если   плоскость,   проведённая   через  середину  среднего  радиуса перпендикулярно к нему, делит коническую поверхность сектора на две равновеликие части.

209 (471).На поверхности шара радиуса R через данную её точку проведены два равных взаимно касательных круга; угол между их плоскостями равен . Определить часть поверхности шара, заключённую между этими плоскостями.

210 (472).На поверхности шара даны четыре точки на одинаковом расстоянии друг от друга. Определить углы между радиусами шара, проведёнными в какие-либо две из них.

211 (473).1) Радиус земного шара равен  6370 км. Найти длины окружностей тропика (широта 23°30' ) и полярного круга  (широта 66°30').

2) Наблюдатель, находясь на вершине горы в точке А , измерил угол DAC = , составленный лучом зрения АС, идущим к горизонту, и вертикальной линией AD. Зная радиус Земли r, определить высоту горы AD.

212 (474). Бак, имеющий форму шара радиуса R (внутренний размер), наполнен до некоторой высоты жидкостью, удельный вес которой равен d. Дуга АСВ  равна ^о.Найти вес жидкости.

213 (475).Резервуар для газа состоит из цилиндра, закрытого сверху шаровым сегментом.  Внутренние    размеры цилиндра:    диаметр — 24,0 м, высота — 6,0 м. Дуга в осевом сечении   шарового  сегмента,   покрывающего цилиндр, содержит 74°. Найти ёмкость резервуара.