Часть третья

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ.

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ПРИ ПОМОЩИ ПРОПОРЦИЙ  и
СПОСОБОМ ПРИВЕДЕНИЯ К ЕДИНИЦЕ.

ОТДЕЛ VIII..

§ 57. Смешанные задачи  для пoвторительного курса.

3261. Из трех сортов спирта: 85-ти, 80-ти и 72-х  градусов, виноторговец составил смесь следующим образом: количество 1-го сорта относилось к количеству 2-го, как 3,25: 1,75, а количество второго относилось к количеству третьего, как 0,2(3): 0,08(3). Из других двух сортов: 64-х и 48-ми градусов, виноторговец составил еще вторую смесь, в которую 48-ми градуснаго спирта вошло в количестве 60% спирта 64-х-градуснаго. Из полученных двух смесей виноторговец пожелал составить новую смесь, в которой на 8¹/₂частей чистого спирта должно было приходиться 4 части воды, и число ведер которой должно было равняться общему наибольшему делителю след. чисел: 31668, 18096 и 15756. По скольку ведер от каждой из первых двух смесей должно быть взято для образования новой?

3262. Во всякий данный момент минутная и часовая стрелки часов имеют каждая свое определенное положение на циферблате. Определив положение той и другой стрелки для 3 час. 21⁵⁷/₁₄₃ м., показать, что существует такой момент, когда часовая стрелка принимает направление минутной, а минутная — направление часовой для 3 час. 21⁵⁷/₁₄₃ мин., и определить этот момент.

Примечание. Такие два момента времени, для которых минутная и часовая стрелки меняются своими положениями, можно назвать взаимными.

3263. Принимая во внимание общия условия предыдущей задачи, показать, что для каждого из следующих 11 моментов: 1) 5 ⁶/₁₄₃ мин.; 2) 1 час. 10⁷⁰/₁₄₃ мин.; 3) 2 час. 15¹⁰⁵/₁₄₃ мин.; 4) 3 час. 21⁵⁷/₁₄₃ мин. (зад. № 3262); 5) 4 час. 26¹²²/₁₄₃ мин.; 6) 5 час. 32⁴/₁₃ мин.; 7) 6 час. 37¹⁰⁹/₁₄₃ мин.; 8) 7 час. 43³¹/₁₄₃ мин.; 9) 8 час. 48⁹⁶/₁₄₃ мин.; 10) 9 час. 54¹⁸/₁₄₃ мин.; 11) 10 час. 59⁸³/₁₄₃ мин.,—существует взаимный момент (см. примеч. задачи № 3262).

3264. Купец продал пшеницу и овес, всего 332 пуда, и за это ему было заплачено процентными деньгами, полученными в 6 мес. 12 дн. с капитала 8150 руб., который был в обороте по 7¹/₂ %. Зная, что четверть пшеницы весит 9¹/₂ пуд. и стоила 9 руб. 40 коп., а четверть овса весит 5³/₄ пуда и стоила 5 руб. 60 коп.,—определить, сколько четвертей пшеницы и сколько четвертей овса было продано торговцем.

3265. Два места А и В лежат при реке: место В расположено ниже А и находится от него в расстоянии  верст по фарватеру реки. В А сажень

березовых дров ценится 4,8 руб., а в В на 0,41(6)% дешевле. Средняя стоимость провоза дров вниз по течению реки определяется по расчету 0,01(6) коп. с одной сажени дров на одну версту; стоимость же провоза дров вверх по течению на 50% больше. Определить на реке такой пункт, для которого будут одинаково стоить, вместе с платою за провоз, дрова, доставленные из А, и дрова, доставленные из В.

3266.  В 9 час. 25 мин. утра один пешеход  отправился по шоссе из Пулкова и, идя с одинаковою скороотью, прибыл в Павловск в 1 час. 15 мин. пополудни. На следующий день в 11 час. утра он отправился из Павловска тою же  дорогою в обратный путь и, идя равномерно, но  несколько скорее,  нежели он шел накануне, прибыл в Пулково в 2 ч. 40 м. пополудни. Зная, что расстояние по шоссе между Пулковом и Павловском равно:   верстам, определить, в каком расстоянии от Пулкова находится то место, через которое пешеход проходил в один и тот же час в каждый из этих двух дней.

3267.  Крестьянин ехал из деревни в город со скоростью 8,(3) версты в час; таким образом, он  должен был прибыть туда в 9 час. 40 мин. утра. Не доезжая   13¹/₂  процентов от 111¹/₉ версты до города, крестьянин  встретил   своего  знакомого, ехавшего по той же дороге,  но с   другой  скоростью и поехал рядом  с  ним  обратно  и   со  скоростью   этого  знакомго; проехав так 3,75 версты, он опять стал продолжать свой путь по направлению к городу со своею прежнею скоростью и прибыл туда в 10,61(6) часа  утра.   1) С какою   скоростыо ехал знакомый крестьянина и в котором   часу  он  выехал из города? 2) С какою скоростью должен был бы ехать первый крестьянин после того, как он расстался со своим знакомым,—дабы приехать в город в определенный ранее срок т. е. в 9 час. 40 мин. утра?

3268. Три брата должны были разделить между собою обратнопропорционально   их  возрасту  сумму  денег,   полученную от продажи векселя за 1 год 4 мес. до срока с коммерческим учетом по 4¹/₂%. Если б сделать математический учет с этого векселя по 5¹/₂% за 10 мес. до срока и коммерческий учет с того же векселя по 6% за 8 мес. до срока,—то разность таковых учетов была бы равна 90 рублям. Сколько денег получил каждый из братьев, если возраст среднего относился к возрасту старшего, как 0,(6) : 0,8(3), и возраст младшего относился к сумме_возрастов всех трех братьев, как 0,(027) : 0,0(9)?

3269. Некто оставил после себя капитал, которым завещал распорядиться след. образом. По уплате 4¹/₂ % всего капитала на погашение   долгов   и  0,11(6)   капитала   на  устройство школы, остальные деньги должны быть разделены между его женою, двумя дочерьми и тремя сыновьями, и при том так, чтобы доля жены относилась к доле каждой дочери, как 0,(3) :  ¹/_3,5  и доля дочери в доле каждого из сыновей, как  .   Зная, что вдова получила на 60360 руб. менее того, что получили обе дочери вместе, определить первоначальный капитал завещателя.

3270. Четыре работника, занимаясь вместе, могли бы окончить некоторую работу  в дня Сила первого работника относится к силе второго, как 0,8 : 1,(3), сила второго к силе третьего, как¹/₃ : 0,2(3), и сила третьего к силе четвертого, как 1 : 2. Все четыре работника вместе занимались только в течение первых 2 дней, после чего двое последних отказались и тогда первым двум пришлось работать вплоть до окончания работы, за исполнение которой было заплачено деньгами, вырученными от продажи векселя в 91 р. 76 к. за 10 мес. до срока с точным учетом по 4%. Сколько денег пришлось получить каждому из четырех работников?

3271. Три лица внесли капиталы для общего торгового предприятия: первый внес свой капитал на ¹/₂года, второй внес сумму, равную 0,8 капитала первого, на 0,8(3)  года и третий внес сумму, равную 0,8(3) суммы, внесенной вторым, на 1 год 2 мес. Для ведения дела они пригласили товарища, с которым заключили условие, что если предприятие даст прибыль, то этот товарищ получит в вознаграждение 12¹/₂% этой прибыли, и остальную часть ее они разделят между собою пропорционально своим капиталам и времени их обращения. По окончании предприятия  согласно упомянутому условию, товарищ, который вел дело, в вознаграждение получил такую сумму денег, что если б ее отдать в рост по 5¹/₂ %, то через 8 мес. она превратилась бы вместе с процентными деньгами в 2177 руб. Сколько чистой прибыли получил каждый из главных участников?

3272. Два капитала относятся между собою, как  Первый капитал был помещен в   банк  по   6%,   а второй спустя 1¹/₂ года после первого, был помещен в другой банк по стольку процентов, сколько получится в частном от деления 0,5475 на 0,073. Через сколько лет оба капитала принесут одну и ту же прибыль?

3273. Три слитка серебра весят вместе 0,896 килограмма. Вес лигатуры первого слитка равен 14²/₇% веса чистого серебра; вес лигатуры второго слитка равен 33¹/₃ % веса всего (второго) слитка; третий слиток был 63-й пробы. Если сплавить первый слиток со вторым, то получится серебро 70-й пробы; если сплавить первый слиток стретьим, то получится серебро также 70-ой пробы. Зная, что грамм приблизительно равен 22¹/₂ долям, выразить в золотниках вес каждого из упомянутых слитков серебра.

3274.  Из золота, серебра, платины и меди приготовлены 4 цилиндрических куска, одной и той же толщины и одного и того же веса каждый; медный кусок  вышел  на   292,1  миллиметра длиннее платинового. Зная, что платина в 21 раз,  золото  в 19,82 раза, серебро в 10¹/₂ раз  и   медь  в  8,4  раза тяжелее воды (разумеется, при одном и том же объеме), и что 127 миллиметров=5 дюйм.,—выразить в дюймах  длину цилиндрического стержня, который получится, если все четыре куска будут спаяны своими концами.

3275.  Длина прямоугольного поля пахатной земли содержит столько же метров, сколько его ширина ярдов; вся граница вокруг поля  равна   7,536   версты.   Ярд =1²/₇  арш.;   метр=3,28 фута. Поле было продано по 120 руб. за  десятину,  и  вырученные от этой продажи деньги были разделены на две части, из которых большая, будучи помещена в  банк  по   6%,  через 7¹/₂ мес. превратилась вместе с процентными деньгами в 25315 руб., а меньшая была помещена в другой банк   по  4¹/₂%.   Во сколько времени с этой последней   части  получится   745¹/₂ руб. процентных денег?

3276. Акции одной железной дороги (номин. стоим. 100 руб.) приносит 6% дивиденда и стоят по курсу 98 руб. каждая; акции другой дороги (номин. стоим. тоже 100 р.) приносят 5% дивидент.. и стоят по 88 руб. каждая. Некто купил тех и других акций, всего числом 40, и, согласно вышесказанным  биржевым ценам, заплатил за них столько денег,  что  если б они были отданы в рост по 4%, то через 1¹/₂ года  превратились бы вместе с прибылью в 4028 руб. Сколько  процентов прибыли на затраченный капитал получит лицо, купившее акции?

8271. Капиталист разделнл свои деньги на две  части: на одну купил 5%-ных бумаг (номин. стоим. 100 р.) по 95 руб. за каждую, а на другую 4¹/₂%-ных бумаг (номин. стоим. тоже 100 р.) по 88 руб. за  каждую. Если б он эти деньги отдал в рост по 5%, то через год они превратились бы   24906  руб.,  и тогда прибыль была бы 44 рублями менее той, которую он получил с купленных им  процентных   бумаг по  истечении года. Сколько бумаг каждого рода было им куплено? Решение. Найдем сначала сумму денег, затраченную на покупку бумаг. Из условия задачи видно, что ²¹/₂₀   этой  суммы=2490б  руб.,   откуда эта сумма=  23720 руб. Пржбыль с нее(по5% в год)= 1186 руб. След. купленные процеятные бумаги дали (1186+44=) 1230 рублей доходу. Бумага, за которую заплачено 95 руб., дает в год 5 руб. доходу; след., каждый рубл, затраченный на покупку 5-ти процентных бумаг, дает ¹/₁₉ р. прибыли; бумага, за которую заплачено 88 руб., дает 4¹/₂ рубля прибыли; след., каждый рубль, затраченный на покупку 4¹/₂-проц. бумаг, дает ⁹/₁₇₆ руб. прибыли. Если б все деньги 23720 руб. были употреблены на покупку бумаг 1-ой категории, то эти бумаги принесли бы в год прибыли ²³⁷²⁰/₁₉ руб. = 1248⁸/₁₉ руб. Разница 1248⁸/₁₉ руб.—1230 руб = 18⁸/₁₉ руб. произошла от того, что прибыль с каждого рубля, употребленного на покупку бумаг 2-й категории, мы  увеличили на (¹/₁₉—⁹/₁₇₆) руб.= ⁵/_19•176 рубля. Поэтому число  рублей, пошедших на покупку 4¹/₂%-ных бумаг, будегь равно 18⁸/₁₉: ⁵/_19•176  = 176•70. Так как каждая бумага стоила 88 р., то число их , будет      ^176•70/₈₈    = 140.

Число же 5%-ных бумаг будет: (23720 —176•70) • 95 = 120.

3278.  Пушки  прежде  пригоговляли   из  сплава   91  части меди с 9 частями олова (ныне пушки стальные). На заводе было два  слитка:   в   первом количество меди относится к количеству олова, как 16,1(6) : 0,5, и во втором количество олова  = 21³⁹/₄₁ % количества меди. Для того, чтобы вылить пушку, сплавили 0,674(9) первого слитка с 0,5(8)  второго,   при   чем  от первого пришлось взять на 72 пуда более, нежели от  второго. Определить вес пушки и первоначальный вес каждого слитка.

3279.  По нумеру, выставляемому на  катушках   хлопчато-бумажных ниток, можно судить о степени  их  тонкости.  Нумер французских ниток означает, сколько раз вес  мотка, в  1  километр длины,  содержится  в полкилограмме; нумер английских ниток означает, сколько раз вес мотка, в 800 ярдов длины, содержится в одном английском торговом фунте (avoirdupois pound). Зная, что 1 англ. торг. фунт = 453,б грамма, 1 метр=3,2809 фута, и 1  ярд=3  фут.,—определить,   какому нумеру английских ниток будет соответствовать № 60-й французских.

3280. Некто поместил свой капитал в банк на текущий счет по 4%. По прошествии 1 года 3 мес, когда капитал превратился в 1820 руб. 70 коп., он снял все эти деньги с текущего счета и разделил прибыль, им полученную, между тремя сыновьями обратно-пропорционально летам каждого: лета младшего сына относились к летам среднего, как ²/₁₃ : 0,(18); и лета среднего к летам старшего, как 2:2,1(9). На остальную часть суммы 1820 руб. 70 коп., т. е. на первоначальный капитал, отец купил 5-ти-%-ных билетов Государств. Банка 2-го выпуска и 5-ти-%-ных облигаций Восточного займа, всего 20 бумаг. Номинальная цена каждого купленного банкового билета была 150 руб., а биржевая его цена на 1¹/₂% менее; номинальная цена каждой купленной облигации Восточнаго займа была 50 руб., а биржевая на 8% менее. 1) Сколько денег было получено каждым из сыновей при разделе прибыли от текущего счета? 2) Сколько банковых билетов и сколько облигаций купил отец? и 3) Сколько % составляет годовая прибыль на купленные бумаги по отношению к биржевой цене?

ОТВЕТЫ.