ГЛАВА   3

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ    УРАВНЕНИЯ

Ответы и решения

402.

  Трехчлен ax2  + bx + c   разлагается    на    множители    первой степени следующим образом: ax2  + bx + c  = a(xx1) (xx2); здесь x1 и x2 — корни уравнения ax2  + bx + c = 0 . В данном случае а =—3,   x1= 7;    x2 = —10/3   так что, получаем — 3 (х — 7) (х + 10/3).

Ответ   (7 — x) (3x +10).

__________________________________________________

403.

Так как

то можно по  догадке   разложить a/bb/a на   множители  и  (их сумма равна    a/b + b/a  ) .     Но надо еще выяснить, будет ли  это решение   единственным.    Пусть u и v — искомые   множители. По условию

Следовательно, и и v — корни квадратного уравнения

В выражения для и и v войдет радикал

Зная заранее, что задача допускает рациональное решение, постараемся освободиться от радикала. Для этого напишем вместо  выражение и    для    компенсации    прибавим ,   т. е.  4; тогда под радикалом получим   полный   квадрат

Ответ

__________________________________________________

404.

15x3+ x2—2x = х (15x2+ x—2).  Корнями уравнения  15x2+ x—2 = 0  будут x1 = 1/3;      x2 = — 2/5.    Следовательно,

15x2+ x—2 = 15(x1/3)(x + 2/5 )= (3x — 1) (5x + 2).

Ответ x(3x — 1) (5x + 2).

__________________________________________________

405.

Первый   способ.     Сумму    2x4+ 4x2 + 2    представляем в виде 2 (x2+1)2.

Второй способ. Располагаем многочлен по убывающим степеням х и член 4x2  разлагаем на два слагаемых 2x2 +2x2, после этого группируем первые три члена и последние три и разлагаем на множители.

Ответ   (x2+1)( 2x2+ x + 2 )

__________________________________________________

406.

Левую часть уравнения напишем так:    (1—x2)2+  4x2.

Уравнение примет вид

(1—x2)2 — 4x(1—x2)+4x2 = 0,

или

[(1—x2)—2x]2 = 0.

Ответ   x1 = —1 +√2;    x2= —1 —√2.

__________________________________________________

407.

Искомое уравнение есть( x — a/b ) ( x  — b/a) =0.

Ответ   abx2—(a2+b2) x+ab=0.

__________________________________________________

408.

По   теореме   Виета   корни   x1 и x2   уравнения  x2  + px + q = 0  в сумме дают —р, а в произведении q. Значит,

Искомое уравнение:  

Ответ     28x2—20x+1 =0.

__________________________________________________

409.

Решается аналогично предыдущей задаче.

Ответ   bx2—2aa x + a2= 0

__________________________________________________

410.

  По    теореме    Виета  x1x2=12;  по условию    x1x2=1.    Иэ этих уравнений  можно найти x1 и x2 (4 и 3 или   —3 и —4)  и затем р = — (x1+x2) = ±7.

Но для разыскания x1+ x2 нет необходимости определять x1 и x2 по отдельности. Можно вычислить  (x1+x2)2 = (x1x2)2+ 4x1x2= 12+4•12 = 49, откуда р = — (x1+x2) = ±7..

Ответ р =  ±7.

__________________________________________________

411.

Имеем

x1x2= 1/5 ;     x1x2 = 1.

Далее, как в предыдущей задаче, находим    и учитываем, что
 x1+x2 = k/5

Ответ    k = ± 3√5 .

__________________________________________________

412.

Имеем

  x12 +  x22 = 1,75;     x1x2 = a2;    x1+ x2 = 3a.

Здесь три неизвестных x1x2, а. Нам нужно найти а. Возводя третье уравнение в квадрат и вычитая удвоенное второе, находим x12 +  x22 = 7a2. Сопоставляя это с первым уравнением, находим 7a2 =1,75

Ответ  а = ± 1/2

__________________________________________________

413.

По теореме Виета

p + q  = —p   и   pq = q.

Эта система имеет два решения:   1) р = 0,   q = 0;   2) р = 1,   q = — 2.

В первом   случае имеем   уравнение x2 = 0,   во   втором   x2 + x— 2 = 0

Ответ  1)  р = 0,   q = 0; ; 2) р = 1,   q = — 2.

__________________________________________________

414.

Корни   искомого   уравнения    будут   Выразим y1+ y2 через коэффициенты а, b, с. Для этого преобразуем    к виду      и заменим (x1+ x2) через —b/a,   а   x1x2  через c/a. Получим .    Кроме   того  имеем .   Следовательно,  искомое  уравнение есть

Ответ  асу2 — (b2 — 2ас)y + ас = 0.

__________________________________________________

415.

 Эту задачу можно решать как и предыдущую, но лучше идти более коротким путем.

В первом случае оба корня искомого уравнения должны быть вдвое больше соответствующих корней данного уравиения. Значит, нужно найти неизвестную величину у, которая вдвое больше неизвестной величины x, удовлетворяющей уравнению ax2  + bx + c = 0. Из условия  у = 2х  находим х = y/2 и,  подставляя в данное уравнение, получаем

Во втором случае делаем подстановку х = 1/y.     Получаем

Ответ 1) ау2+2+4с= 0     2) cy2 + by + a = 0.

__________________________________________________

416.

 Первый    способ    (см    решение   задачи   414).    

Имеем y1+ y2 = x13 +  x23  = (x1 +  x2)3 — 3x1x2 (x1 +  x2)

Подставляя   сюда x1 +  x2 = —b/a и    x1x2 = c/a , находим    . Далее,  , и по теореме Виета составляем уравнение.

Второй   способ,   (см.   решение   задачи  415).   По условию у = х3,  т.  е. х = 3y. Подставляя   в   данное   уравнение,   получаем

а 3y2 + b 3y = — c.

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в куб     и    преобразуем  сумму 3 (а 3y2)2 b 3y + 3 а 3y2(b 3y )2 к виду 3аbу [а (3y)2 + b 3y ]. Выражение в скобках в силу найденного уравнения равно —с.

Ответ    a3y2+(b3—3abc)y + c3=0.

__________________________________________________

417.

Всякое уравнение n-й степени, имеющее корни x1, x2, . . , , xn можно представить в виде

(xx1) (xx2) . . . (xxn )=0.

Биквадратное же уравнение имеет всегда две пары корней, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку. Полагая x3 = —x1 и x4=—x2, можно записать биквадратное уравнение в виде

(xx1) (xx2)(x+x1) (x+x2) = 0,   т.е.   (x2x12) (x2x22) = 0

или

х4(x12+x22) х2 + х12х22 = 0.

Но по условию

x12+x22+ (—x1)2 + (—x2)2= 50

и

х1х2 (—x1)  (—x2) = 144.

Следовательно,

x12+x22= 25     и     х12х22=144.

Ответ     х4—25х2+144=0.

__________________________________________________

418.

Если  алгебраическое уравнение   (с действительными  коэффициентами) имеет комплексный корень а+bi, то корнем его является также и  комплексное  число  а—bi   (сопряженное с  числом  а+bi). Таким  образом,  нам  известны  два  сопряженных  корня  заданного уравнения 3 + i6   и  3 — i6 . Оба эти корня можно проверить непосредственно, но проще предварительно выполнить следующее преобразование.

По теореме Безу левая часть уравнения должна делиться (без остатка) на выражения       х—(3 + i6)  и  х— (3 — i6 ), а следовательно, и на произведение этих выражений, т. е. на [(х—3)— i6 ] •[(х — 3)+i6 ] = х2—6х + 15. Выполнив деление, мы разложим   левую   часть   на  два   множителя:  
4х4—24х3 + 57х2 +18х —45 = (х2—6х + 15) (4х2— 3),  и данное уравнение распадается на два: 1) х2—6х + 15 = 0 и 2) 4х2— 3= 0.

Первое     имеет     корни x1 = 3 + i6  и     x2 = 3 — i6 ;

корнями второго являются

Ответ     x1 = 3 + i6  ;  x2 = 3 — i6 ;   

__________________________________________________

419.

  По  условию х = 2 должно удовлетворять  заданному  уравнению.  Поэтому   мы  имеем   6•23—7•22—16•2+ т = 0,   откуда  т =12. Получаем уравнение 6х3—7х2—16х +12 = 0, один из корней  которого   равен 2. По   теореме   Безу   его   левая   часть   должна   делиться   на (х—2),    Разделив,   найдем   6х2+5х—6.    Следовательно,    уравнение можно   представить   в   виде    (х—2) (6х2+5х—6) =0.  Корнями   его, кроме корня x1= 2, являются корни x2, x3 уравнения  6х2+5х—6 = 0.

Ответ  т = 12;   x2 = 2/3 ;    x3 = —2/3.

__________________________________________________

420.

Подставляя в данное уравнение x=2 и x = 3 (см. решение предыдущей задачи), получаем

4m + n =10 и 9m + n = —15.

Из этой системы находим т = —5, n = 30 и получаем уравнение 2х3—5х2—13х+30 = 0. Левая часть должна делиться на х—2 и на х—3  и, следовательно, на произведение
(х—2) (х—3). Уравнение перепишется в виде (х—2) (х—3) (2х+5) =0.

Корни его   x1=2,   x2 = 5, x3= —5/2

Ответ   т = — 5;    n = 30;   x3= —5/2.

__________________________________________________

421.

Квадратное   уравнение   x2  + px + q = 0  имеет   равные   корни когда подкоренное выражение    (p/2)2 — q    равно нулю. В данном случае должно быть (аa2— 3)2 — 4 = 0, т. е. а4 — 3а2 — 4 = 0. Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня (а = 2 и а = —2) и два мнимых (а = i и а = —i). Ограничиваясь действительными корнями    (Мы предполагаем, что коэффициенты заданного уравнения являются действительными числами.), получаем уравнение x2 + 4x+4 = 0 и x2 —4x +4 = 0; первое имеет корни x1 = x2= —2, второе имеет корни x1 = x2 = 2.

Ответ     При а =2 и при а  = —2.

__________________________________________________

422.

Корни уравнения будут

x1,2т ± m2 — m2 +1  = т ±1.

По условию имеем

Ответ     —1 < т < 3

__________________________________________________

Используются технологии uCoz