ГЛАВА 3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Ответы и решения
402.
Трехчлен ax2 + bx + c разлагается на множители первой степени следующим образом: ax2 + bx + c = a(x—x1) (x — x2); здесь x1 и x2 — корни уравнения ax2
+ bx + c = 0 . В данном случае а =—3, x1= 7; x2 = —10/3 так что, получаем — 3 (х — 7) (х + 10/3).
Ответ (7 — x) (3x +10).
__________________________________________________
403.
Так как
то можно по догадке разложить a/b — b/a на множители и (их сумма равна a/b + b/a ) . Но
надо еще выяснить, будет ли это решение единственным. Пусть u и v — искомые множители. По условию
Следовательно, и и v — корни квадратного уравнения
В выражения для и и v войдет радикал
Зная заранее, что задача допускает рациональное решение, постараемся освободиться от радикала. Для этого напишем вместо выражение и для компенсации прибавим , т. е. 4; тогда под радикалом получим полный квадрат
Ответ
__________________________________________________
404.
15x3+ x2—2x = х (15x2+ x—2). Корнями уравнения 15x2+ x—2 = 0 будут x1 = 1/3; x2 = — 2/5. Следовательно,
15x2+ x—2 = 15(x —1/3)(x + 2/5 )= (3x — 1) (5x + 2).
Ответ x(3x — 1) (5x + 2).
__________________________________________________
405.
Первый способ. Сумму 2x4+ 4x2 + 2 представляем в виде 2 (x2+1)2.
Второй способ. Располагаем многочлен по убывающим степеням х и член 4x2 разлагаем на два слагаемых 2x2 +2x2, после этого группируем первые три члена и последние три и разлагаем на множители.
Ответ (x2+1)( 2x2+ x + 2 )
__________________________________________________
406.
Левую часть уравнения напишем так: (1—x2)2+ 4x2.
Уравнение примет вид
(1—x2)2 — 4x(1—x2)+4x2 = 0,
или
[(1—x2)—2x]2 = 0.
Ответ x1 = —1 +√2; x2= —1 —√2.
__________________________________________________
407.
Искомое уравнение есть( x — a/b ) ( x — b/a) =0.
Ответ abx2—(a2+b2) x+ab=0.
__________________________________________________
408.
По теореме Виета корни x1 и x2 уравнения x2 + px + q = 0 в сумме дают —р, а в произведении q. Значит,
Искомое уравнение:
Ответ 28x2—20x+1 =0.
__________________________________________________
409.
Решается аналогично предыдущей задаче.
Ответ bx2—2a√a x + a2= 0
__________________________________________________
410.
По теореме Виета x1x2=12; по условию x1— x2=1. Иэ этих уравнений можно найти x1 и x2 (4 и 3 или —3 и —4) и затем р = — (x1+x2) = ±7.
Но для разыскания x1+ x2 нет необходимости определять x1 и x2 по отдельности. Можно вычислить (x1+x2)2 = (x1— x2)2+ 4x1x2= 12+4•12 = 49, откуда р
= — (x1+x2) = ±7..
Ответ р = ±7.
__________________________________________________
411.
Имеем
x1x2= 1/5 ; x1— x2 = 1.
Далее, как в предыдущей задаче, находим и учитываем, что x1+x2 = k/5
Ответ k = ± 3√5 .
__________________________________________________
412.
Имеем
x12 + x22 = 1,75; x1x2 = a2; x1+ x2 = 3a.
Здесь три неизвестных x1, x2, а. Нам нужно найти а. Возводя третье уравнение в квадрат и вычитая удвоенное второе, находим x12 + x22 = 7a2. Сопоставляя это с первым уравнением, находим 7a2 =1,75
Ответ а = ± 1/2
__________________________________________________
413.
По теореме Виета
p + q = —p и pq = q.
Эта система имеет два решения: 1) р = 0, q = 0; 2) р = 1, q = — 2.
В первом случае имеем уравнение x2 = 0, во втором x2 + x— 2 = 0
Ответ 1) р = 0, q = 0; ; 2) р = 1, q = — 2.
__________________________________________________
414.
Корни искомого уравнения будут Выразим y1+ y2 через коэффициенты а, b, с. Для этого преобразуем к виду и заменим (x1+ x2)
через —b/a, а x1x2 через c/a. Получим . Кроме того имеем . Следовательно, искомое уравнение есть
Ответ асу2 — (b2 — 2ас)y + ас = 0.
__________________________________________________
415.
Эту задачу можно решать как и предыдущую, но лучше идти более коротким путем.
В первом случае оба корня искомого уравнения должны быть вдвое больше соответствующих корней данного уравиения. Значит, нужно найти неизвестную величину у, которая вдвое больше неизвестной величины x, удовлетворяющей уравнению ax2 + bx + c = 0. Из условия у = 2х находим х = y/2 и, подставляя
в данное уравнение, получаем
Во втором случае делаем подстановку х = 1/y. Получаем
Ответ 1) ау2+2bу+4с= 0 2) cy2 + by + a = 0.
__________________________________________________
416.
Первый способ (см решение задачи 414).
Имеем y1+ y2 = x13 + x23 = (x1 + x2)3 — 3x1x2 (x1 + x2)
Подставляя сюда x1 + x2 = —b/a и x1x2 = c/a , находим . Далее, , и по теореме Виета составляем
уравнение.
Второй способ, (см. решение задачи 415). По условию у = х3, т. е. х = 3√y. Подставляя в данное уравнение, получаем
а 3√y2 + b 3√y = — c.
Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части уравнения в куб и преобразуем сумму 3 (а 3√y2)2 b 3√y + 3 а 3√y2(b
3√y )2 к виду 3аbу [а (3√y)2 + b 3√y ]. Выражение в скобках в силу найденного уравнения равно —с.
Ответ a3y2+(b3—3abc)y + c3=0.
__________________________________________________
417.
Всякое уравнение n-й степени, имеющее корни x1, x2, . . , , xn можно представить в виде
(x—x1) (x—x2) . . . (x—xn )=0.
Биквадратное же уравнение имеет всегда две пары корней, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку. Полагая x3 = —x1 и x4=—x2, можно записать биквадратное уравнение в виде
(x—x1) (x—x2)(x+x1) (x+x2) = 0, т.е. (x2—x12) (x2—x22) = 0
или
х4 — (x12+x22) х2 + х12х22 = 0.
Но по условию
x12+x22+ (—x1)2 + (—x2)2= 50
и
х1х2 (—x1) (—x2) = 144.
Следовательно,
x12+x22= 25 и х12х22=144.
Ответ х4—25х2+144=0.
__________________________________________________
418.
Если алгебраическое уравнение (с действительными коэффициентами) имеет комплексный корень а+bi, то корнем его является также и комплексное число а—bi (сопряженное с числом а+bi). Таким образом, нам известны два сопряженных корня заданного уравнения 3 + i√6 и
3 — i√6 . Оба эти корня можно проверить непосредственно, но проще предварительно выполнить следующее преобразование.
По теореме Безу левая часть уравнения должна делиться (без остатка) на выражения х—(3 + i√6) и х— (3 — i√6 ), а следовательно, и на произведение этих выражений, т. е. на [(х—3)— i√6 ] •[(х
— 3)+i√6 ] = х2—6х + 15. Выполнив деление, мы разложим левую часть на два множителя: 4х4—24х3 + 57х2 +18х —45 = (х2—6х + 15) (4х2— 3), и данное уравнение распадается на два: 1) х2—6х
+ 15 = 0 и 2) 4х2— 3= 0.
Первое имеет корни x1 = 3 + i√6 и x2 = 3 — i√6 ;
корнями второго являются
Ответ x1 = 3 + i√6 ; x2 = 3 — i√6 ;
__________________________________________________
419.
По условию х = 2 должно удовлетворять заданному уравнению. Поэтому мы имеем 6•23—7•22—16•2+ т = 0, откуда т =12. Получаем уравнение 6х3—7х2—16х +12 = 0, один из корней которого равен 2. По теореме Безу его
левая часть должна делиться на (х—2), Разделив, найдем
6х2+5х—6. Следовательно, уравнение можно представить в виде (х—2) (6х2+5х—6) =0. Корнями его, кроме корня x1= 2, являются корни x2, x3 уравнения 6х2+5х—6 = 0.
Ответ т = 12; x2 = 2/3 ; x3 = —2/3.
__________________________________________________
420.
Подставляя в данное уравнение x=2 и x = 3 (см. решение предыдущей задачи), получаем
4m + n =10 и 9m + n = —15.
Из этой системы находим т = —5, n = 30 и получаем уравнение 2х3—5х2—13х+30 = 0. Левая часть должна делиться на х—2 и на х—3 и, следовательно, на произведение (х—2) (х—3). Уравнение перепишется в виде (х—2) (х—3) (2х+5) =0.
Корни его x1=2, x2 = 5, x3= —5/2
Ответ т = — 5; n = 30; x3= —5/2.
__________________________________________________
421.
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0 имеет равные корни когда подкоренное выражение (p/2)2 — q равно нулю. В данном случае должно быть (а √a2— 3)2 — 4 = 0, т. е. а4 — 3а2 — 4 = 0. Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня (а = 2 и а = —2) и два мнимых (а = i и а = —i). Ограничиваясь действительными корнями (Мы предполагаем, что коэффициенты заданного уравнения являются действительными числами.), получаем уравнение x2 + 4x+4 = 0 и x2 —4x +4 = 0; первое имеет корни x1 = x2= —2, второе имеет корни x1 = x2 = 2.
Ответ При а =2 и при а = —2.
__________________________________________________
422.
Корни уравнения будут
x1,2 = т ± √m2 — m2 +1 = т ±1.
По условию имеем
Ответ —1 < т < 3
__________________________________________________
|