ГЛАВА   3

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ    УРАВНЕНИЯ

Ответы и решения

В задаче 467 и в большинстве следующих задач этой главы применение искусственных приемов совершенно необходшло для их успешного решении. Основная трудность этих задач в том, чтобы подметить особенности данной системы и подыскать соответствующий искусственный прием.

467.

 Можно решить по способу подстановки (из второго уравнения найти у = 6 — х или      х = 6— у и подставить в первое). Несколько быстрее ведет к цели следующий искусственный прием. Первое уравнение преобразуется к виду (х—у)2=4, откуда х—у =2 или    х—у = —2. Получаем две системы:

Ответ 1)  x1 = 4, у1 = 2       2)  x2 = 2,   у2  = 4

__________________________________________________

468.

 Представим данную систему в виде

Положим   для  краткости   xy = z1;   x + y = z2.  Тогда   имеем   систему

По теореме Виета z1  и z2 — корни квадратного уравнения z2 — 11z + 30=0. Находим: z1= 6, z2=5 или z1= 5,  z2=6  .  Получаем две системы:

К каждой   можно   снова   применить  теорему  Виета   (или   решить по способу подстановки).

Ответ  1) x = 5, y = 1    2)  x = 1, y = 5   3) x = 2, y = 3   4) x = 3, y = 2

__________________________________________________

469.

Положим y2 = z; тогда имеем систему

Ответ   1)  х = 4,  y = √3

2) х = 4,  y = — √3

3)  х = 3,  у = 2.

4) х = 3, у = — 2.

__________________________________________________

470.

Положим   х2 = z1       и   — y = z2.   Получим систему

Ответ  1) х = 5,    y =2;

2)  х = — 5,         y = 2;

3) х = i√2 ,          y =—25;

4) х = — i√2 ,        y = —25.

 

__________________________________________________

471.

Полагаем    — ху  = z1 ;   х2 — у2 = z2 . Получим систему

Находим  z1 = 9;  z2 = —20 или  z1 = —20;  z2 = 9.  Теперь  имеем  две системы:

Решим первую систему. Из первого ее  уравнения   находим у = —9/x.

Подставляем во второе. Находим биквадратное уравнение х4 + 20х2 —  81=0. Его корни

Теперь находим

Тем же способом решаем вторую систему.

Ответ 1)  х ≈1,86,      у ≈ — 4,84;

2)  х ≈ —1,86,   у ≈ 4,84;

3)  х ≈ 4,84i,      у ≈ 1,86i;

4)  х ≈ — 4,84i,   у ≈ —1,86i;

5)  х = 5,          у = 4;

6)  х = — 5,      у = —4;

7)   х = 4i,           у = —5i;

8)   х = —4i,       у = 5i.

__________________________________________________

472.

Исключим   свободные   члены,   для   чего   помножим   второе уравнение на 7 и вычтем из первого. Получим

—32х2— 2ху + 75y2 = 0.

Это — однородное уравнение второй степени (т. е. уравнение, содержащее только члены второй степени; членов первой степени и свободного члена в нем нет). Разделив обе части уравнения на х2 (это можно сделать, так как х = 0 не есть корень), мы преобразуем его   к   виду    и,   решив  квадратное уравнение,   найдем .   Этим   способом   из   всякого однородного уравнения второй степени можно найти отношение  у/x.

Теперь решаем две системы:

(по способу подстановки).

Ответ

__________________________________________________

473.

1-е   уравнение   запишем   так: х2 — 2ху + у2 = 1/2 ху  . Тогда имеем (х—у)2 = 1/2 ху

2-е уравнение запишем в виде 2(х—у) = 1/2 ху

Значит, (х—у)2—2(х—у) = 0.

Отсюда находим х—у = 0 и х—у = 2. Получаем две системы:

Ответ 1) х = у = 0; 2) х = 4, у = 2  3) х  =— 2, у =—4.

__________________________________________________

474.

Первое уравнение перепишем так:

(х2 + 2ху + у2) =13 + ху    или    (х + у)2— 13 = xy.

Из   второго   уравнения   х + у = 4;   подставив,   получим   16 —13 = xy. Решаем теперь систему

Ответ 1) х = 3, у =1;   2) х= 1, у = 3.

__________________________________________________

475.

 Решается, как предыдущая задача. Получим новую систему

Ответ    1)  х = 3, у = 2    2) х = — 3,  у = —2

__________________________________________________

476.

 Полагаем  х/у = z;   тогда   у/x =  1/z,    и первое   уравнение  примет   вид  z + 1/z = 25/12   или           12z2—25z +12 = 0.   Его   корни   z1 = 4/3   и z2 = 3/4

Теперь имеем две системы:

Системы решаются подстановкой значения х из  первого  уравнения во второе.

Ответ 1)  х = 4,      y =3;

2)   х = — 4,  y = —3;

3)  х = 3i,     y = 4i;

4)   х = —3i,   y = —4i.

__________________________________________________

477.

Систему можно записать в виде

Перемножаем эти уравнения и делим одно на другое.

Получаем  отсюда

Перемножая эти уравнения, находим

Выраженне   для   y2    можно   найти    ачалогично,    взяв   уравнение      Оно   отличается   от   соответствующего   уравнения для х только перестановкой букв c и d.

Ответ

 

__________________________________________________

478.

Во   втором    уравнении    разлагаем    х3 +у3   на    множители (х  + у)(х2 — ху + у2 )  и делим второе уравнение на первое.   Получим х  + у = 5. В первом уравнении прибавляем к правой и левой частям уравнения  по   3ху;   получим   (х  + у)2=7+3ху.  Подставив  5  вместо (х  + у)   согласно   полученному   уравнению,   найдем   ху = 6.   Теперь решаем систему

Ответ  1)  х = 3, у = 2;    2)  х = 2,  у = 3.

__________________________________________________

479.

Помножим   второе  уравнение   на  3  и   сложим   с  первым. Получим   (х  + у)3=1,   Если   ограничиться   действительными   решениями,   то   отсюда   х + у =1.   Заменяя   во   втором   уравнении  х + у через 1, имеем ху = —2. Решаем систему

Ответ 1) х = 2,  у = —1;    2)  х =—1,  у = 2.

 

__________________________________________________

480.

Решается, как предыдущая задача.

Ответ  1)  х = 3,   у = 2;    2)  х = 2,   у= 3.

__________________________________________________

481.

Полагаем   Первое    уравнение    принимает    вид  

Отсюда z = 5 и  z  = 1/5, т. е

Из  уравнения  находим у = 2/3 х. Решаем   это  уравнение  совместно с заданным  уравнением   ху = 6.  Таким   же  образом  используем уравнение.

Ответ 1) х = 3,   у = 2;

2)  х =— 3,         у = —2;

3)  х = 3i,           у =—2i;

4)  х = —3i,      у =2i.

 

__________________________________________________

482.

Исключаем   из   системы   неизвестное   z :   второе   уравнение вычитаем   из  первого,  умноженного  на   с,  третье  уравнение  вычитаем из второго, умноженного на с. Получим систему

Отсюда находим х и у. Аналогично находим z.

Ответ

 

__________________________________________________

483.

Исключаем   сначала   и;   для   этого:   1)    второе   уравнение умножим на 2 и прибавим к первому; 2) третье уравнение умножим на   (—2)   и  прибавим  ко   второму;   3)   третье  уравнение  умножим на (—3) и прибавим к четвертому. Получим систему

Из этой системы исключим   х, предварительно вычитая из второго уравнения третье. Получим

Складываем  уравнения  а)   и  в),  а уравнение  б) умножаем на 5 и складываем с в). Получим

Отсюда находим   z =3 и у =2.  Из уравнения  б)   находим  х и  из третьего заданного уравнения находим и.

Ответ    х =1;   у =2;   z =3;   и = 4.

__________________________________________________

484.

Вычитаем     из     второго     уравнения     первое.   Получим у + 2z =1. Отсюда у =1—2z. Подставляем это значение у в первое уравнение,   находим   х = z + 3.   Подставляем   найденные  значения   х и   у  в   третье   уравнение,   получим   3z2 + z — 2 = 0.   Корни  его   z1 = 2/3   и   z2 = — 1.   Подставляя   значения  z   в   уравнения   x = z + 3   и у =1—2z, найдем по два значения х и у.

Oтвет   1)  x = 11/3,  у = — 1/3,  z = 2/3;

2)  x = 2, у = 3, z = —1.

__________________________________________________

485.

 Первое  уравнение  возводим  в  квадрат,  второе — в   куб  и третье — в  квадрат  после  переноса  второго  члена   в  правую   часть уравнения. Получим систему

Ответ   

__________________________________________________

486.

Возводим первое уравнение в квадрат и  вычитаем второе. Получаем  ху + хz + уz = 54. В   силу  третьего   уравнения   можно   заменить  первые  два   слагаемых   через  2уz.  Получаем   3yz = 54,   т.  е.

yz =18.                                              (а)

Теперь   третье   уравнение   можно   записать   в   виде   xy + xz = 2•18, т. е.

x( у + z) = 36.                                         (б)

A так как первое уравнение имеет вид

х + ( у + z)  = 13.                                        (в)

то из уравнений (б) и (в)  можно найти х и  y + z. Получаем:

Чтобы найти у и z по отдельности, присоединим уравнение (а). Получим две системы:

Замечание. При возведении в квадрат первого уравнения возникает опасность появления лишних решений. Но если бы они появились, то удовлетворяли бы уравнению             х + у + z = —13, что противоречило бы уравнению (в)

Ответ. 1) х = 9, у = 2 + i √14 ,      z = 2 — i √14 ;

2)   = 9,             у = 2 — i√14 ,       z = 2 + i √14

3) х  = 4,             у=6,                    z=6.

4) х =4,               у = 3,                 z =3;

 

__________________________________________________

487.

Третье   уравнение   представим   в   виде

z2 — xz — yz + xy = 2.

Сложив его со вторым, получим

z2  +  2xy  =49.                                         (a)

Отсюда z2  = 49—2xy. Подставляем это выражение в первое уравнение.   Получим          (х + у )2 =4 9,   т.   е.   х + у= ±7.    Положим    сначала   х + у = 7.

Представим второе уравнение в виде

xy + z(x + y)=47    .

и  сюда   подставим   выражениеху получаемое   из    (а), и

значение  х + у = 7.    Получаем    z2—14z + 45=0.    Отсюда    z1 = 5    и  z2 = 9.   

Если   z = 5,   то ;  если   же  z = 9,   то  

Имеем две системы:

каждая  из которых имеет по два решения. Всего получаем четыре решения:

Теперь   положим  х + у  = —7   и   тем   же  способом   найдем   еще четыре решения.

Ответ

__________________________________________________

488.

Вычитаем   сначала   второе,   а   затем   третье   уравнение   из первого. Получаем:

Сокращаем   уравнение   (а)   на   (а—b)    и уравнение   (б)  на  (а—с).

Имеем:

Вычитаем (г) из (в). Получаем

Отсюда

.

Неизвестное у находим  из   (в)   или  из   (г). Теперь  по любому из данных уравнений найдем z.

Ответ

__________________________________________________

489.

 Положим . Получаем   систему

Ее корни

Отсюда находим х =17; у = 6.

Ответ  х =17; у = 6.

__________________________________________________

490.

В   силу   второго   уравнения   первое   можно   записать   так: 10 — 2√xy  = 4. Отсюда   ху = 9. Получаем систему

Oтвет   1) х = 9, y = 1;   2) х =1, y = 9.

__________________________________________________

491.

Полагаем   Первое    уравнение    примет    вид z — 2 + 1/z= 0     Отсюда z = 1, т. е.  . Из   последующего уравнения находим у = 2х  и подставляем во второе уравнение.

Ответ  1) х = 6, y =12;   2)  х = —4,5, y = —9.

__________________________________________________

492.

Первое   уравнение   приводится    к    виду , откуда

х2 + у2=136.                                          (а)

Второе   уравнение   возводим   в   квадрат;   получим , откуда

у2 = 36х—324.                                        (б)

Это выражение подставляем в (а). Получаем х2 + 36х —460 = 0. Отсюда находим х=10 и х = —46. Подставляя в (б), находим у. Получаем четыре пары решений:

1)  х =10, у = 6;      3) х =— 46, у = 6√55 ;

2) х =10, у = —6;  4) х =— 46, у = —6√55 .

Третья и четвертая пары решений не годятся, так как выражения √х + у  и  √х — у , где радикалы должны означать арифметические значения корня (в противном случае они неопределенны ввиду двузначности корня), не имеют смысла при комплексных значениях  х + у и х—у. Первую и вторую пару решений следует проверить.

Ответ 1) х =10, у = 6;  2) х =10, у = — 6.

 

__________________________________________________

493.

Система   имеет  смысл  только  при   а > 0   (см.  предыдущее объяснение). Первое уравнение возводим в квадрат:

                                 (a)

Это выражение подставляем во второе уравнение; получаем

Возводим в квадрат уравнения (а) и (б):

у2 = 64а2+16ах,                                (а')

у2 = (√41  + 5)2 а2— 2(√41  + 5)ax.                 (б')

Исключая у из (а') и (б'), получаем

(130+ 10√41 ) а2 = (26+ 2√41 )ax

откуда х =5а. Из (а') находим y = ±4а и затем производим проверку.

Ответ 1) х =5а, у =4а;   2) х =5а, у =—4а.

__________________________________________________

494.

Возводим   первое   уравнение   в   квадрат; 2х2—2√х2 — у2     = у2. Подставляем сюда   значение х4—у4 = 144а4   из   второго   уравнения. Получаем

у2=2х2—24а2.                                         (а)

Отсюда находим у4 и подставляем во второе заданное уравнение. Получаем

х4—32а2х2+240а4 = 0.

Отсюда х = ±√20 а и х = ±√12 а. Из уравнения (а) находим у. Для каждого из значений   х = ±√20 а  имеем у = ±4а, а для каждого из значений х = ±√12 а имеем, у =0. Проверка показывает, что из полученных шести пар решений одни являются лишними при   а > 0,   другие   же   являются  лишними   при   а < 0.   Возьмем, например,   пару   решений   х =  √20 а, у =  4а.   Подставляя в первое уравнение, мы находим √36а2   —√4а2  = 4а, т. е. 6|а|—2|а|=4а. Это равенство является тождеством при а > 0, но оно не верно при      а < 0.

Ответ. При а > 0 решения будут:

1) х =  √20 а,  у =  4а;    2) х = — √20 а,  у =  4а

3) х = √12 а, у = 0;       4) х = — √12 а, у = 0.

При а < 0 решения будут:

5) х = √20 а,  у = —  4а 6) х = —√20 а,  у = —  4а.

__________________________________________________

495.

   Первый    способ.     Из    второго    уравнения    находим х + у = 14 —√ху  .   Возводим в квадрат; получаем

x2 + y2 + 2xy = 196 + xy   —28 √ху,

откуда

x2 + y2 + xy = 196 —28 √ху.

В силу первого уравнения имеем 84 = 196 —28 √ху. Отсюда находим √ху = 4, т. е. xy=16. Подставляя во второе уравнение значение √ху = 4, находим x + y =10. Решаем систему

Второй способ. Левую часть первого уравнения  разлагаем на множители:

x2 + y2 + xy = (x + y)2  — ( √ху)2= (x + y + √ху) (x + y — √ху) = 84.

Отсюда в силу второго уравнения получаем

14(x + y — √ху) = 84,

т. е.  x + y — √ху = 6. Из системы

можно найти х + у   и  √ху.

Ответ. 1)  х = 2, у = 8; 2)  х = 8, у = 2.

 

__________________________________________________

496.

Из    первого   уравнения    находим , из второго

приравняв эти два  выражения, получаем  отсюда имеем уравнение

(1+т)x2 + (2 + т)x + (2—т) = 0.

Это уравнение имеет действительные корни при условии

(2 + т)2—4(1+ т)(2—т) >0.

После   упрощения   левой   части   получим    выражение   5т2—4 > 0, откуда . При этом условии х имеет действительные значения,   значит,   действительные   значения   имеет    и

Ответ

__________________________________________________
Используются технологии uCoz