ГЛАВА 5
НЕРАВЕНСТВА
Предварительные замечания
Приведем некоторые неравенства, которые используются при решении предлагаемых ниже задач. Для любых вещественных а и b
a2 + b2 > |ab|. (1)
Неравенство (1) есть следствие очевидного неравенства (а ± b)2 > 0. Знак равенства в (1) имеет место лишь в случае, когда |а| = |b|. Если аb > 0, то, разделив обе части неравенства (1) на ab, получим:
a/b + b/a > 2 (2)
Если u > 0 v > 0, то, положив в (1) и = a2, v = b2, получим:
(3)
В неравенствах (2) и (3) знак равенства имеет место соответственно лишь при а = Ъ и u = v.
Отметим, кроме того, некоторые свойства квадратного трехчлена
у = ax2 + bx + c , (4)
которые ниже используются в ряде задач.
Из представления трехчлена (4) по формуле
(5)
следует, что в случае, когда дискриминант трехчлена
D = b2 — 4ас < 0
(в этом случае корни трехчлена невещественны), трехчлен при всех х принимает значения одного и того же знака, совпадающего со знаком коэффициента а при старшем члене.
В случае D = 0 трехчлен также сохраняет постоянный знак, обращаясь в нуль при единственном значении х = — b/2a.
Наконец, в случае D > 0 (в этом случае трехчлен имеет вещественные и различные корни x1 и x2) из разложения
у = а(x—x1)(x— x2)
вытекает, что лишь при условии
x1 < x < x2
трехчлен принимает значения, знак которых противоположен знаку а. Для всех же остальных значений х, отличных от x1 и x2, трехчлен имеет тот же знак, что и а.
Таким образом, трехчлен всегда сохраняет знак коэффициента при старшем члене, за исключением лишь того случая, когда корни его вещественны и
x1 < x < x2
|