ГЛАВА   5

НЕРАВЕНСТВА

Предварительные  замечания

Приведем некоторые неравенства, которые используются при решении предлагаемых ниже задач. Для любых вещественных а и b

a2 + b2 > |ab|.                                        (1)

Неравенство (1) есть следствие очевидного неравенства (а ± b)2  > 0. Знак равенства  в (1) имеет  место лишь в случае,   когда   |а| = |b|. Если  аb > 0,   то,   разделив   обе части неравенства   (1)   на   ab, получим:

a/b +  b/a    > 2                                     (2)

Если  u > 0  v > 0,  то, положив в (1)   и = a2, = b2, получим:

                          (3)

В неравенствах (2) и (3) знак равенства имеет место соответственно лишь при  а = Ъ  и   u = v.

Отметим,   кроме  того,   некоторые   свойства  квадратного  трехчлена

у = ax2  + bx + c ,                                       (4)

которые ниже используются в ряде задач.

Из представления трехчлена (4) по формуле

                              (5)

следует, что в случае, когда дискриминант трехчлена

D = b2 — 4ас < 0

(в этом случае корни трехчлена невещественны), трехчлен при всех х принимает значения одного и того же знака, совпадающего со знаком коэффициента а при старшем члене.

В случае   D = 0   трехчлен   также  сохраняет  постоянный   знак, обращаясь в нуль при единственном значении   х =  — b/2a.

Наконец, в случае D > 0 (в этом случае трехчлен имеет вещественные и различные корни x1 и x2) из разложения

у = а(xx1)(xx2)

вытекает, что лишь при условии

x1 < x < x2

трехчлен принимает значения, знак которых противоположен знаку а. Для всех же остальных значений х, отличных от x1 и x2, трехчлен имеет тот же знак, что и а.

Таким образом, трехчлен всегда сохраняет знак коэффициента при старшем члене, за исключением лишь того случая, когда корни его вещественны и

x1 < x < x2

 

Используются технологии uCoz