ГЛАВА   4

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА.

Предварительные  замечания

На вступительных экзаменах нередко предлагается решить уравнение, содержащее логарифмы по различным основаниям . Для их решения может оказаться удобным привести все логарифмы к одному основанию.  Поэтому мы приведем формулы с необходимыми пояснениями.

1.  Формула

             (а)

позволяет поменять ролями основание логарифма и число.

Пример.

Пояснение. По определению логарифма log₂8 есть показатель степени, в которую надо вознести 2, чтобы получить 8. Таким образом, запись log₂8 = 3 есть лишь иная форма записи 2³=8. Но последнее равенство можно записать еще так: ³√8 = 2, т. е. .

Стало быть, .

Вообще равенство а^x = b можно записать еще так: Первое равенство означает, что log_bb = x,a   второе,— что log_ba = ¹/_x ,   откуда и следует формула (а).

2.  Формула (а) есть частный случай более общей формулы

                                       (б)

выражающей следующий важный факт: зная  логарифмы различных чисел по основанию b, можно найти логарифмы тех же чисел по основанию а; для этого достаточно выполнить деление на  log_ba (т. e. на логарифм нового основания по старому). Вместо деления на log_ba можно [в силу (а)]   выполнить   умножение   на  log_ab;

 log_aN =  log_ab•log_bN.                                (в)

Множитель log_ab называется модулем перехода (от системы логарифмов с основанием b к системе с основанием а).

Пример. Имея таблицу десятичных логарифмов, можно составить таблицу логарифмов по основанию 2. Для этого достаточно выполнить  деление   на  lg 2=0,3010   или   умножение   на   Так,

Пояснение. По определению логарифма имеем  Прологарифмируем    это   равенство    по   основанию   10.    Получаем

log₂3 • lg2= lg3, откуда  Таким же образом из тождества  логарифмируя по основанию b, получим формулу (б).

Чтобы не   спутаться в    обозначениях,   полезно   для    проверки применить  следующий   прием:    вместо   выражения log_ab напишем дробь  ^b/_a (разумеется, эти выражения не равны между собой), аналогично поступим с выражениями log_ba, log_aN  и т. д. Тогда вместо, формул (а), (б), (в) получим другие, но тоже верные, формулы. Так, вместо (в) получим                                                                     :