ГЛАВА   4

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА.

Ответы и решения

497.

Первый способ.

Согласно определению логарифма ,поэтому х = 10 • ⁹/₄= 22,5

Отв. х =22,5.

Второй   способ.  

Логарифмируя, будем иметь

Отв. х =22,5.

__________________________________________________

498.

   Как в задаче 497(второй способ), будем иметь

Отв. х =5.

__________________________________________________

499.

Поступая, как в предыдущих задачах, будем иметь

Отв. x =20.

__________________________________________________

500.

Первый  способ.

(ср. с решением задачи 497 по первому способу).

Второй способ.

Обозначим ;   тогда x = y + z

Логарифмируя, находим, что   log₇ y =(1 — log₇  2) log₇ 49, или

откуда у = ⁴⁹/₄ аналогично найдем, что z = ¹/₄. Следовательно , x = ²⁵/₂

Oтв. x = ²⁵/₂

__________________________________________________

501.

  Имеем    log₄    log₃    log₂ x = log₄ l,    откуда     log₃ log₂ x =  l ;  log₂ x=3.

Отв. х = 8.

__________________________________________________

502.

Аналогично решению предыдущей задачи имеем.

далее

Отв. х=1.

__________________________________________________

503.

Выражение в фигурных скобках должно быть положительным  числом, так как отрицательное число не   имеет   (действительного) логарифма при основании 4. Поэтому, переписав данное уравнение в виде

мы    должны    взять   только    положительное   значение √4 ,т. е. 2. Применяя   аналогичные    преобразования   повторно,   получим далее

следовательно, 1+3log₂ х =4,     log₂ х =l.     

Отв. х = 2.

__________________________________________________

504.

Данное уравнение представим в виде log₂ (x+14) (x+2)=6, или   (x+14) (x+2)=2⁶ = 64,   откуда имеем   x²+16x—36=0,  x₁  = 2, x₂ =—18.    Второй    корень   не    годится,    так   как   в   левую   часть входят выражения  log₂ (x+14)   и   log₂ (x+2),   которые   при отрицательном х не имеют действительного значения.

Отв. х = 2.

__________________________________________________

505.

Представим данное уравнение в виде

 log_а[ у(у+ 5) • 0,02]=0; отсюда

у(у+ 5) • 0,02=1 или у²+5у—50 = 0;

получим   два    корня у₁ = 5,  у₂=—10.    Второй    корень не   годится (см. предыдущее решение).

Отв. у = 5.

__________________________________________________

506.

Имеем

lg(35—x³) =3 lg (5—x) или lg(35—x³) = lg ( 5—x)³ следовательно,

35—x³=  ( 5—x)³ или x²—5x+6 = 0.

Отв. x₁=5; x₂ = —3;

__________________________________________________

507.

Преобразуя   выражение    в квадратных    скобках,   получим

Тогда- заданное уравнение примет вид

Применяя в правой части теорему о логарифме произведения (и дроби), получим

1 + lg x = lg(a—b)—lgb.

Заменяя единицу через lg 10, перепишем уравнение в виде  

oтсюда  

Отв. .

__________________________________________________

508.

Данное уравнение можно представить в виде

потенцируя, находим

__________________________________________________

509.

Данное уравнение можно иначе записать так:

так как  log_x x = 1, то после упрощений получим

Решая квадратное уравнение   (с неизвестным  log_x 5),  находим два корня: log_x  5 = 5 и    log_x  5=1.

Отв. x₁  = ⁵√5 ; x₂  = 5.

__________________________________________________

510.

Первый   способ.   Положив log₁₆ x = z,  имеем х =16^z отсюда

log₄ x = z log₄ 16=2z            и               log₂ x = z log₂ 16= 4z.

Данное уравнение примет вид z+2z+4z = 7, т. е. z =1.

Второй   способ.   Приведем все логарифмы к основанию 2.

По формуле (б) предварительные замечания  находим:  ,      аналогично . Получаем уравнение  ¹/₄ log₂ x + ¹/₂ log₂ x+ log₂ x = 7, откуда log₂ x = 4.

Отв. х =16.

__________________________________________________

511.

Решается, как предыдущая.

Отв. х = а.

__________________________________________________

512.

Перепишем данное уравнение в виде

откуда 3х—7 = 3—7х.

Отв. х = 1.

__________________________________________________

513.

 Представим заданное уравнение в виде

7 •3^х+1 — 3^х+4 = 5^х+2 — 5^х+3.

Вынося за скобку 3^х и 5^х,    будем иметь

3^х (7 • 3 —  3⁴) = 5^х (5² — 5³), или (³/₅)^х = ⁵/₃

откуда х= — 1.

Отв  х= — 1

__________________________________________________

514.

Перепишем заданное уравнение в виде

Отсюда имеем

4х — 9 = ⁵/₂ х.

Отв. х = 6.

__________________________________________________

515.

  Заданное уравнение можно записать так:

Следовательно, —x² +2x +2 = —6.

Отв. x₁ = 4; x₂ = —2.

__________________________________________________

516.

 Представим заданное уравнение в виде

Отв. x = 10.

__________________________________________________

517.

 Так как  то   заданное   уравнение можно переписать так:

Следовательно,

2х+3(1— х) = 1.

Отв.  x=2.

__________________________________________________

518.

   Представим заданное уравнение в виде

приравнивая показатели, находим

Введем обозначение √х   = z; тогда будем иметь

2z² — 5z — 3 = 0,   откуда z₁ = 3,   z₂ = —¹/₂.

Но  второй  корень   не  годится,   так как   величина z (он представляет   арифметическое   значение    корня  √х ) должна   быть положительной. Итак, имеем 3 = √х  . Отсюда х = 9.

Отв. х =9

__________________________________________________

519.

Заданное уравнение можно представить в виде

Следовательно,

откуда    имеем 3х —8 √х  —3=0.  Обозначив √х   = z, будем    иметь

3z² — 8z — 3 = 0;    z₁= 3;    z₂ = —¹/₃ , второй корень  z₂ = —¹/₃ не годится (см решение задачи 518). Следовательно, х =9.

Отв. х=9.

__________________________________________________

520.

  Данное уравнение можно записать так:

Следоиательно,

После упрощений получаем х²—2х—15= 0.

Отв. х₁= 5; х₂= —3

__________________________________________________

521.

Пользуясь формулой (а) предварительные замечания , получим

 Решаем относительно  log_ха и получаем

__________________________________________________

522.

 По формуле (б) предварительные замечания найдем

Тогда данное уравнение примет вид log₄ (х+12) =2 log₄ х, откуда х+12= х². Берем только положительный корень х=4; при отрицательном  х выражение log_х2 не имеет действительного  значения.

Отв. х = 4

__________________________________________________

523.

  Данное уравнение запишем так:

Так как  , то получаем уравнение

Решив его относительно log₂ x, найдем

Отв. x₁ = √5; x₂ = ¹/₅

__________________________________________________

524.

  Левая часть уравнения есть сумма   х+l  членов геометрической прогрессии, а потому (в случае a=/=l) имеем

откуда а^{х + 1} =  а¹⁶;    х +1 =16;   х =15. При а =1 общая формула суммы членов геометрической прогрессии неприменима, В этом случае левая часть данного уравнения есть сумма х+1 слагаемых, каждое из которых равно 1, так что уравнение принимает вид  х +1 =16, и мы снова имеем х=15.

Отв. х = 15.

__________________________________________________

525.

  Данное уравнение перепишем в виде 5^2+4+6+...+2x   = 5⁵⁶  ,откуда

2+4+6+...+2x = 56,   или    1+2+3+...+x = 28.

Левая часть уравнения есть сумма членов арифметической прогрессии. Поэтому получаем уравнение

откуда x₁  = 7,    x₂  = —8. Второй    корень не    годится,    так    как по смыслу задачи число х должно быть целым положительным.

Отв. х=7.

__________________________________________________

526.

 Заданное уравнение перепишем в виде

2^2x2^—4—17 • 2^x2^—4+1= 0.

Обозначая 2^x = z, получим

z²— 17z+16=0;    z₁=16;   z₂= 1,

откуда x₁ = 4;  x₂= 0.

Отв. x₁ = 4;  x₂= 0.

__________________________________________________

527.

 Аналогично  предыдущей    задаче,   полагая   4^x =z,   будем иметь 2z²—17z +8 = 0.

Отв. x₁ = ³/₂;  x₂=— ¹/₂;

__________________________________________________

528.

 Полагая , получим уравнение

3z²—10z+3=0.

Отв.x₁  = 2; x₂  = — 2,

__________________________________________________

529.

 Логарифмируя данное уравнение (по основанию 10), получаем

откуда lg x₁ = l ;  lg x₂=— 4.

Oтв. x₁ = 10; x₂=0,0001.

__________________________________________________

530.

 Преобразуем    данное    уравнение так,    чтобы   каждая его  часть   представляла   логарифм    некоторого    выражения. Для этого вместо 1  в   левой части    уравнения   напишем lg 10.   Теперь данное уравнение можно записать в виде

Из равенства логарифмов следует равенство чисел, т. е.

После упрощений получаем уравнение

Так как ,     то введя обозначение  , мы  будем иметь

z²—5z—24=0.

Корни этого   уравнения z₁= 8 и z₂=—3. Взяв  z₁= 8,   получаем уравнение, из    которого  находим   ,    т. е.  х =36.

Второй корень  z=—3   приведет к    уравнению, которое не имеет    решений (никакая   степень положительного   числа    2 не    может быть отрицательным числом).

Отв. х=36.

__________________________________________________

531.

  Последовательно находим   (см.    решение   предыдущей  задачи):

отсюда

          (A)

После упрощения получим

откуда Второе   уравнение   не имеет решений; первое дает √x  = 3; х = 9.

Уравнение  (А)   можно было   бы решить   иначе. Уравнение  (А) можно сократить на ,      и тогда получим отсюда .

Отв. х = 9.

__________________________________________________

532.

 Представим данное уравнение в виде

5^{lg x} + 5^{lg x— 1} = 3^{lg x+ 1} + 3^{lg x— 1}.

Вынося за скобку   5^{lg x} и 3^{lg x},  будем иметь

5^{lg x}(1+5^{— 1})=3^{lg x}(3 + 3^{— 1}),

или

откуда lg х =2.

Oтв. x = 100

__________________________________________________

533.

   Логарифмируя при основании 10, получим

2 1g⁴x — l,5 1g²x =¹/₂.

Это биквадратное уравнение (относительно lg x) имеет два действительных корня:  lg x= 1 и  lg x =—1; следовательно, x₁ = 10, x₂=0,1.

Отв. x₁ = 10, x₂=0,1.

__________________________________________________

534.

 Потенцируя, получим

Отв. x₁ = 36, x₂= 4.

__________________________________________________

535.

 Согласно     определению     логарифма     данное     уравнение равносильно   уравнению ,  откуда    2^2x   — 9•2^x + 8= 0. Решая это уравнение (квадратное относительно 2^x), находим    x₁ = 3, x₂= 0.

Отв.  x₁ = 3, x₂= 0.

__________________________________________________

536.

 Как в задаче 531, получим

2(4^{x— 2}+ 9)=10(2^{x— 2} + 1).

Заметив, что

2^{x— 2}= 2^x•2^{— 2}= ¹/₄ • 2^x,      a     4^{x— 2}= 4^x•4^{— 2}= ¹/₁₆ • 4^x,

получим уравнение

2 ^2х — 20 • 2^х + 64 = 0,

откуда, как в предыдущей задаче, найдем x₁ = 4, x₂= 2.

Отв. x₁ = 4, x₂= 2.

__________________________________________________

537.

 Последний   член удобно перенести в  правую часть.   Затем, как в задаче   531  получим .      Заметив, что  получим уравнение

Полагая , так что получим уравнение

z²—12z+27=0;    корни его z₁ = 9, z₂= 3.

Отв. x₁ = ¹/₄, x₂= ¹/₂.

__________________________________________________

538.

 Потенцируя (ср. решение задачи 531), будем иметь

это уравнение можно представить в виде

 Освобождаясь от знаменателя, получаем

,

откуда х =2

Отв. х=2.

__________________________________________________

539.

 Представим данное уравнение в виде

4 lg2+2 lg (х—3)= lg (7х+ l )+lg (х— 6)+lg 3;

потенцируя, находим:

2²(х—3)²=3 (7х+1) (х—6).

Корни этого квадратного уравнения суть x₁ =9; x₂=—3,6. Второй корень не годится, так как он дает х—3 =—6,6, значит, выражение lg (х—3) не имеет действительного значения [то же можно сказать и о выражениях lg (7х+ l ) и lg (х— 6)].

Отв. х = 9.

__________________________________________________

540.

 Правую часть представим в виде

—log₅ (0,2 —0,2 • 5^{x— 3}) = — log₅  0,2 — log₅  (1 — 5^{x— 3}).

Слагаемое (х—3) представим в виде   log₅ 5^{x— 3}   После переноса членов получим уравнение

log₅120 + log₅5^{x— 3} + log₅ 0,2 = 2log₅(1 — 5^{x— 3}) —  log₅ (1 — 5^{x— 3}), или

120 • 0,2 • 5^{x— 3}   = 1 — 5^{x— 3}.

Отв. х = 1.

__________________________________________________