ГЛАВА   4

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА.

Ответы и решения

541.

Как  видно  из  уравнения, оно  имеет смысл только при а > 0, а =/= 1 и b >0, b  =/= 1. Для решения уравнения воспользуемся формулой перехода к логарифмам С другим основанием:

(cм. формулу (б) предварительные замечания) Здесь с—произвольное основание (с > 0, с  =/= 1). Выбор основания с в данной задаче безразличен, нужно только все логарифмы привести к одному основанию. Можно, например, за общее основание принять а, поскольку а > 0  и  а =/= 1 . Тогда уравнение преобразуется к виду

или после упрощения

Отсюда первое решение:

log_ax = 0,    т. е. х =1.

Второе решение:

__________________________________________________

542.

  Перейдем  к  логарифмам  по  основанию 2; используя формулу (б) предварительные замечания, получаем:

Это уравнение равносильно следующему:

__________________________________________________

543.

Потенцируя по основанию 2, получаем

9^х—1 + 7 = 4 ( 3^х—1+ l ).

Отсюда

(3^х—1)² — 4(3^х—1) + 3 = 0.

Следовательно,

(3^х—1)₁ = 3,   x₁ = 2;      (3^х—1)₂ =1,   x₂=1.

__________________________________________________

544.

Перейдем  в   уравнении   к   логарифмам   по   основанию  3. На основании формулы (б) предварительные замечания, будем иметь:

Отсюда

( 1 — log₃ x)[ l — ( l + log₃ x)²] = 0

и, следовательно,

(log₃ x)₁= l  ,         x₁ = 3;

(log₃ x)₂ = 0,        x ₂=1;

(log₃ x)₃ = —2,      x ₃= ¹/₉

__________________________________________________

545.

  Перейдем    в  уравнении  к   логарифмам   по   основанию   2. На основании формулы  (б) предварительные замечания, будем иметь:

Умножив обе части уравнения на знаменатель, перенесем  все члены в левую часть и разложим ее на множители. В результате получим:

Второй из множителей при х > 1, очевидно, положителен и в нуль не обращается. Приравнивая первый множитель нулю, мы устанавливаем, что исходное уравнение при х > 1 имеет, и притом единственный, корень х = 2.

__________________________________________________

546.

  Перейдем в уравнении к логарифмам по основанию а  (а > 0  и  а =/= 1, в противном случае выражение  не имело бы смысла).

В силу формулы (б) предварительные замечания, получаем:

Отсюда находим: 1) log_a2x = 0, x = ¹/₂ — не удовлетворяет исходному уравнению (логарифм по основанию 1 числа а не существует);

2)  log_a ax = log_a(a² √x ),     х = a² .

Ответ: х = a².

__________________________________________________

547.

Используя равенство , преобразуем исходное уравнение в эквивалентное:

log_b[ x (2 1g a — x)] =2.

Отсюда после потенцирования получаем:

х²—21g a • x + b²=0.

Решив это уравнение, найдем:

x_1,2  = 1g a ± √1g² a — b²

При а > 10^b оба корня оказываются вещественными и положительными и, как нетрудно проверить, удовлетворяют исходному уравнению. При а < 10^b уравнение не имеет корней.

__________________________________________________

548.

Перейдя   в   уравнении   к   логарифмам   по основанию а, мы приведем его к виду

После дальнейших преобразований получаем:

Учитывая, что квадратные корни   понимаются   здесь   в   арифметическом смысле, можно данное уравнение записать так:

| log_a x + l | + | log_a x — l | = 2a √log_a x                   (1)

Рассмотрим теперь два случая:

1)  Предположим, что

log_a x  > l.                                           (2)

Тогда уравнение (1) принимает вид

Легко видеть, что условие (2) удовлетворяется при этом лишь в случае а > 1.

2)  Предположим, что

0< log_a x < 1.                             (3)

Тогда уравнение (1) принимает вид

Заметим, что условие (3) выполняется лишь тогда, когда a > l. Так как заведомо a =/= 1 (иначе бы исходное уравнение потеряло смысл), то и второй корень х₂ существует лишь при условии a > 1. Мы исчерпали все возможности, так как значения х, при которых     log_a x < 0, очевидно, не могут удовлетворить уравнению (1). Таким  образом,   при      a > 1   рассматриваемое  уравнение  имеет  два корня:

 При 0 < a < 1 уравнение корней не имеет.

__________________________________________________

549.

Имеем

lg (√x+1  + 1) = lg (x —40).

Полагая   √x+1   = t , получаем после потенцирования уравнение

t² — t —42 = 0.

Его корни: t₁ =7 и t₂ = —6. Так как t = √x+1  > 0, то t₂  отбрасываем. Корню t₁  соответствует значение x = 48. Проверкой убеждаемся, что оно удовлетворяет исходному уравнению. Таким образом, уравнение имеет единственный   корень   x = 48.

__________________________________________________

550.

  Переходя в уравнении к логарифмам по основанию а, получаем:

Отсюда после упрощений и потенцирования приходим к квадратному уравнению

(x + q)(p — x)= ¹/₄(p — q)²

Корни этого уравнения имеют вид

x₁ = ¹/₂ (p — q) + √pq ,      x₂= ¹/₂ (p — q) — √pq .

Легко проверить, что оба корня удовлетворяют неравенству    p >  x_1,2 > —q, а следовательно, и исходному уравнению.

551.

   После  несложных   преобразований,   использующих формулу перехода от одной  системы   логарифмов к  другой,   приводим  данное уравнение к виду

Положив , получим после упрощений и возведения в квадрат уравнение

t² + t — 2 = 0.

Его   корни:    t₁ = —2 и t₂ = 1.   Первому   корню   отвечает   значение x =¹/₅   которое,   как   легко  проверить,   удовлетворяет  и исходному уравнению. Второму корню  отвечает   значение  x =√5, которое исходному уравнению не удовлетворяет.

__________________________________________________

552.

Пользуясь тем, что 0,4 = ²/₅   , а 6,25 = ( ⁵/₂ ) ², приведем  исходное уравнение к виду

Приравнивая показатели, получаем уравнение

lg² x — 6 lg x + 5 = 0,

решив которое, найдем!

(lg x)₁ = l ,   x₁ =10 ;          (lg x)₂ = 5,   x₂ = 10⁵.

__________________________________________________

553.

Перейдя  в уравнении  и  логарифмам  по основанию 10, получим:

Отсюда после простых преобразований придем к уравнению ,    

После потенцирования будем иметь:

x² — 4x + 1g n = 0,

откуда

x_1,2 = 2 ± √4 —1g n.

Несложное исследование приводит теперь к следующим результатам.

а)  Если 0 < n  < 10⁴  и  n  =/= 10³, то уравнение имеет два различных корня:

x₁ = 2 + √4 —1g n   и    x₂ = 2 — √4 —1g n.

б)  Если  n = 10³, то имеется лишь один корень x = 3   (x = 1 приходится отбросить); при   n = 10⁴ получаем также один  корень  x = 2.

в)  Если, наконец,  n  > 10⁴, то корней нет.

__________________________________________________

554.

Перейдем в уравнении к логарифмам по основанию 2. В результате получим уравнение

Так как величина, стоящая слева, строго положительна (sin x=/=1, иначе бы символ   log_{sin x}2 потерял смысл), то log₂ a < 0 и, следовательно, при а > 1 уравнение вообще не имеет решений. Считая 0 < а< 1, получаем:

Знак плюс перед радикалом отбрасываем, так как log₂ sin x < 0.

Тогда

Легко видеть, что вся эта   бесконечная   серия значений х удовлетворяет исходному уравнению.

__________________________________________________

555.

Разделив обе части уравнения на 4^х, найдем:

и, следовательно,                        x = ³/₂

__________________________________________________