ГЛАВА 6

ПРОГРЕССИИ

Геометрическая прогрессия

Ответы и решения

649.  Среднее геометрическое    двух    (положительных) чисел а и b есть положительное число х,   определяемое из пропорции а : х = х : b. Вставить  три средних геометрических между числами 1 и 256 — значит найти   три числа u₂ , u₃ , u₄,   удовлетворяющих условиям:

1 : u₂ = u₂ : u₃ = u₃ : u₄ = u₄ : 256.

Значит, числа u₁= 1, u₂, u₃, u₄ и  u₅ = 256  образуют   геометрическую прогрессию.    По   формуле n -го   члена    прогрессии    256 = 1•q⁴. Это уравнение  имеет  один   положительный   корень q⁴ = √256 = 4    (— 4; + 4i ; —4i  не годятся). Теперь по той же формуле находим: u₂  = 4; u₃  =16; u₄ = 64.

Отв. 4; 16; 64.

__________________________________________________

650.  По   условию   u₁+ u₂ =52 и u₂² = 100,   или    u₂ = ±10.   По свойству    геометрической   прогрессии   u₁u₃ = u₂²= 100; следовательно,  u₁  и u₃ — корни  уравнения           u²—52u +100 = 0.    Отсюда    найдем:    u₁= 50   и   u₃ = 2  или u₁ = 2 и u₃ = 50.

Отв. Числа будут:  1) 50; 10; 2 или 2) 50; —10; 2, или те  же числа в обратном порядке.

__________________________________________________

651. По    условию:  1)    u₃ — u₁= 9   и   2)    u₅— u₃=36.    

Применяя формулу u_n = u₁q^{n — 1}, запишем эти  уравнения  в  виде:  

1)   u₁q² —u₁=   9;    2) u₁q⁴ — u₁q² =36.

Деля уравнение 2) на 1), получим q² = 4; отсюда q = ±2;  из 1) находим: u₁= 3.

Отв. 1)  -::-  3; 6; 12; 24; 48;   ...  2) -::-  3; —6; 12; —24; 48; ...

__________________________________________________

652. По условию u₁ + u₄= 27 и   u₂u₃ = 72; но так  как    или u₂u₃ = u₁u₄, то имеем систему двух уравнений:

1) u₁ + u₄= 27   и   2) u₁u₄ = 72,

откуда u₁ = 3 и  u₄ = 24   или u₁ =24   и u₄=3. Из   формулы u₄ =u₁q³ находим соответственно q = 2 или   q = ¹/₂.

Отв. 3; 6; 12; 24 или в обратном порядке: 24;  12; 6; 3.

__________________________________________________

653.  По   условию  1) u₁ + u₄ =35 и    2) u₂ + u₃ = 30. Так   же, как в задаче 651, для определения q получаем уравнение

или по сокращении

Находим:

1) q = ³/₂;    u₁ = 8;    2) q = ²/₃;   u₁ = 27.

Получаем две прогрессии:

1)  -::-   8;   12;   18;   27;   40,5;   ....

2)   -::-  27;   18;   12;   8;   5 ¹/₃;    ...  ,

у которых   первые   четыре члена   одинаковы, но идут    в обратном порядке.

Отв. 8; 12; 18; 27.

__________________________________________________

654. Во второй дайной сумме заменяем каждый член через предыдущий, умноженный на q (согласно определению геометрической прогрессии); получим

u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q = 62

или

q(u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅) = 62.

По условию выражение  в скобках  равно 31;  следовательно, q = 2. Пользуясь формулой откуда   u₁= 1.

Отв. -::-  1; 2; 4; 8; ...

__________________________________________________

655.По условию имеем:

1) u₂ + u₃ + u₄ + u₅ =19,5,   2) u₁ + u₂ + u₃ + u₄ = 13.

Задача аналогична предыдущей.

Отв. u₁= l,6  и  u₅ = 8,l.

__________________________________________________

656.   Члены    u₄  и u₆ — равноотстоящие    от    начала    и    конца;
поэтому u₄u₆ =u₁u₉. Так как по условию u₁u₉ = 2304, тo u₄u₆ =2304; кроме   того, по    условию u₄ + u₆ =120.    Из этих    двух    уравнений находим  

u'₄ =24;  u'₆=96;      u''₄=96  и  u''₆= 24.  

Возьмем  первое решение. По формуле u_n = u₁q^{n — 1} имеем:

1) 24 = u₁q³ ;       2) 96 = u₁q⁵ .

Разделив 2) на 1), находим q² = 4, откуда q = 2 или q = — 2. В первом случае уравнение 1) дает u₁ =3, во втором случае u₁ = —3.

Девять членов прогрессии будут в первом случае:

3; 6; 12; 24; 48; 96; 192; 384; 768;

во втором:

—3; 6; —12; 24; —48; 96; —192, 384; —768.

Взяв решение u''₄= 96  ;  u''₆= 24., найдем   те же    два  ряда   членов, но в обратном порядке.

Отв. 1) u₁ =3; q = 2;

2) u₁= —3; q =—2;

3)  u₁  = 768; q = ¹/₂;

4)  u₁ = —768; q = — ¹/₂.

__________________________________________________

657.По условию 1) u₁ + u₂ + u₃ =126  и  2) u₁u₂u₃= 13 824.

Так как u₂  есть   средняя   пропорциональная   между   u₁    и   u₃ ,   то u₁u₃ = u₂²; поэтому вместо 2) можно написать u₂³= 13 824, откуда u₂ = ³√13 824  . В данном случае, разлагая  13 824 на  множители, легко найти, что u₂ = 24.   Подставляя   в 1)   и  2),   получаем   систему   уравнений:   

u₁ + u₃  =102;        u₁u₃ = 576.

Решения ее: u₁= 6; u₃ = 96    и    u₁= 96; u₃ = 6.

Получаем две прогрессии: -::-  6; 24; 96 и  -::- 96; 24; 6, отличающиеся, только порядком членов.

Отв. 6; 24; 96.

__________________________________________________

658. Из условия следует, что сумма членов, стоящих на четных местах, в два   раза больше   суммы членов,   стоящих   на нечетных местах, т. е.

Заменяя члены u₂; u₄; u₆; ...; u_2n выражениями   u₂ =u₁q; u₄ = u₃q; ... ..,  u_2n = u_2n—1q, находим q=2.

Отв. Знаменатель прогрессии равен 2.

__________________________________________________