ГЛАВА 6

ПРОГРЕССИИ

Бесконечно убывающая  геометрическая  прогрессия.

Ответы и решения

659.Для доказательства  того, что данные числа образуют  геометрическую убывающую прогрессию, надо проверить, будут ли равны отношения        и будут ли они меньше 1. Имеем:

Так как  то данные числа образуют геометрическую убывающую прогрессию. По формуле ее суммы находим

Отв.  S = 4 + 3√2  .

__________________________________________________

660. Как в предыдущей задаче, находим, что выражение в квадратных скобках равноВсе выражение тогда примет вид

Отв. — 6(√3 + 1)

 

__________________________________________________

661. По условию

u1 = 4 и u3— u5 = 32/81

По формуле un = u1qn — 1    из второго равенства получаем

u1q2— u1q4 = 32/81

Учитывая, что u1 = 4, получаем биквадратное уравнение 81q4—81q2 + 8 = 0; его корни: Отрицательные корни не годятся, так как по условию все члены положительны, положительные корни годятся оба, так как они меньше единицы. Получим две бесконечно убывающие прогрессии.

Отв. S' = 12 (3 + 2√2 )  и   S" = 6.

__________________________________________________

662. По условию

u1 + u4=54   и   u2+u3=36.

С помощью формулы un = u1qn — 1  получим систему двух уравнений:

Разделив (1) на (2), получим уравнение

из которого найдем q1  = 2 и q2 = 1/2. Годится q2 = 1/2 < 1. Находим

из (2)   u1= 48.

Отв. S=96.

__________________________________________________

663.  Первый   способ.  По условию

1)   u1  + u3  + u5 + ...= 36,

2) u2  + u4 + u6+...= 12.

Члены первой и второй сумм составляют также бесконечно убывающие прогрессии, знаменатель которых одинаков и равен q2, первый член в первой прогрессии равен u1, а во второй u2, т. е. u1q. Выражая суммы первой и второй прогрессий по формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии (где вместо q берем q2, а вместо u1 во втором случае берем u1q), получим:

Деля 2) на 1)-, получим: q = 1/3, а из первого уравнения находим u1 =32.

Второй способ. Так как   u2 =  u1q,   u4 = u3q   и т. д., то вместо u2  + u4 + u6+...= 12 получим u1q +u3q+u5q+... = 12, или

q(u1+u3+u5+...) = 12.                                 (1)

Разделив на   (1)   условие  u1  + u3  + u5 + ...= 36,    найдем q = 1/3

С другой стороны, сумма всех членов прогрессии есть 12+36=48 По формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии имеем ,   откуда u1 =32.

Отв. -::-   32; 32/3; 32/9; ...

__________________________________________________

664. По условию

u1  + u2  + u3 + ... = 56;   u12  + u22  + u32 + ... =  448.

Слагаемые второй суммы образуют также геометрическую бесконечно убывающую прогрессию с первым членом u12 и знаменателем q2. Выражая суммы этих прогрессий, получим

Деля (2) на (1), находим

u1= 8( l + q ).                                   .    (3)

Исключая u1 из уравнений (1) и (3), получаем

8 (1+q) = 56(1—q),

откуда     q = 3/4      Из (1) находим u1= 14.

Отв. u1= 14, q = 3/4

__________________________________________________

665.  Задача решается аналогично предыдущей. Для определении  u1  и q   получим систему уравнений:

После   исключения  из этих    уравнений u1  получим   уравнение

3q2—10q +3=0. Из двух корней его годится только q = 1/3   (другой q = 3 больше единицы). Из уравнения (1) находим u1= 2.

Отв.   -::-  2; 2/3 ; 2/9 ; ...

__________________________________________________

666.  Задача решается аналогично задачам 664, 665. Для определения u1  и q получим систему уравнений:

Уравнение (2)   равносильно уравнению   u1= 8( l + q )   

 Исключая u1  из системы u1q = 6, u1= 8( l + q ), получаем уравнение 4q2+4q—3 = 0.

Из двух его корней q1= — 3/2, q2=  1/2    годится только второй, так как абсолютная величина первого больше единицы. Из (1) находим u1= 12.

Отв. -::- 12;  6;  3; ...

__________________________________________________
Используются технологии uCoz