ГЛАВА 6
ПРОГРЕССИИ
Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.
Ответы и решения
667. Из условия находим:
d =16—14 = 2; a1 = 14 — d =12;
a1 + a2+ a3 = 12+14+16=42.
Следовательно, в искомой геометрической прогрессии
1) q = 2 и 2) u1 + u1q + u1q2 = 42, откуда u1 = 6.
Отв. -::- 6; 12; 24; ...
__________________________________________________
668. Первые три члена геометрической прогрессии суть 3; 3q; 3q2 .
По условию a1 =3; a2=3q + 6; так как a3— a2= a2 — a1, то a3 = 2a2— a1 = 6q + 9. По условию этот третий член равен третьему члену геометрической прогрессии, т. е. 3q2. Получаем уравнение
6q + 9 =3q2; корни его q = 3 и q = —1. В первом случае геометрическая прогрессия будет -::- 3; 9; 27; ..., а арифметическая -:- 3; 15; 27; ... Во втором случае получаем два ряда чисел: 3; —3; 3; —3; ... и 3; 3; 3; ..., которые можно рассматривать соответственно как геометрическую прогрессию со знаменателем q = —1 и как арифметическую прогрессию с разностью d = 0.
Отв 1) -:- 3; 15; 27; ...; -::- 3; 9; 27; ...,
2) -:- 3; 3; 3; ...; -::- 3; —3; 3; —3; ...
__________________________________________________
669. Задача сходна с предыдущей. По условию a1 = u1=5; следовательно, u3 = 5q2; u5 = 5q4. Далее по условию a4 = u3=5q2; a16 =
u5=5q4.
Значит: 1) 5q2 = 5+3d, 2) 5q4 = 5+15d. Исключая d, получаем уравнение q4—5q2+ 4 = 0, откуда q2 = 4 или q2 = l. Так как a4 =5q2, то четвертый член арифметической прогрессии в первом случае равен 20, а во втором 5.
Замечание. В каждом из этих двух случаев получаем две различные геометрические прогрессии: арифметические же прогрессии одинаковые. Именно, в первом случае имеем геометрическую прогрессию -::- 5; 10; 20; ... и -::- 5; —10; 20, ..., арифметическая же прогрессия (разность )
будет -:- 5; 10; 15; 20;...
Во втором случае получаем геометрическую прогрессию -::- 5; 5; 5; .... и -::- 5; —5; 5; —5; ...; арифметическая прогрессия состоит из равных членов -:- 5; 5; 5;...
Отв. 20 или 5.
__________________________________________________
670. По условию a1 = u1 ; a2 = u1q; a7 = u1q2.
Отсюда находим: 1) d = a2—a1= u1(q— 1) и 2) 6d = a7—a1 = u1(q2— 1). Исключив d, получим u1(q2— 1) = 6u1(q— 1). Так как
u1 =/= 0, то (q2— 1) = 6(q— 1),. откуда q = 5 или q = l. Из условия u1 + u1q + u1q2= 93 находим соответственно u1 = 3 и u1 = 31.
Отв. 1) 3; 15; 75. 2) 31; 31; 31.
__________________________________________________
671. По формуле (2) находим a7 =729; следовательно,. в геометрической прогрессии имеем: u1 = a1= 1; u7 = a7 =729. По условию требуется найти средний член, который будет четвертым с начала и с конца и, следовательно,
первый член u1, искомый средний u4 и последний u7 образуют непрерывную пропорцию u1 : u4 = u4 : u7
Отсюда u42 =u1u7 и u42 = 729.
Отв. u4 = +27.
__________________________________________________
672. По условию a1 + a2+ a3 = 15. Так как a2— a1 = a3—a2, то 2a2 = a1+ a3 и из условия имеем 2a2+a2=15.
Отсюда a2 = 5.
Тогда a1= 5—d; a2=5; a3 = 5+d и по условию
u1= a1+ l = 6 — d; u2 = a2+ 4 = 9; u3 = a3+19 = 24+d.
Так как a22 = a1a3, то имеем:
92= (6 — d)(24 + d),
откуда находим d = 3, a1 = 2 или d = —21, a1 = 26.
Отв. 1) 2; 5; 8. 2) 26; 5; —16.
__________________________________________________
673. По условию a1= u1+1; a2= u2+6; a3= u3+3; отсюда
a1 + a2+ a3= (u1 + u2+ u3) + (1+6+3) или на основании условия, что u1 + u2+ u3=26, получим
a1 + a2+ a3 = 26+10 = 36.
Дальше задача решается аналогично предыдущей.
Отв. 2; 6; 18 или 18; 6; 2.
__________________________________________________
674. Положим, что искомые числа будут u1, u1q; u1q2; тогда по условию числа u1, u1q и (u1q2 — 64) составляют арифметическую прогрессию, и следовательно,
u1q—u1 = (u1q2—64)— u1q. (1)
Кроме того, по условию числа u1; (u1q—8); (u1q2—64) составляют геометрическую прогрессию, и следовательно,
(u1q —8) : u1 = (u1q2—64) : (u1q —8). (2)
После упрощений система уравнений (1) и (2) примет вид
u1(q2—2q +l )= 64, u1(q — 4) = 4
откуда находим q=13 и u1= 4/9 или q = 5 и u1= 4.
Отв. 1) 4/9; 52/9; 676/9 2) 4; 20; 100.
__________________________________________________
675. Положим, что искомые числа будут u1, u2 и u3. Если эти числа суть члены геометрической прогрессии, то
u22 = u1u3, (1)
а если эти числа суть члены арифметической прогрессии, то
2u2= u1 + u3. (2)'
Исключив из (1) и (2) u2, найдем (u1 + u3)2 = 4u1u3 или (u1 + u3)2 = 0, откуда u1= u3, а из (2) находим u2 = u1. Следовательно, u1 = u2= u3
Отв. Возможно, если три числа равны между собой.
__________________________________________________
|