ГЛАВА 6

ПРОГРЕССИИ

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Ответы и решения

667.  Из условия находим:

d =16—14 = 2;   a1 = 14 — d =12;

a1 + a2+ a3 = 12+14+16=42.

Следовательно, в   искомой    геометрической    прогрессии  

1)    q = 2 и  2) u1  + u1q + u1q2 = 42, откуда u1 = 6.

Отв. -::- 6; 12; 24; ...

__________________________________________________

668.  Первые три члена геометрической прогрессии суть 3;   3q;   3q2 .

По условию a1 =3;  a2=3q + 6; так как a3a2= a2 a1, то a3 = 2a2a1 = 6q + 9. По условию этот третий член равен третьему члену геометрической прогрессии, т. е. 3q2. Получаем уравнение 6q + 9 =3q2; корни его q  = 3 и q = —1. В первом случае геометрическая прогрессия будет -::-  3; 9; 27; ..., а арифметическая -:- 3; 15; 27; ... Во втором случае получаем два ряда чисел: 3; —3; 3; —3; ... и 3; 3; 3; ..., которые можно рассматривать соответственно как геометрическую прогрессию со знаменателем q = —1 и как арифметическую прогрессию с разностью d = 0.

Отв   1)  -:- 3; 15; 27; ...; -::-  3; 9; 27; ...,

2)   -:- 3; 3; 3; ...; -::-  3; —3; 3; —3; ...

__________________________________________________

669.   Задача сходна с предыдущей. По условию a1 = u1=5; следовательно, u3 = 5q2; u5 = 5q4. Далее по условию    a4 = u3=5q2;    a16 = u5=5q4.

Значит: 1) 5q2 = 5+3d, 2) 5q4 = 5+15d. Исключая d, получаем уравнение q4—5q2+ 4 = 0, откуда q2 = 4 или q2 = l. Так как a4 =5q2, то четвертый член арифметической прогрессии в первом случае равен 20, а во втором 5.

Замечание. В каждом из этих двух случаев получаем две различные геометрические прогрессии: арифметические же прогрессии одинаковые. Именно, в первом случае имеем геометрическую прогрессию  -::- 5;   10;   20;   ...   и    -::-  5;   —10;   20,   ...,   арифметическая  же прогрессия   (разность )   будет -:-  5; 10; 15; 20;...

Во втором случае получаем геометрическую прогрессию -::- 5; 5; 5; .... и -::- 5; —5; 5; —5; ...; арифметическая прогрессия состоит из равных членов -:- 5; 5; 5;...

Отв. 20 или 5.

__________________________________________________

670.  По условию a1 = u1 ;  a2 = u1q;    a7 = u1q2.

Отсюда находим: 1) d = a2a1= u1(q— 1)   и    2) 6d = a7a1 = u1(q2— 1). Исключив d, получим u1(q2— 1) = 6u1(q— 1). Так как u1 =/= 0, то (q2— 1) = 6(q— 1),. откуда q = 5 или  q = l. Из условия u1 + u1q + u1q2= 93  находим соответственно u1 = 3 и u1 = 31.

Отв. 1) 3; 15; 75. 2) 31; 31; 31.

__________________________________________________

671.  По формуле (2)  находим a7 =729; следовательно,. в геометрической прогрессии имеем:    u1 = a1= 1;    u7 = a7 =729.   По  условию требуется найти средний член, который будет четвертым с начала и с конца и, следовательно, первый член u1, искомый средний u4 и последний u7 образуют непрерывную пропорцию u1 : u4 = u4 : u7  

Отсюда u42 =u1u7 и   u42 = 729.

Отв. u4 = +27.

__________________________________________________

672.  По    условию  a1 + a2+ a3 = 15.    Так  как    a2a1a3a2, то 2a2 = a1+ a3 и из  условия имеем  2a2+a2=15.   Отсюда a2 = 5.

Тогда    a1= 5—d;     a2=5;     a3 = 5+d   и по  условию     

u1= a1+ l  = 6 — d;     u2 = a2+ 4 = 9;      u3 = a3+19 = 24+d.

Так как    a22 = a1a3, то имеем:

92= (6 — d)(24 + d),

откуда находим d = 3, a1 = 2 или d = —21, a1 = 26.

Отв.  1)  2; 5; 8.    2)  26; 5; —16.

__________________________________________________

673.  По    условию    a1= u1+1;     a2= u2+6;    a3= u3+3;    отсюда

a1 + a2+ a3= (u1 + u2+ u3) + (1+6+3) или на основании условия, что u1 + u2+ u3=26, получим

a1 + a2+ a3 = 26+10 = 36.

Дальше задача решается аналогично предыдущей.

Отв. 2; 6; 18 или 18; 6; 2.

__________________________________________________

674.  Положим, что искомые числа будут u1, u1q; u1q2; тогда по условию   числа   u1,  u1q  и   (u1q2 — 64)   составляют   арифметическую прогрессию, и следовательно,

u1qu1 = (u1q2—64)— u1q.                                (1)

Кроме того, по условию числа u1;  (u1q—8);  (u1q2—64)  составляют геометрическую прогрессию, и следовательно,

(u1q —8) : u1 = (u1q2—64) : (u1q —8).                        (2)

После упрощений система уравнений  (1)  и  (2)  примет вид

u1(q2—2q +l )= 64,      u1(q — 4) = 4

откуда находим q=13 и u1= 4/9  или q = 5 и u1= 4.

Отв. 1)  4/9;  52/9;  676/9       2) 4;   20;  100.

__________________________________________________

675. Положим, что   искомые числа   будут u1,   u2 и u3. Если эти числа суть члены геометрической прогрессии, то

u22 = u1u3,                                               (1)

а если эти числа суть члены арифметической прогрессии, то

2u2= u1 + u3.                                            (2)'

Исключив из  (1) и  (2)  u2, найдем  (u1 + u3)2 = 4u1u3 или (u1 + u3)2 = 0, откуда u1= u3, а из  (2)  находим u2 = u1. Следовательно, u1 = u2= u3

Отв. Возможно, если три числа равны между собой.

__________________________________________________

Используются технологии uCoz