ГЛАВА 7

СОЕДИНЕНИЯ   И  БИНОМ   НЬЮТОНА

Обозначения:

Аnm — число размещений из т элементов по п,

Рп — число перестановок из п элементов,

C nm — число сочетаний из т элементов по п,

Tk+1 = C kmak хm — k  есть   (k+1)-й    член    разложения   бинома (х +а)т.

Ответы и решения

676.

По условию

откуда   (п + 1) (п + 2) = 30.  Корни  этого  уравнения  n1 = 4;   n2 =—7 второй корень не годится.

Отв. п = 4.

__________________________________________________

677.

По условию 5C 3n = C 4n+2,   или

Отв. n1 = 14; n2 = 3.

__________________________________________________

678.

Искомый член

__________________________________________________

679.

Имеем;

Буква a здесь содержится в степени  По    условию

Отв. Седьмой член.

__________________________________________________

680.

Имеем.

По условию

Отв. Десятый член.

__________________________________________________

681.

После упрощения получаем:  Имеем!

По условию  

Отв. T6=210.

__________________________________________________

682.

Пусть х есть   показатель  степени   первого   бинома. Тогда сумма биномиальных коэффициентов есть 2х. Сумма биномиальных коэффициентов у второго бинома есть 2х+3. Получаем уравнение

2х+ 2х+3= 144;   2х(1 + 8)= 144:   2х = 24;   x =4.

Отв. 4 и 7.

 

__________________________________________________

683.

Имеем     тогда

__________________________________________________

684.

По условию C 3m = C 12m ,следовательно, т =15. Тогда имеем

По условию 30—3n = 0; п = 10.

Отв.T11=3003 а10.

__________________________________________________

685.

По   условию , т. е. m2—5m—50 = 0, откуда m = 10 (корень m =—5 не годится). Средний член

Отв. Средний (шестой) член равен —252

__________________________________________________

686.

По    условию   Дальше  решается,

как задача 685.

Отв. Искомый член (седьмой) T7 = 84.

__________________________________________________

687.

По условию    2т = 128, откуда т =7. Имеем

По условию   

Отв. Искомый член (четвертый) T4 = 35x5.

 

__________________________________________________

688.

Имеем:Множимое 1/i равно     

Множитель (l + i)5 согласно формуле бинома Ньютона равен l + 5i +10i2 + 10i3 + 5i4 + i5. Следовательно,

u6 = —i —5i2— 10i3— 10i4—5i5i6.

Теперь заменяем степени мнимой единицы их выражениями:

i2 = —1;    i3 = i2i;    i4=i3i = —ii = + l; ,     i5 = i4i = i;  i6 = —1.

Замечание. В данном примере, где основанием степени является 1+ i(или, вообще, когда основанием является двучлен вида a ± ai), возведение в степень можно выполнить проще. Именно, возводим 1+ i в квадрат. Получим ( l + i )2 = 2i, отсюда

(1+ i )5= ( l + i )4( l + i ) = (2i)2( l + i ) = —4( l + i )

Отв. u6 = —4 + 4i .

__________________________________________________

689.

Имеем . Так    как 1/i = — i, то u7 = i (1 — i)6.

Дальше можно решать, как предыдущую задачу. Можно найти модуль и аргумент произведения шести сомножителей, равных 1 — i каждый. Модуль величины 1 — i есть√2; аргумент равен —45°. Значит, модуль произведения равен (√2)6=8, а аргумент 6(—45°)=—270°. Следовательно,

(1 — i )  = 8[cos(—270°) + i sin(—270°)] =8 i.

Отв. u7 = — 8.

__________________________________________________

690.

По условию числа C 1n;  C2n; C3n   составляют арифметическую прогрессию. Значит,    C 1n + C3n = 2C2n, т. е.

Так как n =/= 0, то обе части равенства можно разделить на п.

Получим уравнение n2—9n+14 = 0. Из его корней n1=7 и n2 = 2 второй не годится, так как при n = 2 разложение бинома имеет только три члена, а по условию имеется четвертый член.

Отв. n = 7

__________________________________________________

691.

  Решается, как предыдущая    задача.   После сокращения на

(это число не равно нулю, так как по условию n > 6) получим n2—21n+98 = 0.

Отв. n = 14 или n = 7.

__________________________________________________

692.

 Первое слагаемое в скобках запишем в виде  второе слагаемое в виде . Четвертый член разложения равен По условию

Следовательно,

Отв. x = 2 или x =—5.

__________________________________________________

693.

Представим данное выражение в виде  

По условию

Отв. х = 2.

__________________________________________________

694.

Седьмой член T7  разложения бинома   равен

а седьмой член от конца

Отв.  x =9.

__________________________________________________

695.

По условию C25 x3 (xlg x)2 = 106, т. е. 10x3+2lg x = 106 или x3+2lg x =105 . Логарифмируя это равенство, найдем (3+2 lg x) lg x =5. Решив последнее уравнение, получим (lg x1) = l и  (lg x2)=— 5/2,

Отв.  

__________________________________________________

696.

По условию

Дeля обе части этого уравнения на 20 и затем логарифмируя, получим после упрощений

( lg x)2 + 3lg x — 4 = 0.

Отсюда (lg x1)  = l ,  (lg x2) =— 4.

Отв. x1 = 10; x2 = 0,0001.

__________________________________________________

697.

Решается как предыдущая. Получим уравнение x lg x— 2 =1000. Логарифмируя полученное равенство, найдем (lg x1) =3 и  (lg x2) = — l.

Отв. x1  = 1000; x2 = 0,l.

__________________________________________________

698.

Решается как две предыдущие.

Отв.

__________________________________________________

699.

 

 

__________________________________________________

700.

__________________________________________________

701.

По условию

По условию показатель    вдвое больше показателя   ,

т. е,,  откуда  k=1. Тогда  равенство   (а)   после упрощений примет вид:

__________________________________________________

702.

 По условию 5C 1m= C 3m,    следовательно, имеем уравнение

Так как т=/=0, то обе части уравнения можно разделить на т. Получим т1= 7 и т2=—4. Годится только т1= 7 , так как m должно быть целым положительным.

По условию T4 = 7•20; значит,

Отв. х = 4.

__________________________________________________

703.

Из условия имеем    

Из двух корней т1=8 и т2=—5 годится только первый, так как предполагается, что показатель бинома—целое положительное число.

Перепишем бином в виде    .       По условию

T4 —T6  = 56

или

После упрощений получаем .   Положив 2х = у, получим  уравнение    у2—у—2 = 0,    откуда    y1 = 2    и  y2 = — 1.    Так как   2х = у не может быть отрицательным числом, то годится только   y1 = 2   и, следовательно, 2х = 2, т. е.   х = 1.

Отв. х = 1.

__________________________________________________

704.

Так пак биномиальные коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца, равны, то вместо коэффициентов трех последних членов можно взять коэффициенты трех первых членов, т. е. ,  откуда т = 6 (см.   предыдущую  задачу).

Следовательно, бином будет  По условию

T3 + T5= 135

или

После упрощений получим

Как в предыдущей задаче, найдем: 1)    2х = 4   и   2) 2х = 1/2.

Отв.    x1  =2;     x2 = — 1.

__________________________________________________

705.

 Числа a1, a3, a5, являющиеся соответственно первым, третьим и пятым членами арифметической прогрессии, сами образуют арифметическую прогрессию, так что 2a3 = a1+ a5. Так как по условию   a1 = C 1m  ; a3 = C2m ;  a5 = C3m ,   то

Сократив на т  (т =/= 0), найдем уравнение т2 — 9т + 14 = 0, корни которого т1 = 7,   т2 =2. Так как по условию в разложении бинома имеется не меньше шести  членов, то   т > 5, значит,   годится  только  т1 = 7. Бином будет

По условию

T6 =21

или

Дальше решается, как задача 703.

Отв.    x1  =2;     x2 = 0

__________________________________________________

706.

По условию числа 14/9 C2m, C3m и C4m   образуют  геометрическую прогрессию; следовательно,

14/9 C2mC4m =  (C3m)2

Обе части равенства можно разделить на т2(т—1)2(т—2), так как ни т, ни т—1, ни    т—2 не равняются нулю (ибо из условия следует, что т > 3 ); получим т = 9. По условию T4 =16,8 или

Отсюда получим уравнение

1/2 lg (x — l) — lg5 — lg(6 — √8x ) = — 1.

После потенцирования имеем

10√ x —1   = 5(6 — √8x)

Отсюда x1 = 50 и x2 = 2. Первый корень не годится, так как при x = 50 число  6 — √8x отрицательно и,   значит,    не имеет логарифма.

Отв.    x  =2

__________________________________________________

707.

По условию

отсюда   . После  упрощений  найдем  уравнение т2  — 3т  — 18 = 0, корни которого    m1= 6 и   m2=—3.    Следовательно, показатель бинома  т = 6.

Из условия     9T3 —T5 =240    получим уравнение

Отв.    x  =2

__________________________________________________

Используются технологии uCoz