ГЛАВА 7
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
Обозначения:
Аnm — число размещений из т элементов по п,
Рп — число перестановок из п элементов,
C nm — число сочетаний из т элементов по п,
Tk+1 = C kmak хm — k есть (k+1)-й член разложения бинома (х +а)т.
Ответы и решения
676.
По условию
откуда (п + 1) (п + 2) = 30. Корни этого уравнения n1 = 4; n2 =—7 второй корень не годится.
Отв. п = 4.
__________________________________________________
677.
По условию 5C 3n = C 4n+2, или
Отв. n1 = 14; n2 = 3.
__________________________________________________
678.
Искомый член
__________________________________________________
679.
Имеем;
Буква a здесь содержится в степени По условию
Отв. Седьмой член.
__________________________________________________
680.
Имеем.
По условию
Отв. Десятый член.
__________________________________________________
681.
После упрощения получаем: Имеем!
По условию
Отв. T6=210.
__________________________________________________
682.
Пусть х есть показатель степени первого бинома. Тогда сумма биномиальных коэффициентов есть 2х. Сумма биномиальных коэффициентов у второго бинома есть 2х+3. Получаем уравнение
2х+ 2х+3= 144; 2х(1 + 8)= 144: 2х = 24; x =4.
Отв. 4 и 7.
__________________________________________________
683.
Имеем тогда
__________________________________________________
684.
По условию C 3m = C 12m ,следовательно, т =15. Тогда имеем
По условию 30—3n = 0; п = 10.
Отв.T11=3003 а10.
__________________________________________________
685.
По условию , т. е. m2—5m—50 = 0, откуда m = 10 (корень m =—5 не годится). Средний член
Отв. Средний (шестой) член равен —252
__________________________________________________
686.
По условию Дальше решается,
как задача 685.
Отв. Искомый член (седьмой) T7 = 84.
__________________________________________________
687.
По условию 2т = 128, откуда т =7. Имеем
По условию
Отв. Искомый член (четвертый) T4 = 35x5.
__________________________________________________
688.
Имеем:Множимое 1/i равно
Множитель (l + i)5 согласно формуле бинома Ньютона равен l + 5i +10i2 + 10i3 + 5i4 + i5. Следовательно,
u6 = —i —5i2— 10i3— 10i4—5i5—i6.
Теперь заменяем степени мнимой единицы их выражениями:
i2 = —1; i3 = i2i; i4=i3i = —ii = + l; , i5 = i4i = i; i6 = —1.
Замечание. В данном примере, где основанием степени является 1+ i(или, вообще, когда основанием является двучлен вида a ± ai), возведение в степень можно выполнить проще. Именно, возводим 1+ i в квадрат. Получим ( l + i )2 = 2i, отсюда
(1+ i )5= ( l + i )4( l + i ) = (2i)2( l + i ) = —4( l + i )
Отв. u6 = —4 + 4i .
__________________________________________________
689.
Имеем . Так как 1/i = — i, то u7 = i (1 — i)6.
Дальше можно решать, как предыдущую задачу. Можно найти модуль и аргумент произведения шести сомножителей, равных 1 — i каждый. Модуль величины 1 — i есть√2; аргумент равен —45°. Значит, модуль произведения равен (√2)6=8, а аргумент 6(—45°)=—270°. Следовательно,
(1 — i ) = 8[cos(—270°) + i sin(—270°)] =8 i.
Отв. u7 = — 8.
__________________________________________________
690.
По условию числа C 1n; C2n; C3n составляют арифметическую прогрессию. Значит, C 1n + C3n = 2C2n, т. е.
Так как n =/= 0, то обе части равенства можно разделить на п.
Получим уравнение n2—9n+14 = 0. Из его корней n1=7 и n2 = 2 второй не годится, так как при n = 2 разложение бинома имеет только три члена, а по условию имеется четвертый член.
Отв. n = 7
__________________________________________________
691.
Решается, как предыдущая задача. После сокращения на
(это число не равно нулю, так как по условию n > 6) получим n2—21n+98 = 0.
Отв. n = 14 или n = 7.
__________________________________________________
692.
Первое слагаемое в скобках запишем в виде второе слагаемое в виде . Четвертый член разложения равен По условию
Следовательно,
Отв. x = 2 или x =—5.
__________________________________________________
693.
Представим данное выражение в виде
По условию
Отв. х = 2.
__________________________________________________
694.
Седьмой член T7 разложения бинома равен
а седьмой член от конца
Отв. x =9.
__________________________________________________
695.
По условию C25 x3 (xlg x)2 = 106, т. е. 10x3+2lg x = 106 или x3+2lg x =105 . Логарифмируя это равенство, найдем (3+2 lg x) lg x =5. Решив последнее уравнение, получим (lg x1) = l и (lg x2)=— 5/2,
Отв.
__________________________________________________
696.
По условию
Дeля обе части этого уравнения на 20 и затем логарифмируя, получим после упрощений
( lg x)2 + 3lg x — 4 = 0.
Отсюда (lg x1) = l , (lg x2) =— 4.
Отв. x1 = 10; x2 = 0,0001.
__________________________________________________
697.
Решается как предыдущая. Получим уравнение x lg x— 2 =1000. Логарифмируя полученное равенство, найдем (lg x1) =3 и (lg x2) = — l.
Отв. x1 = 1000; x2 = 0,l.
__________________________________________________
698.
Решается как две предыдущие.
Отв.
__________________________________________________
699.
__________________________________________________
700.
__________________________________________________
701.
По условию
По условию показатель вдвое больше показателя ,
т. е,, откуда k=1. Тогда равенство (а) после упрощений примет вид:
__________________________________________________
702.
По условию 5C 1m= C 3m, следовательно, имеем уравнение
Так как т=/=0, то обе части уравнения можно разделить на т. Получим т1= 7 и т2=—4. Годится только т1= 7 , так как m должно быть целым положительным.
По условию T4 = 7•20; значит,
Отв. х = 4.
__________________________________________________
703.
Из условия имеем
Из двух корней т1=8 и т2=—5 годится только первый, так как предполагается, что показатель бинома—целое положительное число.
Перепишем бином в виде . По условию
T4 —T6 = 56
или
После упрощений получаем . Положив 2х = у, получим уравнение у2—у—2 = 0, откуда y1 = 2 и y2 = — 1. Так как 2х = у не может быть отрицательным числом, то годится только y1 = 2 и, следовательно, 2х = 2, т. е. х = 1.
Отв. х = 1.
__________________________________________________
704.
Так пак биномиальные коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца, равны, то вместо коэффициентов трех последних членов можно взять коэффициенты трех первых членов, т. е. , откуда т = 6 (см. предыдущую задачу).
Следовательно, бином будет По условию
T3 + T5= 135
или
После упрощений получим
Как в предыдущей задаче, найдем: 1) 2х = 4 и 2) 2х = 1/2.
Отв. x1 =2; x2 = — 1.
__________________________________________________
705.
Числа a1, a3, a5, являющиеся соответственно первым, третьим и пятым членами арифметической прогрессии, сами образуют арифметическую прогрессию, так что 2a3 = a1+ a5. Так как по условию a1 = C 1m ; a3 = C2m ; a5 = C3m , то
Сократив на т (т =/= 0), найдем уравнение т2 — 9т + 14 = 0, корни которого т1 = 7, т2 =2. Так как по условию в разложении бинома имеется не меньше шести членов, то т > 5, значит, годится только т1 = 7. Бином будет
По условию
T6 =21
или
Дальше решается, как задача 703.
Отв. x1 =2; x2 = 0
__________________________________________________
706.
По условию числа 14/9 C2m, C3m и C4m образуют геометрическую прогрессию; следовательно,
14/9 C2mC4m = (C3m)2
Обе части равенства можно разделить на т2(т—1)2(т—2), так как ни т, ни т—1, ни т—2 не равняются нулю (ибо из условия следует, что т > 3 ); получим т = 9. По условию T4 =16,8 или
Отсюда получим уравнение
1/2 lg (x — l) — lg5 — lg(6 — √8x ) = — 1.
После потенцирования имеем
10√ x —1 = 5(6 — √8x)
Отсюда x1 = 50 и x2 = 2. Первый корень не годится, так как при x = 50 число 6 — √8x отрицательно и, значит, не имеет логарифма.
Отв. x =2
__________________________________________________
707.
По условию
отсюда . После упрощений найдем уравнение т2 — 3т — 18 = 0, корни которого m1= 6 и m2=—3. Следовательно, показатель бинома т = 6.
Из условия 9T3 —T5 =240 получим уравнение
Отв. x =2
__________________________________________________
|