|
ГЛАВА 8
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Мы не подразделяем задачи на алгебраические и арифметические, так как задачи, решаемые арифметически, всегда можно решить и алгебраически. Наоборот, задачи, решаемые с помощью уравнений, нередко допускают более простое арифметическое решение. В отделе решений мы даем иногда арифметическое, иногда алгебраическое решение, но это не должно ни в какой мере стеснять инициативу учащегося в выборе способа решения.
Ответы и решения
727. Вес патрона составляется из веса снаряда, заряда и гильзы. Снаряд и гильза, взятые вместе, составляют по весу 2/3 +1/4 = 11/12 всего патрона. На долю заряда остается 1 — 11/12 = 1/12 веса патрона, что составляет 0,8 кг. Следовательно, вес патрона равен 0,8, кг : 1/12 = 9,6 кг.
Отв. 9,6 кг.
__________________________________________________
728. Мужчины составляют 100% —35% = 65% от общего числа рабочих. Мужчин больше, чем женщин, на 65% —35% =30%, что составляет 252 человека. Следовательно, общее число рабочих равнo
252*100/30 = 840
Отв. 840 рабочих.
__________________________________________________
729. Процент прибыли берется по отношению к себестоимости (принимаемой за 100%). Значит, продажная цена (1386 руб.) составляет 100% + 10% = 110% себестоимости. Себестоимость равна
1386*100/110 = 1260 (руб.)
Отв. 1260 руб.
__________________________________________________
730.Убыток исчисляется в процентах по отношению к себестоимости (принимаемой за 100%). Значит, 3348 руб. составляют 100%—4% =96% себестоимости. Следовательно, продукция обошлась артели в
3348*100/96= 3487,5 (руб.).
Отв. 3487 руб. 50 коп.
__________________________________________________
731.Содержание меди в руде составляет 34,2*100/225 %.
Отв. 15,2%.
__________________________________________________
732. Цена снижена на 29 коп.— 26 коп. = 3 коп. Эта сумма составляет 3*100/29 % от старой цены. Число 3*100/29 = 10 10/29 заменяем приближенно десятичной дробью.
Отв. 10,34%
__________________________________________________
733.Задача решается, как предыдущая.
Отв. 10,94%.
__________________________________________________
734. По условию 2 кг составляют 32% от веса винограда. Вес винограда равен
2*100/32 = 6,25
Отв. 6,25 кг.
__________________________________________________
735.Обозначим число экскурсантов через х. В первом случае взносы составят 75х коп.; значит, на расходы нужна сумма (75х+440) коп. Во втором случае взносы составят 80х коп.: значит, на, расходы нужно (80х—440) коп.
Следовательно, 75х+440 = 80х—440.
Отв. 176 человек.
__________________________________________________
736. Пусть было х человек; каждый должен был заплатить 72/x
По условию
(х—3)( 72/x+ 4)= 72.
Отв. 9 человек.
__________________________________________________
737. Пусть цена одного экземпляра первого тома составляет х руб., а второго тома у руб. Первое условие дает уравнение 60х +75y = 405. При скидке в 15% цена экземпляра первого тома составит 0,85х руб.; при скидке в 10% цена экземпляра второго тома составит 0,9y руб. Из второго условия получаем уравнение
60 • 0,85х + 0,75 • 0,9y = 3551/2.
Решая систему двух уравнений, найдем х = 3; у = 3.
Отв. Цена первого тома 3 руб.; цена второго тома тоже 3 руб;
__________________________________________________
738. Пусть первый предмет куплен за х руб. Тогда второй куплен за (225—х) руб. При продаже первого предмета получено 25% прибыли. Значит, он продан за 1,25х руб. Второй предмет, на котором получено 50% прибыли, продан за 1,5(225—х) руб. По условию общий процент прибыли (по отношению к покупной цене 225 руб.) составлял 40%. Значит, общая сумма выручки была 1,40 • 225=315 руб. Получаем уравнение
11/4 x+ 11/2 (225 — х) = 315
Отв. Первый предмет куплен за 90 руб.; второй — за 135 руб.
__________________________________________________
739. В 40 кг морской воды содержится 40 • 0,05=2 кг соли. Чтобы 2 кг составляли 2% общего веса, последний должен равняться 2 : 0,02 =100 кг.
Отв. Нужно добавить 60 кг.
__________________________________________________
740.Обозначим длины катетов (в метрах) через х и у. По условию х2+ y2 =(3√5 )2. После увеличения на 1331/3%, т. е. на  своей длины, первый катет станет равным 21/3 x Второй катет после увеличения на 162/3 % будет равен 11/6 у.
Получаем уравнение 21/3 x + 11/6 у = 14.
Отв. 3 м и 6 м.
__________________________________________________
741. Если из первого мешка отсыпать 12,5% находящейся там муки, в нем останется 87,5%, что составит 140 кг: 2=70 кг.
Следовательно, в первом мешке 7*100/87,5 кг.
Отв. В первом мешке 80 кг, во втором 60 кг.
__________________________________________________
742.Оба завода вместе могли выполнить в день 1/12 часть заказа. По условию производительность завода В составляет 662/3% ,т. е. 2/3 производительности завода A; следовательно, производительность обоих заводов составляет 12/3 производительности завода А. Значит, завод А может выполнить в день 1/12 : 1 2/3 = 1/20 часть заказа, а завод В— выполнить 1/20 • 2/3 = 1/30часть заказа. До остановки завода А была выполнена 2/12 =1/6 часть всего заказа. На выполнение остающихся 5/6 всего заказа заводу В требуется 5/6 : 1/30 = 25 дней.
Отв. Заказ будет выполнен через 27 ( = 25+2) дней.
__________________________________________________
743. Верно решившие 14 человек составляют 100% — (12% + +32%) =56% всех учеников класса. Общее число учеников класса было
14*100/56 = 25
Отв. 25 учеников.
__________________________________________________
744.Вес отрезанной части составляет 72 % от веса всего рельса; значит, вес оставшегося куска (45,2 кг) составляет 100%—72% =28% веса рельса; 1% этого веса составляет 45,2/28, а 72% составляют 45,2/28*72= 1168/35 кг ≈ 116,23 кг. Вместо того чтобы определять 1% веса рельса, можно составить пропорцию х : 45,2 = 72 : 28.
Отв. Вес отрезанной части (округленно) 116,2 кг.
__________________________________________________
745.Вес всего сплава (2 кг) составляет 100% + 142/7% = 1142/7% веса меди. Значит, 1% веса меди составляет  кг.Следовательно, вес серебра, составляющий И— % веса меди, равен
Вместо того чтобы определять 1% веса меди, можно составить пропорцию
х : 2 = 142/7 : 1142/7.
Отв. Вес серебра 1/4 кг.
__________________________________________________
746. Заработок второго составляет 13/4 : 71/2=7/30 заработка первого или, в процентах, 7/30 • 100% =231/3%. Общий заработок трех рабочих (4080 руб.) составляет
100% +231/3 %+431/3% = 1662/3%
от заработка первого. Один процент заработка первого составляет  руб., значит, первый заработал
.
Второй заработал 231/3% этой суммы, т. е.
третий заработал
Отв. 2448 руб.; 571 руб. 20 коп.; 1060 руб. 80 коп.
__________________________________________________
747.Если вес сахара в первом ящике х кг, то вес сахара вo втором ящике 4/5 x кг, а в третьем  .
По условию х +4/5 x + 17/50 x = 64,2, откуда х = 30 (кг). От этого числа берем сначала 4/5, потом 17/50
Отв. 30 кг, 24 кг, 10,2 кг.
__________________________________________________
748.Возьмем х т первого сорта; в нем будет 0,05х т никеля. Второго сорта нужно взять (140—х) т с содержанием никеля в 0,40•(140—х) т. В общем количестве 140 т стали по условию содержится 0,30•140 т никеля. Следовательно, 0,05x+0,40•(140— x)= 0,30 •140. Отсюда х = 40.
Отв. 40 т первого сорта и 100 т второго сорта.
__________________________________________________
749.Сплав содержит 12 кг • 0,45 = 5,4 кг меди. Так как в новом сплаве эти 5,4 кг меди составляют по весу 40%, то вес нового сплава будет 5,4 : 0,40 =13,5 кг. Значит, нужно добавить 13,5 кг — 12 кг=1,5 кг.
Отв. 1,5 кг.
__________________________________________________
750. Решается, как предыдущая задача:
1) 735 г • 0,16= 117,6 г;
2) 117,6 г : 0,10= 1176 г;
3) 1176 г — 735 г = 441 г.
Отв. 441 г.
__________________________________________________
751. Пусть х — вес меди (в кг). Тогда 24—х есть вес цинка. Потеря веса составляет 1/9 х (для меди) и 1/7 (24 — х) (для цинка).
Следовательно, 1/9 х +1/7 (24 — х) = 28/9 . Отсюда х= 17.
Отв. 17 кг меди, 7 кг цинка.
__________________________________________________
752. Количество рельсов длиной 25 м обозначим через х, а рельсов длиной 12,5 м — через у. На участке 20 км =20 000 м. нужно уложить 40 000 м рельсов (две линии). По условию
25х+ 0,50 • 12,5у = 40 000 и 12,5у + 662/3 : 100 • 25х = 40 000.
Отв. 1200 рельсов по 25 м и 1600 рельсов по 12,5 м.
__________________________________________________
753. Пусть число учеников есть х. При обмене карточками каждый получит х —1 карточек, а все х учеников получат х(х—1) карточек; по условию имеем уравнение
х(х—1) =870.
Отв. 30 учеников.
__________________________________________________
754. Пусть х — меньшее, а у — большее число (х < у ).
Первое условие дает √xy = x+12, а второе условие x+y/2 = y —24, т. е. у — x = 48.
Решая систему, находим х = 6, у =54. Так как 6 < 54 , то это решение годится.
Отв. 6 и 54.
__________________________________________________
755. Пусть наименьшее число есть х, следующее у и наибольшее z . Имеем три уравнения:
у — х = z — у; ху = 85; уz= 115.
Из первого уравнения находим z = 2y—х; подставляя в третье уравнение, находим 2у2—ху=115 или в силу второго уравнения 2у2=200.
Из двух решений (x1=8,5, y1= 10, z1 = 11,5; x2=— 8,5, y2=—10, z2=—11,5) первое годится (ибо x1<.y1<z1), а второе нет (ибо (x2>y2>z2),
Отв. 8,5; 10; 11,5.
__________________________________________________
756.Дано
Требуется найти  .
Из первого уравнения имеем х2+ y2+ z2 + 2(xy + yz + zx) = 9a2.
В силу второго уравнения имеем х2+ y2+ z2 =3b.
Следовательно, 3b + 2(xy + yz + zx) = 9a2.
__________________________________________________
757. Если длина листа х см, а ширина у см, то коробка будет иметь длину (х—8) см, ширину (у—8) см и высоту 4 см. По условию 4(х—8) (у—8) =768 и 2х+2у=96.
Отв. Размеры листа 32 см x 16 см.
__________________________________________________
758. Пусть цифра десятков х, а цифра единиц у (х и у — целые положительные числа, меньшие чем 10). Имеем систему:
Из двух решений (х =6, у = 4 и x =1/8, y =—15/8 ) годится только первое.
Отв. 64.
__________________________________________________
759. Если число десятков равно х, то число единиц равно х + 2. Получаем уравнение
[10х +(х + 2)][х + (х +2)] = 144,
откуда х = 2 и х = — 32/11 по условию второе решение не годится.
Отв. Искомое число есть 24.
__________________________________________________
760. Пyсть искомое число будет х. Если справа к нему приписать 5, то получим число 10х + 5. По условию имеем
10х + 5 =(х + 3)(х—13).
Отв 22.
__________________________________________________
761. Пусть большее число есть х, а меньшее y. Если к большему числу приписать три цифры (нуль и две цифры меньшего числа), то цифры большего числа будут выражать число тысяч, так что в итоге получим 1000х + y. Из меньшего же числа получим число 1000y+10х.
По условию
1000х + y = 2(1000y+10х)+590, 2х+3у = 72.
Решая систему, находим х = 21, у =10. Эти числа, будучи двузначными, удовлетворяют условию задачи.
Отв. 21 и 10.
__________________________________________________
762. Если цифра единиц множителя есть х (х — целое число, меньшее 10), то цифра десятков 3х. Множитель равен 3•10х + х = 31х. Ошибочно записанный множитель был 10х +3х = 13х. Истинное произведение равно 78•31х ошибочно полученное произведение есть 78•13х По условию 78•31х — 78•13х = 2808. Отсюда находим х = 2.
Отв. Истинное произведение равно 4836.
__________________________________________________
|