ГЛАВА 8

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ   И   АРИФМЕТИЧЕСКИЕ   ЗАДАЧИ

Ответы и решения

763. Скорость    первого    поезда  х    км\час,    скорость    второго (х—12) км/час. Имеем уравнение

Отв. Скорость первого поезда 48 км/час, второго — 36 км/час.

__________________________________________________

764. Пусть   скорость   первого равна v    км/час,   тогда скорость второго равна  (v—2)  км/час.   Первый   затрачивает 24/v  час, второй 24/v—2 час. Получаем уравнение

Отв. 8 км/час, 6 км/час.

__________________________________________________

765. Пусть скорость поезда  х км/час;  тогда скорость  парохода (х—30)  км/час. Поезд затрачивает   66/x час., а   пароход 80,5/x—30 час.

Получаем уравнение

Отв. Скорость поезда 44 км/час, скорость парохода  14 км/чаc.

__________________________________________________

766. Пусть   первая    мастерская шила    в день по    х   костюмов; тогда вторая   шила по  х+4    костюма.    Первая мастерская   выполнила заказ в  810/x дней;    значит, срок  заказа был ( 810/x+ 3)  дней.

Срок заказа второй мастерской был тот же. Следовательно,

Отв   Первая мастерская шила в день по 20 костюмов, вторая —  по 24 костюма.

__________________________________________________

767. Пусть скорость парохода, идущего на юг, х км/час,, а парохода, идущего на запад,  (х + 6) км/час.   Так как   направления движения перпендикулярны, то по теореме Пифагора

(2х) 2+ [2(x+6)]2=602.

Отв. Скорость первого парохода 18 км/час, второго — 24 км/час.

__________________________________________________

768. Два  скачка  собаки  составляют  4  м;  3  скачка  лисицы   составляют 3 м. Следовательно, когда собака пробегает 4 м, расстояние между собакой и лисицей   сокращается   на 4 м—3 м=1 м. Первоначальное же   расстояние    между ними в    30 раз больше.   Значит, собака догонит лисицу, когда пробежит 4м • 30=120 м.

Отв. На расстоянии 120 м.

__________________________________________________

769. За 1 мин. минутная стрелка поворачивается на 6°, а часовая — на 1/2 °. Когда   часы показывают  4 часа, угол   между  часовой и минутной стрелками равен 120°. За х минут стрелки поворачиваются соответственно на 6х и   1/2 х    градуса.

По условию  6х —  1/2 х = 120.

Отв.  Через 219/11 минуты.

__________________________________________________

770. Обозначим   через t   время   следования   поезда   от  А   до   С (в часах) и через  v — установленную скорость в (км/час). По условию путь АВ   пройден за   t/2.   час.   при скорости   v  км/час.,  а путь ВС — за t/2  час. при скорости 0,75v    км/час.  

Значит, АВ =  v • t/2 км      и ВС =0,75v • t/2 — км.

По условию на обратном пути участок СВ был пройден со скоростью v, а участок ВА — со скоростью 0,75v .

Значит, участок СВ был пройден за время 0,75vt/2  :  v, т. е. за  0,75t/2  час, а   участок   ВА—за  vt/2  :  0,75v, т. е. за t/2 • 0,75 час.

По    условию

Отв. 10 час.

__________________________________________________

771. Положим, что   велосипедист    ехал со   скоростью v км/час; тогда скорость, которая предусматривалась, равнялась (v—1) км/час. Фактически   велосипедист   был в пути   30/v  час, а   полагался срок   30/v—1  час. По условию

Отрицательное решение v =—24 не годится.

Отв. 25 км/час.

__________________________________________________

772. Пусть скорость поезда но расписанию составляет х км/час. Тогда   фактическая  скорость  была   (х+10)   км/час.   Продолжительность пути по расписанию 80/х  час, а фактическая  80/х+10   час. По  условию

Отв. 50 км/час.

__________________________________________________

773. Первую    половину    пути поезд    шел х час.    Тогда, чтобы прийти без  опоздания,  он должен  был пройти  вторую половину за  х 1/2 часа. В первую половину пути скорость поезда  420/х км/час, а во вторую . По условию

Уравнение имеет один положительный корень.

Отв. 21 час.

__________________________________________________

774. Пусть скорость первого поезда  х км/час, скорость второго у км/час. В первом случае первый поезд пройдет до встречи 10х км, второй 10у км. Следовательно,

10x+10у =650.

Во втором случае первый поезд пройдет до встречи 8х км, а второй (который шел 8 час + 4 часа 20 мин. = 121/3 часа) пройдет 121/3 у. Следовательно,

8х + 121/3 у = 650.

Отв. Средняя скорость первого поезда 35 км/час, второго — 30 км/час.

__________________________________________________

775. Пусть скорость первого поезда х км/час, а второго у км/час. Расстояние в 600 км первый поезд проходит за  600/х   час, а второй — за 600/у  час. По условию

600/х + 3 = 600/у ,     250/х = 200/у

Отв. Скорость   первого  поезда 50 км/час,   второго — 40 км/час.

__________________________________________________

776.  Если длина пути х км, то при скорости 3,5 км/час. дачник пройдет это расстояние за  x/3,5  часа.   А  так  как  он  опоздает к   поезду на час, то в момент его выхода до  отхода   поезда оставалось (x/3,5  —1)  час. Через час после   выхода дачника оставалось до отхода поезда (x/3,5  — 2) часа, а пройти нужно было еще (х—3,5)  км. При скорости 5 км/час дачник пройдет это расстояние за   х—3,5/5 час. Так как он придет за   1/2  часа до отхода поезда, то

x/3,5  — 2 —  х—3,5/5  = 1/2  

Отв   21 км.

__________________________________________________

777. Пусть скорость велосипеда х км/мин, а автомобиля у км/мин. Автомобиль пробыл в пути 10 мин., а велосипедист 10+15=25 мин., когда его догнал автомобиль. В этот момент расстояния, пройденные ими, были одинаковы. Следовательно, 25x=10у. Когда на обратном пути автомобиль встретил велосипедиста, автомобиль прошел 50у км, а велосипедист 65x км. Эти расстояния в сумме дают двойное расстояние от Москвы до Мытищ. Поэтому 65x + 50y=38 Решая систему уравнений, находим х =0,2; у=0,5.

Отв. Скорость велосипедиста 0,2 км/мин = 12 км/час;

скорость автомобиля 0,5 км/мин. = 30 км/час.

__________________________________________________

778. Пусть поезда  встретились через х час. после выхода скорого поезда.   Тогда    почтовый поезд в    момент    встречи    находился в   пути    (х+3)   часа.   До    места    встречи    каждый   поезд   прошел 1080 : 2 = 540   (км). Значит, скорость  первого  поезда   540/х     км/час,  а второго 540/х+3 км/час. По условию 540/х540/х+3= 15. Годится только один корень x = 9.

Отв.  Через 9 час. после выхода скорого поезда.

__________________________________________________

779. Пусть первый    велосипедист    ехал  х час.    Рассуждая, как в предыдущей задаче, составим уравнение 36/x—142/x = 4.

Отв. Скорость   первого   велосипедиста    14   км/час,   а    второго 18 км/час; первый ехал до встречи 3 часа, а второй 2 часа.

__________________________________________________

780. Пусть расстояние АВ  между    пунктами   отправления есть х км,  и пусть первый   пешеход пройдет   его  за у час.   По условию второй проходит    путь ВА за    (у—5)  час.    Значит,    за час первый  проходит x/y км, а второй  x/y—5 км. За час расстояние между пеше ходами    сокращается    на     ( x/y+ x/y—5 ) км,    за     31/3    часа — на

31/3  ( x/y+ x/y—5 )

Так    как   через 31/3 часа   они   встретились,   то

31/3  ( x/y+ x/y—5 )  = х   

Так как х=/=0, то обе части можно разделить  на х. Получаем:

31/3  ( 1/y+ 1/y—5 )  =1

Отсюда находим у. Значение х остается неопределенным.

Отв.  Первый пройдет все расстояние за  10 час, второй — за 5 час.

__________________________________________________

781. Обозначим пункт встречи через С.   Пусть АС = х км;

тогда по  условию  СВ= (x + 12)    км.  Далее,    по  условию   первый  турист

прошел путь СВ за 8 час. Значит, его скорость    х+12/8    км/час. Так же найдем, что    скорость    второго    туриста х/9   км/час. Следовательно,  путь АС первый турист проделал за час., второй жe  турист  прошел путь  ВС за      час. А так как второй был в пути на 6 час. больше, чем первый, то

При решении этого уравнения можно ввести вспомогательное неизвестное х+12/x= z.   Получим 9z 8/z = 6. Из    двух корней  z1 = 4/3  и z2 = — 2/3 (второй   не   годится,   так   как   обе   величины   х = АС и х+12 = СВ должны быть положительными.

Из уравнения х+12/x = 4/3  найдем х = 36. Значит, АС = 36 км, СВ = 48 км.

Отв. AB=84км. Скорость первого туриста 6 км/час; скорость второго туриста 4 км/час.

__________________________________________________

782. Задача  сходна  с  предыдущей.   Пусть   дирижабль  пролетел до встречи х км; тогда   самолет до   встречи    пролетел (x+100)  км.    '

Скорость дирижабля  х+100/3 км/час; скорость самолета  

От своего аэродрома до места встречи дирижабль летел

самолет же летел от своего аэродрома до места встречи час. Получаем уравнение

Следовательно,  ,   откуда  x= 200;   второй  корень  не годится.

Отв. Расстояние  между   аэродромами   500 км;   скорость   дирижабля 100 км/час; скорость самолета 150 км/час;

__________________________________________________

783. Первый     способ.   Можно    решать,    как  предыдущую задачу. Получим уравнение

Второй способ. Обозначим через С точку встречи. Так как первый пройдет расстояние СВ за т часов, то CB =v1m км. Аналогично CA = v2n км. По условию СА—СВ = а. Получаем уравнение nv2mv1 = a. На прохождение    участка АС   первый пешеход затратил время     час; значит, с момента его выхода до встречи  прошло    час. Аналогично с момента выхода второго пешехода  до встречи прошло   час. Так как  оба вышли   одновременно, то   

Из    последнего уравнения находим v1:  v2 =√n : √m . Это уравнение решаем совместно с первым. Для симметрии полезно ввести вспомогательное неизвестное   .   

Подставляя в первое уравнение   выражения v1 = √n  t;    v2 = √m  t, получим

(nm   — mn) t = а, откуда теперь находим:

Замечание. Задача имеет решение только в том случае, когда nm  > mn  деля обе части этого неравенства на положительное число √m n, получаем √n>√m, т. е. п > т. Это условие можно получить и непосредственно из условия задачи: так как до встречи первый пешеход прошел большее расстояние, чем второй, то его скорость больше, чем скорость второго. С другой стороны, первому пешеходу до конца пути истается пройти меньше, чем второму. Следовательно, первый придет в В скорее, чем второй придет в А.

__________________________________________________

784. Пусть в 1 сек. первое тело пробежит х градусов, а второе у  градусов. Из первого условия находим  360/y 360/х= 5 Каждую секунду расстояние между телами (по дуге) увеличивается на (х—у) градусов. За время, протекающее от одного схождения до следующего (т. е. за 100 сек.), расстояние должно увеличиться на 360°. Поэтому 100(x—у) =360. Полученная система имеет два решения (x1= 18; y1=14,4; x2 = —14,4, y2= —18). Оба они годятся, но физический смысл их один и тот же (меняются только номера тел и направление движения).

Отв. 18°; 14°24.

__________________________________________________

785. Обозначим  скорость  одного  тела   (выраженную   в  м/мин) через х, а скорость   другого — через y . Положим, что х > у. Пусть тела движутся в одном направлении и сходятся в некоторой точке А. Пусть ближайшая следующая встреча происходит  в точке В (заранее не исключается, что точка В совпадает с точкой А; это   будет, например, в случае, если скорость первого тела вдвое больше скорости второго; в этом случае до ближайшей   встречи   первое сделает два полных оборота, а второе — один).

На пути от A к В (этот путь может для одного тела или для обоих перекрывать сам себя) второе тело отстает от первого, и в момент ближайшего совпадения отставание составит длину полной окружности. Так как между двумя ближайшими соединениями тел протекает 56 мин., за которые первое тело проходит 56x м, а второе 56y м, то длина окружности равна 56х—56y.

Пусть теперь тела движутся в противоположных направлениях. Тогда пути, пройденные ими за время, протекающее между двумя ближайшими встречами, т. е. за 8 мин., в сумме составят длину окружности. Следовательно, длина окружности равна 8х+8y. Имеем уравнение 56х—56y= 8х+8y.

В условии задачи сказано далее, что за 24 сек, расстояние между ними уменьшилось на 40—26 = 14 (м). За эти 24 сек. тела не встречались; поэтому уменьшение расстояния равно сумме путей, пройденных телами за 24 сек.= 2/5 мин. Получаем второе уравнение

2/5 x  + 2/5  y = 14.

Отв. 20 м/мин; 15 м/мин; 280 м.

__________________________________________________

786. Пусть х и у — положительные числа, выражающие скорости точек в   соответствующих   единицах     (если  с — длина  окружности в метрах, то единица скорости  1 м/сек и т. п.; в задаче не указано, в каких   единицах   измеряется  длина).   

Положим,   что х > у.   Тогда имеем систему уравнений:

tх — tу = с;       c/yc/x = п

(вывод первого уравнения см. в предыдущей задаче). Подстановкой находим уравнение

nty2 + ncyc2 = 0.

Его положительный корень ;    (второй корень

отрицательный).

Отв.   Большая   скорость   численно   равна   меньшая скорость

__________________________________________________

787. Пусть скорость   парохода   в стоячей  воде х км/час. Имеем уравнение

Отв.  20 км/час,

__________________________________________________

788. Отв. 9 км/час.

__________________________________________________

789. Пусть скорость течения х км/час, а скорость лодки в стоячей воде у км/час. Первое условие дает уравнение , второе условие — уравнение

Для решения этой системы удобно положить

Решая систему

20u +20v = 10;     2v = 3u,       находим

u  = 1/5  ;    v = 3/10     т.е.   у + х = 5;    у — х =  10/3

откуда х5/6.

Отв. 5/6 км/час.

__________________________________________________

790. Пусть плот проплывает расстояние а км от Киева до Днепропетровска за х суток. Тогда его скорость, равная скорости течения Днепра, есть а/x км/сутки.  По условию скорость парохода, идущего по течению, равна   а/2 км/сутки. Следовательно, скорость парохода в стоячей воде будет  ( а/2 —  а/x )   км/сутки. А так как скорость движения парохода против  течения  составляет   а/3 км/сутки, то скорость  его в стоячей воде равна  (а/3+а/x)  км/сутки.  Имеем уравнение

а/2 —  а/x = а/3+а/x 

Отв.   12 суток.

__________________________________________________

791. Пусть х м/сек скорость тела М1    а   у м/сек — тела М2 . К моменту первой встречи тело М1  находилось  в пути   21 сек., а второе 21 сек.— 15 сек.=6 сек. Получаем уравнение

21х  +  6у  =  60.

К моменту второй встречи тело М1 находилось в пути 45 сек., а тело М2 45 сек.—15 сек=30 сек. Пусть С — точка второй встречи; тогда тело М1 к моменту второй встречи успело пройти  расстояние АВ + ВС, а тело М2 — расстояние ВА + АС. Сумма этих расстояний есть 3•АВ, т. е. 180 м. Получаем второе уравнение

45х  +  30у =180.

Отв. Скорость тела М1есть 2 м/сек, а тела М2 — 3 м/сек.

__________________________________________________

792. Пусть скорость при движении в гору х км/час, по ровному месту—  у  км/час и под гору — z км/час. Вернувшись обратно с полпути, посыльный прошел   14 : 2 = 7 км; 3 км он шел в гору, 4 км—  по ровному месту, потом (на обратном пути) еще 4 км по ровному месту и, наконец, 3 км под гору. По условию

Два других условия дают:

Находим 1/x, 1/y, 1/z, а затем х,  y, z.

Отв.   В   гору 3 км/час;   по   ровному   месту 4 км/час;  под   гору 5 км/час.

__________________________________________________

 

Используются технологии uCoz