|
ГЛАВА 8
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Ответы и решения
793. Пусть норма х листов в день и срок у дней. Тогда по условию
(х+2)( у—3) = ху и (х+4) (у—5) = ху.
Отв. 120 листов, 15 дней.
__________________________________________________
794. Пусть рабочий сделал х деталей в у дней. Тогда ежедневно он изготовлял x/y деталей. По условию, если бы он ежедневно изготовлял x/y +10 деталей, он выполнил бы работу за у — 4 1/2 дня.
Значит, ( x/y +10 ) (у — 4 1/2)= х.
Другое условие дает уравнение (x/y — 5) (y + 3) = x.
Получаем систему уравнений:
Помножаем второе уравнение на 2 и складываем с первым; получаем x/y =50. Подставляя это значение во второе уравнение, находим у = 27. Следовательно, х = 50у =1350.
Замечание. Эту задачу можно решить как предыдущую, если вместо неизвестного х ввести величину z — число деталей, изготовляемых в день. Получилась бы та же система уравнений, где величина x/y была бы заменена через z.
Отв. Рабочий сделал 1350 деталей за 27 дней.
__________________________________________________
795. Пусть ежедневная норма машинистки х листов, а срок окончания работы у дней; тогда работа содержит ху листов. По условию, вырабатывая в день x+2 листа, машинистка затратит у — 2 дня. Значит, работа содержит (х+2) (у—2) листов. Следовательно,
(х+2) (у—2) = ху.
Таким же образом получаем другое уравнение (х + 0,60х) (у—4)= ху + 8.
Отв. Норма 10 листов в день; срок исполнения 12 дней.
__________________________________________________
796. Пусть первый рабочий выполняет работу в х час. Тогда имеем уравнение
Отв. Первый рабочий может выполнить всю работу в 12 час, второй — в 24 часа.
__________________________________________________
797. Если первая труба наполняет бассейн в х час, то вторая наполняет его в (х+5) час. Условие задачи дает уравнение
Отв. Первая труба наполняет бассейн за 10 час, вторая—за 15 час.
__________________________________________________
798. Пусть, работая отдельно, первый может выполнить работу за х час, а второй — за у час. Тогда в один час первый выполняет 1/x часть всей работы, а второй 1/y часть.
По условию 7• 1/x + 4• 1/y = 5/9 Так как после этого они проработали вместе 4 часа,то выполнили (4/x + 4/y ) часть всей работы, которая равна 1 — ( 5/9 + 1/18 ) = 7/18
Имеем второе уравнение 4/x + 4/y = 7/18
Вычитая его из первого уравнения, получим 3/x= 3/18; отсюда х = 18.
Затем находим 1/y = 1/24 и у = 24.
Отв. Первый мог бы выпoлнить работу за 18, второй — за 24 часа.
__________________________________________________
799. Обозначим искомые числа через х и у. Четыре крана большей мощности работали 2 + 3 = 5 час; два крана меньшей мощности работали 3 часа. Поэтому (см. решение предыдущей задачи)
4•5• 1/x + 2•3•1/у = 1
Второе условие дает
4•4,5• 1/x + 2•4,5•1/у = 1
Отв. В 24 часа; в 36 часов.
__________________________________________________
800. Пусть трехтонная машина может перевезти груз за х час, а пятитонная — за у час. По условию (см. решение задач 798—799)
30•8• 1/x + 9•6•1/у = 1 и 9•8•1/у+30•6• 1/x = 13/15
Отв. х = 300; у =270; 30 пятитонных машин перевезут груз за 270 : 30 = 9 час
__________________________________________________
801. Пусть первой машинистке для выполнения всей работы требуется х час, а второй — у час. Когда первая проработала 3 часа, вторая проработала 2 часа. Обе они выполнили 1—9/20 = 11/20 всей работы. Получаем уравнение
3/x + 3/у =11/20
Завершив работу, машинистки сделали поровну, т. е. каждая сделала половину работы. Значит, первая потратила x/2 час, а вторая у/2 час. А так как первая работала на час дольше, чем вторая, то
x/2— у/2 = 1
Система имеет два решения, но одно не годится, так как дает для у отрицательное значение.
Отв. Первая машинистка в 10 час, вторая в 8 час.
__________________________________________________
802. Задача сходна с предыдущей. Получаем уравнения
2/x + 1,5/у =11/30 ; x/2— у/2 = 1/2
где х и у— продолжительность пробега поездов (в часах). Из двух решений системы годится одно.
Отв. 10 час; 9 час.
__________________________________________________
803. Пусть в одну минуту через первый кран поступает х л, а из второго вытекает у л. По условию полная ванна, вмещающая 2 х 9 х 2,5 = 45 л, при действии обоих кранов опорожняется в 1 час.
Значит, в 1 мин. количество воды уменьшается на 45/60 = 3/4 л.
Следовательно, у — х = 3/4. С другой стороны, через один первый кран ванна наполняется за 45/x мин., а через один второй она опорожняется за 45/у мин.
По условию
45/x — 45/у = 5
Система уравнений
имеет два решения ( x1= 21/4; у1 = 3 и x2 = — 3; у2= — 21/4)- Второе решение не годится (х и у должны быть положительными числами).
Отв. 21/4 л/мин; 3 л/мин.
__________________________________________________
804. Пусть срок окончания есть х дней; тогда суточный план 8000/x кубометров. Бригада работала х —8 дней; значит, ежедневно вынималось8000/x—8 кубометров. По условию 8000/x—8 —
8000/x = 50. Из двух корней этого уравнения (x1 = 40 и x2=—32) годится только положительный х = 40. Значит, суточный план составлял 8000/x = 200 кубометров; перевыполнение плана на 50 м3 составляло
50*100.200 = 25%
Отв. Срок окончания 40 дней; процент перевыполнения 25.
__________________________________________________
805. Пусть первая бригада ремонтировала х км в день; тогда вторая ремонтировала (4,5—х) км в день. Первая бригада работала 10/x дней; вторая 10/4,5—х дней.
По условию 10/x — 10/4,5—х = 1 Уравнение имеет корни x1= 2 и x2=22,5. Второй не годится, так как по смыслу задачи число 4,5—х должно быть положительным.
Отв. Первая бригада ремонтировала 2 км, а вторая 2,5 км пути в день.
__________________________________________________
806. Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за х час, а второй — за у час. Значит, половину работы первый сделал за x/2 час; остальную часть (т. е. тоже половину) второй сделает за у/2 чаc.
По условию x/2 + у/2 = 25.
Другое условие (см. решение задачи 798) дает 1/x + 1/у = 1/12.
Отв. Один из рабочих (либо 1-й, либо 2-й) может выполнить работу в 20 час, другой — в 30 час.
__________________________________________________
807. Пусть один трактор может вспахать поле за х дней, а другой — за у дней. Имеем (ср. предыдущую задачу) систему уравнений:
1/x + 1/у = 1/t ; x/2 + у/2 = k
Ее можно заменить системой x+ y = 2k; xy = 2kt.
Отв. Один из тракторов за (k+ √k2—2kt) дней; другой — за (k—√k2—2kt) дней. Задача возможна при k/2 > t.
__________________________________________________
808. Пусть все три землечерпалки, работая вместе, могут выполнить работу в х дней. Тогда одна первая может выполнить работу в (х +10) дней, одна вторая — в (х +20) дней и одна третья — в 6х дней. В один день первая машина выполнит 1/x+10 часть работы , одна вторая 1/x+20
часть, третья 1/6x часть, а все вместе 1/x часть работы.
Имеем уравнение
1/x+10 +1/x+20 + 1/6x = 1/x
Отв. Работа может быть выполнена первой землечерпалкой в 20 дней, второй — в 30 дней и третьей — в 60 дней.
__________________________________________________
809. Если второй рабочий может выполнить работу за х дней, то первый — за (х+3) дня. Первый рабочий, проработав 7 дней, выполнит 7/x+3 всей работы; второй, проработав 7 — 1 1/2 =
5 1/2 дней, выполнит  всей работы. Получаем уравнение
Отв. Первый рабочий выполнит всю работу за 14 дней, второй— за 11 дней.
__________________________________________________
810. Пусть первым трактором можно вспахать все поле за x дней, вторым — за у дней. Первое условие дает
1/y + 1/x= 1/8
Половину поля первый трактор может вспахать за x/2 дня, а вторую половину оба трактора вспашут за 4 дня (все поле они вспахали за 8 дней).
Имеем второе уравнение x/2+ 4 = 10, отсюда х =12 {дней). Из первого уравнения найдем y =24 (дня).
Отв. Первым трактором можно вспахать поле за 12 дней, вторым — за 24 дня.
__________________________________________________
811. Так как рабочие приступали к работе через равные промежутки, и вследствие этого первый проработал в 5 раз больше времени, чем последний, то число рабочих было равно 5.
Если последний работал х час, то общее число человеко-часов было
х + 2х + 3х + 4х + 5х = 15х.
По условию, работая впятером, они могли бы выполнить ту же работу в 6 час. Следовательно, 15х = 5•6, откуда х = 2. Работа по прорытию канавы продолжалась столько времени, сколько работал первый, рабочий, т. е. 5х час.
Отв. Работа продолжалась 10 час
__________________________________________________
812. Пусть первый рабочий может выполнить работу за х час; получаем уравнение
__________________________________________________
813. Пусть первый кран наполняет бассейн за x час, а второй —за у час. За 1 час первый кран наполнит 1/x часть бассейна, а по условию он был открыт ( 1/3 y) час, значит, вода из первого крана заполнила часть бассейна. Аналогично найдем, что вода из второго крана заполнила  часть бассейна. Так как после этого заполнилось 13/18 бассейна, то
1/3• y/x + 1/3• x/y = 13/18
Второе условие даст уравнение
1/x+1/у = 5/18
Эту систему можно решить следующим образом. Если положить y/x = z, то первое уравнение примет вид
1/3• z + 1/3• 1/z = 13/18
Отсюда z1 = 3/2; z2 = 2/3. Второе уравнение представим в виде
y/x +1 = 5/18 y
Подставляя сюда y/x = 3/2 найдем y = 9; значит, x = 2/3 y = 6.
Подставляя y/x = 2/3 найдем y = 6 и x = 9.
Отв. Один из кранов наполняет бассейн за 6 час, другой — за 9 час.
__________________________________________________
814. Если норма ежедневной кладки была х тысяч штук, а в действительности укладывали у тысяч штук в день, то будем иметь систему уравнений
Отв. Норма в день 10 тысяч кирпичей; в действительности укладывали 15 тысяч кирпичей.
__________________________________________________
815. В трех столбцах следующей таблицы даны последовательные количества воды (в литрах) и трех сосудах (I, II; III):
Каждое из выражений, стоящих в последнем столбце, по условию равно 9.
Другое решение (Сообщено К. А. Гетажеевым (КБ АССР, ст. Лескен Лескенского района).
Найдем сначала количество и воды, оказавшееся в сосуде II после первого переливания. По условию второе переливание уменьшило это количество на 1/4 и, после чего в сосуде II осталось 9 л. Следовательно, 3/4 и = 9, т. е. и =12. Теперь найдем первоначальное
количество z воды в сосуде III. Первое переливание оставило его неизменным; второе — увеличило на 1/4 и= 3 л, так что в сосуде III оказалось (z+3) л. Третье переливание уменьшило это количество на 1/10(z + 3).
Следовательно, 9/10(z + 3)= 9, т. е. z = 7.
Далее найдем первоначальное количество х воды в сосуде I. После первого переливания в нем оставалось 2/3 х л; после второго — это количество не изменилось; после третьего — оно увеличилось на 1/10(z + 3). = 1.
Следовательно, 2/3 х + 1= 9, т. е. х =12.
Наконец, найдем первоначальное количество у воды в сосуде II. После первого переливания оно увеличилось на 1/3 х = 4, в результате чего стало равным, как было найдено12 л. Следовательно, у =12 — 4 = 8.
Отв. 12 л; 8 л; 7 л.
__________________________________________________
816. Если первый раз вылили х л спирта, то осталось (64—х) л спирта; второй раз было отлито л чистого спирта. Осталось
чистого спирта. Получаем уравнение
1/64(64—х) 2=49.
Отв. Первый раз вылили 8 л спирта, второй раз 7 л.
__________________________________________________
817. Перелив х л спирта и дополнив второй сосуд водой, будем иметь во втором сосуде x/20 л спирта на каждый литр смеси. Обратно переливается х л смеси; в них содержится  л спирта. После обратного переливания количества спирта в первом сосуде составляет  л.
Теперь из первого сосуда отливается 62/3 л смеси, т. е.  составляет 1/3 всего количества этой смеси. Вместе с тем на 1/3 уменьшается и количество спирта; т. е. в первом сосуде остается  л спирта. Так как количество спирта в обоих сосудах неизменно равняется 20 л, а по
условию в обоих сосудах теперь содержится одинаковое количество спирта (т. е. по 10 л), то
Отв. 10 л.
__________________________________________________
818. Пусть из сосуда выпущено х л воздуха и введено такое же количество азота. В оставшемся количестве (8—х) л воздуха содержится (8 — х)0,16 л кислорода. Это количество приходится на 8 л смеси, так что на 1л приходится л кислорода.
Следовательно, когда вторично х л смеси заменяется х л азота, остающееся количество (8 — х) л смеси содержит  л кислорода. Значит, по отношению к общему количеству смеси (8 л) содержание кислорода составляет 
По условию  Из двух корней (x1=2, x2=14) годится только первый, так как больше 8 л выпустить нельзя.
Отв. 2 л.
__________________________________________________
819. Пусть у первой колхозницы было х яиц, а у второй у яиц. Если бы первая продала у яиц, то, по условию, выручила бы 9 руб.
Следовательно, она продавала яйца по 9/y руб. за штуку и выручила 9/y х руб. Таким же образом найдем, что вторая выручила 4/x у руб..
Имеем два уравнения:
4/x у = 9/y х ; х + у = 100
Из первого находим ( y/x )2 = 9/4 откуда y/x = 3/2 (отрицательное значение y/x =— 3/2 не годится ).
Отв. У первой было 40 яиц, у второй 60 яиц
__________________________________________________
820. При обозначениях предыдущей задачи получаем систему
Из первого уравнения находим х : у = √п : √т . Делим затем а на части, пропорциональные √п и √т .
__________________________________________________
821. Пусть первый двигатель расходует в 1 час. х г бензина, а второй - у г; тогда 600 г бензина первый израсходовал за 600/x час, а 384 г бензина второй — за 384/y час. По условию 600/x —
384/y = 2. Если бы первый расходовал в 1 час у г бензина, то за 600/x час. расход бензина был бы 600/x • у г, а если бы второй расходовал в 1 час х г, то за 384/y час. он израсходовал
бы 384/y • х г; по условию 600у/x = 384х/y.
Отв. Первый расходует 60 г/час, второй - 48 г/час.
__________________________________________________
822. Положим, что из первого сплава надо взять x кг. Тогда в х кг золота будет содержаться 2/5 х кг, а в (8—х) кг второго сплава золота будет 3/10 (8—х) кг. По условию в 8 кг нового сплава должно содержаться
золота 5/16•8 кг=2,5 кг.
Следовательно,
2/5 х + 3/10 (8—х) = 2,5.
Отсюда находим х =1 (кг) и 8—х = 7(кг).
Отв. 1 кг первого сплава и 7 кг второго.
__________________________________________________
823. См. решение предыдущей задачи.
Отв. 9 ведер из первой бочки и 3 ведра из второй.
__________________________________________________
824. Пусть третий сплав содержит х частей первого и у частей второго сплава, т. е. на х кг первого сплава приходится у кг второго сплава. Тогда в (х + у) кг третьего сплава содержится ( 1/3 x + 2/5 y) кг первого металла и ( 2/3 x + 3/5 y) кг второго металла.
По условию
( 1/3 x + 2/5 y) : ( 2/3 x + 3/5 y) = 17 : 27
Приведя делимое и делитель к общему знаменателю (15) и деля их на у, получим
откуда x/y = 9/35
Отв. На 9 частей первого сплава нужно взять 35 частей второго сплава.
__________________________________________________
|