ГЛАВА 8

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ   И   АРИФМЕТИЧЕСКИЕ   ЗАДАЧИ

Ответы и решения

825.  Пусть в 1 мин. большее колесо делает х оборотов, а меньшее  у оборотов, у > х. Имеем уравнения

у — х = 400;     ⁵/_x — ⁵/_у = ¹/₆₀

Второе уравнение можно представить в виде  xy = 300(y—х), т. е,  xy =120 000.

Отв. Большее колесо делает 200 оборотов в минуту, меньшее - 600 оборотов.

__________________________________________________

826.  Пусть окружность переднего колеса равна х   дм, а окружность заднего - у дм. Имеем два уравнения:

¹⁸⁰/_x — ¹⁸⁰/_у = 10

и

¹⁸⁰/_x+6 — ¹⁸⁰/_у—6 = 4

Первое преобразуется к виду 18 (у — х) = xy ; второе — к виду 39(у — х) = xy  + 504. Из этих двух уравнений найдем у — х = 24; xy = 432.

Отв. Окружность переднего колеса 12 дм, заднего - 36 дм.

__________________________________________________

827. В первый и третий   дни было   выгружено   600 • ²/₃ = 400 т; во второй день выгружено 600 т—400 т = 200 т. Пусть в первый день выгружено х т; тогда в третий день выгружено (400—х) т. Уменьшение выгрузки во второй день по сравнению с первым днем было (х—200)  т, что составляло  % от выгрузки первого дня.

Уменьшение выгрузки в третий день по сравнению со вторым   днем   было   

200—(400—х) = (х—200)    т.   что   составляло

% выгрузки второго дня. По условию

Найдем два корня x₁= 250; x₂=160. Второй корень не  годится , так как по условию выгрузка с каждым днем уменьшалась, между тем как при х=160 выгрузка составляла бы: в первый день 160 т, во второй 200 т  и  в третий 240 т.

Отв. В первый день было выгружено 250  т, во второй 200 т, в третий 150 т.

__________________________________________________

828. Пусь   первый   раствор   весит   х   кг,   тогда   второй   весит (10—х) кг. Процентное содержание безводной серкой кислоты в первом растворе

По условию   

Уравнение имеет два   положительных   корня    x₁ = 20 и  x₂= 4. Так как по условию      x < 10, тo первое решение не годится.

Отв. 4 кг и 6 кг.

__________________________________________________

829. Если в первом сплаве было х%  меди, то во втором было (х+40)%. Первый сплав весил 6*100/х   кг, а второй 12*100/х  кг. Получаем уравнение

⁶⁰⁰/_x + ⁶⁰⁰/_x+40 = 50.

Отв. 20% и 60%.

__________________________________________________

830. Пусть скорость товарного поезда x м/сек, а пассажирского у м/сек. За 28 сек. товарный поезд прошел 28 х (м), а пассажирский 28 у (м); получаем уравнение

28х+28у = 700.

Товарный   поезд    идет    мимо   светофора  ⁴⁹⁰/_x  сек., а    пассажирский ²¹⁰/_xсек. Получаем второе уравнение

⁴⁹⁰/_x —  ²¹⁰/_x  = 35

Отв. Скорость товарного поезда 10 м/сек, т. е. 36 км/час, пассажирского— 15 м/сек, т. е. 54 км/час.

__________________________________________________

831. Если число четырехосных цистерн  равно  х, то число  двухосных равно  (х+5). Если одна   двухосная цистерна   весит у т,  то одна четырехосная весит 3y т.   Вес    нефти   в   двухосной    цистерне равен  (40•0,3) т =12 т. Четырехосная цистерна с нефтью весит (3у+40) т, а двухосная  (у + 12)  т. Имеем первое уравнение

х(3y+40) + (х+5) (y +12) =940.

Вес нефти во всех четырехосных цистернах (40х), т, а вес всех груженых (х+5) (у+12) т. Имеем второе уравнение

40х— (х+5) (у+12) = 100.

Отв. Четырехосных  цистерн  было 10,   весом   каждая   по 24  т., двухосных цистерн было 15, весом каждая по 8 т.

__________________________________________________

832. Пусть первая машина проходит в день х м, а вторая у м. В первом случае первая   машина   выполнила бы 30%    всей работы, т. е. прошла бы  

Имеем уравнение

18х+16у = 60.

Во втором случае первая машина прошла бы 2²/₃ • 60у  (м), затратив на это ²/₃ • 60• ^y/_x дней. Вторая машина затратила бы   ³/₁₀ • 60• ^х/_у дней.

Имеем второе уравнение

^40y/_x — ^18х/_у =  6

Полученная система легко решается, если положить ^y/_x= z.   К задаче подходит положительное значение z = ³/₄

Отв.  Первая машина проходит в день 2 м тоннеля;

          вторая       »              »        »   » 1¹/₂ м      » .

__________________________________________________

833. Пусть первая бригада может отремонтировать участок пути в x дней, а вторая — в у дней. По условию   задачи   имеем систему уравнений

Отв. Первая бригада может отремонтировать участок в 10 дней, вторая — в 15 дней.

__________________________________________________

834. Пусть первая часть груза (составляющая ²⁵/₄₆• 690=375 т)  была перевезена за х час, и каждая трехтонная машина делала у поездок в час. Тогда каждая полуторатонная машина делала (у+1) поездку в час. По условию вторая часть груза (т. е. 690—375= 315 т) была перевезена за (х—2) часа, причем трехтонные машины делали по (у+1) поездок в час, а полуторатонные — по (у+1)+1= (у+2) поездок. Получаем систему уравнений

После упрощений эти уравнения примут вид

Вычитая первое уравнение из второго, получим 2х—4у=2. Отсюда  2у = х—1. Подставляя в первое  уравнение,   получим   х²=25,   т.   е. х = 5.  Первая часть груза была  перевезена  за  5 час. вторая — за 5—2 = 3 часа.

Отв. Груз   перевезен   за   8   час,   трехтонные   машины   вначале делали по 2   поездки в час;   потуторатонные— по    3 поездки в час.

__________________________________________________

835. Если х — ширина дорожки, то площадка вместе с дорожкой содержит

(а+2х) (b+2х) м². Имеем уравнение (а+2х) (b+2х) = 2ab,

Отв. ¹/₄ [ √(a+ b)² +4ab   — (a + b)]

__________________________________________________

836. Число стульев в   каждом  ряду    обозначим   через  х;  тогда число рядов равно ^a/_x  Получаем уравнение

(a + b)( ^a/_x — с )  = 1,1а.

После упрощений имеем:

10сх²+(а+10bс)х— 10аb =0.

Отсюда

Если радикал взять со знаком минус, то х<0; если взять   со   знач ком плюс, то х>0.

Отв. Число стульев в каждом ряду

__________________________________________________

837. Обозначим    скорости    тел (в м/сек)    через v₁ и v₂; пусть v₁ > v₂.  Первое условие дает уравнение  av₁ + av₂ = d;  второе дает уравнение bv₁—bv₂ = d.

Отв.  v₁ = ^d/₂( ¹/_a+ ¹/_b ) ;     v₂ = ^d/₂( ¹/_a— ¹/_b )     Задача имеет решение только при а < b.

__________________________________________________

838. Обозначим скорость   мотоциклиста   (в    км/час)   через х, а велосипедиста — через у. Получаем систему уравнений

2х+ 2y = d;     ^d/_y—  ^d/_x = t.

Отв. Скорость мотоциклиста   км/час,

скорость велосипедиста  

__________________________________________________

839. Если велосипедисту требуется х час, то пешеходу требуется (х+с) час. Обозначим через у расстояние АВ (скажем,  в километрах). До места встречи пешеход прошел  км а велосипедист проехал      км.

Имеем уравнение   

 Так как у=/=0, то  

Это уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень (так как произведение корней равно отрицательному числу —bc). Годится только положительное решение

Расстояние y остается неопределенным. Величину х+с можно найти либо из вышеприведенного выражения, либо из уравнения    положив х+с = z. Получим уравнение   

Берем только положительное решение.

__________________________________________________

840. Обозначим длину пути (в километрах) через х. Согласно условию поезд А должен по расписанию нагнать поезд В через ^x/_v час. после выхода. Фактически он нагнал поезд В, пройдя (x—а) км, т. е. через  ^x—a/_v час. Следовательно, оба поезда шли до встречи на  ^a/_v  час. меньше положенного времени. Но поезд В должен был идти до   встречи   час,   фактически же   он прошел   расстояние  ²/₃ х   со    скоростью v₁   и    расстояние   ¹/₃ х — а    со    скоростью   ¹/₂v₁ затратив на весь этот путь час. Следовательно,

Отв. Длина пути равна      км. Задача имеет решение только при v₁< 2v.

__________________________________________________

841. Пусть сберкасса дает х%. Тогда первоначально было положено ¹⁵⁰⁰/_x  руб.  В начале  второго  года  на  счету  вкладчика  было  ¹⁵⁰⁰/_x +15+85,    т. е. ( ¹⁵⁰⁰/_x +100)     руб.    В конце    второго    года эта сумма   обратится   в    ( ¹⁵⁰⁰/_x +100) (1 + ^x/₁₀₀)   руб. Получаем уравнение

( ¹⁵⁰⁰/_x +100) (1 + ^x/₁₀₀)  = 420

Отв. 300 руб.; 5%.

__________________________________________________

842. Обозначим  производительность   станков A, В, С соответственно через х,  у,  z. По условию

x = ^m/₁₀₀(y + z) ,  y = ⁿ/₁₀₀(x + z)

Найдем из  этих   уравнений   выражения х   и у через z; сложив их ,  получим

Искомое число процентов равно .

Отв.  

__________________________________________________

843. Примем   за  единицу измерения продукцию года, предшествующего   первому.    Тогда   продукция    1-го года составит 1+ ^p/₁₀₀.

По сравнению с ней продукция 2-го года возрастает на q%, т. е. на (1+ ^p/₁₀₀ ) ^q/₁₀₀  и составит

(1+ ^p/₁₀₀ )  + (1+ ^p/₁₀₀ ) ^q/₁₀₀ = (1+ ^p/₁₀₀ ) (1+ ^q/₁₀₀ )

Если продукция 3-го года возрастает на х%, то она увеличивается

на  (1+ ^p/₁₀₀ ) (1+ ^q/₁₀₀ ) ^x/₁₀₀

По условию

¹/₃ [^p/₁₀₀ + (1 + ^p/₁₀₀)^q/₁₀₀ + (1+ ^p/₁₀₀ ) (1+ ^q/₁₀₀ ) ^x/₁₀₀]= ^r/₁₀₀

Отв.

__________________________________________________

844.  Пусть себестоимость всего товара составляет m руб. Тогда  себестоимость первой   проданной  партии составляет а% от m, т. е.  ^ma/₁₀₀   руб. По условию полученная от продажи прибыль составляет р% этой суммы, т. е.  ^ma/₁₀₀• ^p/₁₀₀ руб.

Себестоимость товара, оставшегося после продажи первой партии, равна

m— ^ma/₁₀₀= т (1—^a/₁₀₀)     руб.

Себестоимость второй проданной партии составляет b% от этой суммы, т. е.

т (1—^a/₁₀₀) ^b/₁₀₀    руб.

При продаже второй партии было получено q%  прибыли; следовательно, эта прибыль составляет

(1—^a/₁₀₀) ^b/₁₀₀ • ^q/₁₀₀  руб.

Себестоимость товара,   оставшегося после   второй продажи, составляет

m — ^ma/₁₀₀— т (1—^a/₁₀₀) ^b/₁₀₀  = m (1—^a/₁₀₀)(1—^b/₁₀₀)   руб.

Пусть эта остальная часть продана с прибылью х%. Тогда прибыль от ее    продажи    составит     

m (1—^a/₁₀₀)(1—^b/₁₀₀) ^x/₁₀₀   руб.   

Общая  прибыль будет

т [^a/₁₀₀• ^p/₁₀₀ + (1—^a/₁₀₀) ^b/₁₀₀ • ^q/₁₀₀  + (1—^a/₁₀₀)(1—^b/₁₀₀) ^x/₁₀₀]

По условию общая  прибыль должна  составить r %  от т руб., т. е. ^mr/₁₀₀  руб.

Следовательно,

т [^a/₁₀₀• ^p/₁₀₀ + (1—^a/₁₀₀) ^b/₁₀₀ • ^q/₁₀₀  + (1—^a/₁₀₀)(1—^b/₁₀₀) ^x/₁₀₀] = ^mr/₁₀₀

Величина т сокращается.

__________________________________________________

845. Первый способ. Положим, что каждый из отрезанных кусков весил х кг. Для краткости назовем первый сплав (весом т кг) «сплавом A», а второй — «сплавом В». Из двух вновь полученных слитков первый содержит (т—х) кг сплава А и х кг сплава В, а второй - х кг сплава А и (п—х) кг сплава В. По условию процентное содержание меди в обоих слитках одинаково. А это возможно лишь в том случае, когда в двух слитках количества сплава А и сплава В пропорциональны. Получаем уравнение

Второй способ. Пусть и кг есть вес меди в 1 кг сплава А, a v — вес меди в 1 кг сплава В. Тогда в первом слитке

(m—х) u + xv     кг

меди, т. е. на 1 кг первого слитка приходится

меди. Аналогично выразится вес меди, приходящийся на 1 кг второго слитка. Приравнивая два  найденных выражения, получим уравнение

n[(m—x) u+xv] = m[(n—x) v+xu],

содержащее три неизвестных х, и, v. Его можно представить в виде

(и—v) (mx + nx— mn)=0.

По условию сплавы А и В имеют различные процентные содержания меди, т. е. величина и—v не может равняться нулю. Следовательно,

mx + nx— mn = 0.

Отв. Каждый кусок весил

__________________________________________________

846. Пусть в первой кучке первоначально было x₁ руб., во второй было x₂ руб. и т. д.; в последней (n-й) кучке первоначально было х_п руб.  Первая кучка  явно   находится  в   особом положении, так как из нее сначала изымается ¹/_n чаcть и лишь в коние процесса она пополняется из п-й кучки, тогад как по отношению к каждой из остальных сначала производится пополнение из предыдущей кучки, а затем изъятие ¹/_n части. Поэтому рассмотрим какую- либо кучку, кроме первой. Обозначим ее номер через k. Первоначально в ней было х_k руб., к ней прибавилось некоторое количество у руб. из (k—1)-й кучки, а затем из общей суммы у + х_k руб. была изъята ¹/_n часть. Осталось  руб.  По  условию  имеем уравнение

                        (1)

В предыдущей же (k—1)-й кучке, если она не была первой (т. е. если k=/=2), должно было остаться А руб. (в первой кучке А руб. образуется лишь после пополнения ее из п-й кучки). Значит, до изъятия у руб. в ней   было А+у    руб. По   условию изымаемая сумма у руб. составляет¹/_n часть от А+у , т. e.

                                    (2)

Отсюда находим . Подставляя в (1), получаем   х_k= A

Таким образом, во всех кучках, кроме, может быть, второй и первой (прежде исключенных из рассмотрения), первоначально было по A руб.;

x₃ = x₄ = ... = х_n= А.                                                       (3)

Неизвестное x₁ можно найти так. По условию сначала из суммы x₁ руб. изымается ¹/_n  часть. Остается  руб. В конце процесса в первую кучку добавляется некоторая сумма у руб. из последней кучки. Получаем уравнение

                                   (4)

Рассуждая (применительно к n-й кучке) так же, как выше, найдем,

__________________________________________________