ГЛАВА 8

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ   И   АРИФМЕТИЧЕСКИЕ   ЗАДАЧИ

Ответы и решения

847. Пусть  х — меньший  из  сомножителей.   Тогда   из   условий задачи непосредственно вытекает, что

х (х+10) — 40 = 39х + 22

или

х²— 29х —62 = 0,

откуда x₁ = 31, x₂ =—2.   Отрицательный  корень  отбрасываем, следовательно, множители равны 31 и 41.

__________________________________________________

848. До первой  встречи  первый   велосипедист прошел s + а  км, второй s — а км, где s — расстояние  от А до В.  До второй встречи они прошли  соответственно  

2s + ¹/_k  s     и    2s  —  ¹/_k  s  км.

Но если два тела движутся с постоянными скоростями, то отношение скоростей тел при равенстве затраченных времен равно oтношению пройденных  телами  путей.   Поэтому  для  нахождения s  имеем  уравнение

Отсюда s = 2ak км.

__________________________________________________

849. Если два тела движутся с постоянными   скоростями, то на одном и том же  участке   пути   отношение их скоростей обратно отношению  затраченных   телами  времен.   Пусть  v—скорость  третьей машины, t — время движения второй машины до того момента, когда ее обогнала третья. Тогда

Разделив первое уравнение  почленно на второе,   найдем t = ³/₂ часа; затем определим  v = 60 км/час.

__________________________________________________

850. Пусть до встречи   прошло  х  часов.   Один   и   тот же путь от места   встречи до пункта   В   велосипедист  проехал  за  х  часов, а пешеход прошел за x + t часов. Так как при равном пути времена , обратно пропорциональны скоростям, то

__________________________________________________

851. Обозначим   расстояние  от   A  до   В   через  х,  а расстояние от В до С через у.   Тогда, учитывая,   что   время  движения  во всех случаях, о которых говорится в условиях   задачи, одинаково, получим систему уравнений

Решая эту систему, находим х = 14 км, у =16 км.

__________________________________________________

852. Пусть х—длина дороги по ровному месту, y —длина дороги в гору. Имеем систему уравнений

Сложив уравнения системы, найдем, что х = 4.

__________________________________________________

853. Обозначим  через  l расстояние  между  пунктами   A  и В и через v₁,v₂— скорости  мотоциклов.   За  время   t   первый  мотоцикл проехал   путь,   равный   p+ l — q,   а   второй — путь   q + l — р.    Поэтому

            (1)

С другой стороны, отношение скоростей равно отношению путей, пройденных до первой встречи, т. е.

Подставив сюда v₁ и v₂ из (1), получим уравнение для определения l.

Решив его, найдем l = 3р — q.

Подставив это значение l в формулы (1), получим:

__________________________________________________

854. Разность   между   временами   опоздания   самолета в   первом и  втором   рейсахравная   часов,   связана  с   тем,   что   путь в d км был пройден с разными скоростями: в первом рейсе скороcть была v км/час, во втором w км/час (на остальных участках пути скорости были соответственно равны). Отсюда получаем уравнение

из которого находим, что начальная скорость самолета равна

__________________________________________________

855. Пусть   отношение  весов  сплавляемых  кусков  равно α : β. Тогда

Отсюда получаем:

α : β = (r — q) : (p — r).

Решение возможно, если р > r > q или р < r < q.

Чтобы   найти   максимальный   вес   нового   сплава,   рассмотрим  отношения  

Ecлимаксимальный вес равен

Если  , то максимальный вес равен

Если,   наконец,   то  максимальный   вес равен

__________________________________________________

856. Пусть каждый рабочий работал по t дней и пусть A заработал х рублей, а В заработал у рублей. Из условий задачи получаем систему уравнений

                                    (1)

Из первых двух уравнений находим:

Тогда из последнего уравнения получаем:

Отсюда y = ⁵/₆ x   (отрицательный   корень   отбрасываем).    Деля   теперь   второе   уравнение   системы  (1)   на  первое   и   заменяя  ^y/_x его значением, находим:

Отсюда t = 25 и, следовательно,

х = 75 руб.,  у = 90 руб.

__________________________________________________

857. Обозначим   через t₁ время,   прошедшее  до первой встречи, через   t₂— время,   прошедшее  до  второй  встречи,   и   через  R —рaдиус окружности. За время t₁ первое  тело прошло путь vt₁ а втoрое - путь    . Сумма   этих  путей   равна длине окружности, так что

                       (1)

За   время  t₂ каждое   тело   прошло   один   и   тот  же   путь,   равный длине окружности, так что

Исключая   отсюда  t₂, найдем .   Подставив  это  значение R  в (1), получим квадратное уравнение относительно t₁

Решив  это   уравнение  и   отбросив   отрицательный  корень   (так как по смыслу задачи должно быть  t₁ > 0), окончательно получим:

.

__________________________________________________

858. Обозначим    через    q₁    и    q₂   производительности   кранов (в л/мин) и через   v — объем   бассейна.   Время   наполнения бассейна каждым из кранов будет равно

                             (1)

Первое условие задачи приводит к уравнению

Используя равенства (1), получим квадратное уравнение

решениями которого будут    Из второго условия задачи следует:

v =(3•60 + 36)( q₁ + q₂ ) = 216( q₁ + q₂ ).

Из (1) находим искомые величины:

Есть и второе решение:

t₁ = 360 мин.,    t₂ = 540 мин.

__________________________________________________

859. Обозначим через γ  удельный вес воды, а через s — площадь поперечного  сечения  трубки.   Атмосферное   давление  р_а   найдется по формуле

р_а = γ с.

Если р_а—давление под поршнем в поднятом положении, то, по закону Бойля—Мариотта, для воздуха, заключенного между поршнем и уровнем воды, имеем

p₁(b — x)s = р_аhs       (рис. 2).

Уравнение равновесия столба жидкости имеет вид      р_а —  p₁ = γx       Это приводит к уравнению

( γ сокращается), т. е.  к квадратному уравнению

х² — (b + c)х + (b — h)c = 0.

Отсюда находим:

x = ¹/₂ [(b + c) — √(b — c)²  + 4hc].

__________________________________________________

860. Пусть p₁  и   p₂ — давления воздуха, находящегося под поршнем, в  положениях    I и II  соответственно   (рис. 3)   и γ — удельный вес   ртути.   

Уравнения   равновесия   столбов   ртути   высотой   12   см и х см будут соответственно

Закон Бойля—Мариотта для воздуха, находящегося под поршнем, дает уравнение

p₁29³/₄ = p₂(36— x).

Подставив сюда выражения для  p₁  и   p₂  из (1), получим квадратное уравнение для x:

29³/₄•  64 = (76 —  x)(36 — x),

или

х² — 112х +832 = 0.

Отсюда   х = 56± √3136 — 832 = 56 ± √2304 = 56 ± 48,   т.   е.   х  = 8 см.

__________________________________________________

861. Пусть  часы  спешат  на х минут в сутки.  Тогда они покажут верное время через ²/_xсуток. Если бы они показывали на 3 минуты меньше, а спешили бы на х + ¹/₂ минут в сутки, то верное время они   показали бы через  суток. Следовательно,

Решая это уравнение, найдем х = 0,5.

__________________________________________________

862. Если  х — исходные  суммы   вкладчиков, а у — процент, выплачиваемый сберкассой, то

умножая первое уравнение на п, второе на т  и вычитая из первого второе, найдем:

возвращаясь снова к первоначальной   системе и вычитая из первого уравнения второе, получим:

__________________________________________________

863. Обозначим   через v₁ и v₂  скорости точек, и пусть v₁ > v₂. Первое условие задачи запишется уравнением

Второе условие означает, что за время Т точка, движущаяся с большей  скоростью,   пройдет по окружности путь на 2πR больший, чем другая точка. Это дает второе уравнение

Тv₁—Тv₂ = 2πR.

Из второго уравнения находим:

Подставив это выражение для v₂ в первое уравнение, получим квадратное уравнение для v₁:

__________________________________________________

864. Пусть  v —объем   раствора  в   колбе,   х — количество  соли, содержащейся в растворе, в процентах. В пробирку  отливают ^v/_n  раствора   и   выпаривают  до тех пор, пока процентное содержание соли не повысится вдвое. Так как количество соли при этом не изменяется, то, следовательно, объем раствора в пробирке уменьшится вдвое и вес выпаренной воды будет равен ^v/_2n.

После   переливания   выпаренного    раствора    обратно   в   колбу в колбе  снова  будет  то  же   количество  соли,   что и раньше,  т. е. v ^x/₁₀₀  ,   а   объем  раствора   уменьшится   на ^v/_2n.     Отсюда     получаем  уравнение

из которого находим:

х  =  (2n — 1)р.

__________________________________________________

865. Пусть в первом  сосуде было х литров спирта;  тогда во втором   будет  30—х  литров.  После  доливания   первого   сосуда водой в 1 л полученной смеси содержалось    ^x/₃₀ спирта и 1— ^x/₃₀ воды.

После переливания из первого сосуда во втором стало 30 — х + ^x/₃₀ x  литров спирта и  ( 1— ^x/₃₀ )х литров воды. Эта новая смесь такова, что в одном литре смеси содержится

1— ^x/₃₀ +(^x/₃₀)² литров спирта.

После того, как 12 л новой смеси было отлито в первый сосуд, в нем оказалось

12 [1— ^x/₃₀ +(^x/₃₀)²] +  ^x/₃₀(30—х) литров спирта,

а во втором сосуде

18 [1— ^x/₃₀ +(^x/₃₀)²]   литров спиртаю

По условию

откуда получаем уравнение

x² —30х +200 = 0.

Это уравнение имеет корни

x₁ =20,   x₂=10.

Итак, в первом сосуде было либо 20 л (и тогда во втором 10 л), либо 10 л (и тогда во втором 20 л).

__________________________________________________

866. Пусть   х — расстояние  от   первого  берега   до  того  места, где С  покинул лодку. Заметим сначала, что на таком же расстояний от второго  берега А сел в лодку.   Действительно,   способ,  которым преодолели   переправу   А и С, отличается лишь тем,  что С сначала ехал в лодке,   а  затем  плыл, а А—наоборот.   Так   как они плывут с одинаковой скоростью v, причем v=/= v₁, и затрачивают одинаковое время  на   переправу,   то,   очевидно,   указанные  расстояния должны быть равны.

После этого замечания легко составить уравнение

Здесь левая часть выражает время, затраченное лодкой на преодоление пути до встречи с A, а правая часть — время, которое затратил A до встречи с лодкой.

Из полученного уравнения находим:

Примечание, Можно было бы решить задачу и без предварительного замечания о равенстве указанных выше расстояний. При этом, однако, пришлось бы ввести несколько неизвестных и решение оказалось бы более громоздким.

__________________________________________________