|
ГЛАВА 8
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
867. Поезд вышел со станции А по направлению к В в 13.00. В 19.00 он вынужден был остановиться из-за снежного заноса. Через 2 часа путь удалось расчистить, и, чтобы наверстать потерянное время, машинист повел поезд на остальном пути со скоростью, превышающей скорость поезда до остановки на 20%. В результате поезд пришел в В с опозданием лишь на 1 час. На следующий день поезд, шедший из А в В по тому же расписанию, попал в занос на 150 км дальше от А, чем первый поезд. Простояв 2 часа, он тоже пошел со скоростью на 20% выше прежней, но смог наверстать лишь полчаса и опоздал в В на 1 час 30 минут. Найти расстояние между А и В. Решение
868. Пристань А находится на расстоянии а км вниз по течению от пристани В. Моторная лодка совершает рейс от A до В и обратно (не задерживаясь в В) за Т часов. Найти скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если известно, что в один из рейсов при возвращении из В в А моторная лодка потерпела аварию на расстоянии b км от А, задержавшую лодку на Т0 часов и уменьшившую в дальнейшем ее скорость вдвое, в результате чего путь от В к А был пройден за такое же время, как и путь из А в В. Решение
869. Бак объемом 425 м3 наполнился водой из двух кранов, причем первый кран был открыт на 5 часов дольше второго. Если бы первый кран был открыт столько времени, сколько на самом деле был открыт второй, а второй кран был бы открыт столько времени, сколько был открыт первый, то из первого крана вытекло бы вдвое меньше воды, чем из второго; если открыть оба крана одновременно, то бак наполнится через 17 часов.Учитывая все указанные условия, определить, сколько времени был открыт второй кран. Решение
870. По графику поезд должен проходить перегон АВ в 20 км с постоянной скоростью. Первый раз поезд прошел полпути с этой скоростью и остановился на 3 минуты; чтобы во-время прийти в В, ему пришлось остальные полпути идти на 10 км в час быстрее. Второй раз поезд застрял на полпути уже на 5 минут. С какой скоростью он должен был идти оставшуюся часть пути, чтобы прибыть в В по расписанию? Решение
871. Два самолета вылетают одновременно из пунктов А к В навстречу друг другу и встречаются на расстоянии а км от середины АВ. Если бы первый самолет вылетел на b часов позже второго, то они встретились бы на середине АВ. Если же, наоборот, второй самолет вылетел бы на b часов позже первого, то они встретились бы на четверти пути от В. Найти расстояние АВ и скорости самолетов. Решение
872. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А. Решение
873. Два тела начали двигаться одновременно в одном и том же направлении из двух мест, расстояние между которыми равно 20 м. Одно из них, находящееся позади, движется равноускоренно и проходит в первую секунду 25 м, а в следующую секунду на 1/3 м более; другое тело, двигаясь равнозамедленно, проходит в первую секунду 30 м, а в следующую на 1/2 м менее. Через сколько секунд первое тело нагонит второе? Решение
874. Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем поднимается против течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равна 1 км/час. В каких пределах должна лежать собственная скорость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов? Решение
875. Вместимости трех кубических сосудов А, В и С относятся как 1 : 8 : 27, а объемы налитой в них воды —как 1 : 2 : 3. После переливания из А в В из В в С получили во всех трех сосудах слой воды одинаковой глубины. Затем перелили из С в В 128 4/7 л, а после этого из В в А столько, что глубина воды в А стала вдвое больше, чем в В. При этом оказалось, что в А имеется на 100 л воды меньше, чем было первоначально. Сколько воды было вначале в каждом сосуде? Решение
876. Найти четырехзначное число по следующим условиям: сумма квадратов крайних цифр равна 13; сумма квадратов средних цифр равна 85; если же из искомого числа вычесть 1089, го получится число, записываемое теми же цифрами, что искомое, но в обратном порядке. Решение
877. По окружности, длина которой равна l м, двигаются две точки со скоростями v и w < v. Через сколько времени от начала движения будут происходить последовательные встречи точек, если эти точки двигаются по одному и тому же направлению и первая начала двигаться на t секунд раньше второй, отставая в начальный момент на расстояние а м от второй по ходу движения (а < l). Решение
878. Сплав весом Р кГ из двух металлов теряет а воде А кГ. Кусок первого из двух металлов, составляющих сплав, весом Р кГ теряет в воде В кГ, а второго — С кГ. Найти вес составляющих сплав металлов и исследовать возможность решения задачи в зависимости от величин Р, А, В, С. Решение
879. Плоты шли из пункта А до устья реки вниз по течению. В устье реки их взял на буксир пароход и через 171/8 суток после выхода плотов из А доставил их по озеру в пункт В. Сколько времени пароход вел плоты от устья реки по озеру до В, если известно, что пароход тратил на рейс (без буксировки) от А до В 61 час и от В до А — 79 часов и что его скорость во время буксировки уменьшается вдвое? Решение
880. На участке реки от А до В течение так слабо, что им можно пренебречь; на участке от В до С течение уже достаточно сильное. Лодка покрывает расстояние вниз по течению от А до С за 6 часов, а от С до А, вверх по течению, за 7 часов. Если бы на участке от А до В течение было таким же, как на участке от В до С, то весь путь от А до С занял бы 5,5 часа. Сколько времени в этом случае понадобилось бы на то, чтобы подняться вверх от С до А? Решение
881. Сосуд содержит р% -й раствор кислоты. Из него отлили а л и добавили то же количество q%-гo раствора кислоты (q<p). Затем, после перемешивания, эту операцию повторили еще k—1 раз, после чего получился раствор крепостью r %. Найти объем сосуда. Решение
882. Вклад в А рублей положен в сберегательную кассу из р% годовых. В конце каждого года вкладчик берет В рублей. Через сколько лет после взятия соответствующей суммы остаток будет втрое больше первоначального вклада? При каких условиях задача имеет решение? Решение
883. На лесной делянке ежегодный прирост древесины равен р%. Каждую зиму спиливается некоторое количество x древесины. Каково должно быть х для того, чтобы через п лет количество древесины на участке возросло в q раз, если начальное количество древесины равно а? Решение
884. Первый из п одинаковых цилиндрических сосудов налит доверху спиртом, а остальные — до половины смесью спирта с водой, причем концентрация спирта в каждом сосуде в k раз меньше, чем в предыдущем. Содержимым первого сосуда долили доверху второй, затем содержимым второго — третий и т. д. до последнего. Найти полученную концентрацию спирта в последнем сосуде. Решение
885. Рассматривается дробь (отношение двух целых чисел), знаменатель которой меньше квадрата числителя на единицу. Если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше, чем 1/3, если же от числителя и знаменателя отнять по 3, то дробь останется положительной, но будет меньше 1/10. Найти эту дробь. Решение
|