ГЛАВА 8

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ   И   АРИФМЕТИЧЕСКИЕ   ЗАДАЧИ

Ответы и решения

867. Обозначим искомое расстояние через s км, скорость поезда через  v   км/час.  За 6 часов до  остановки, вызванной  снежным заносом,   поезд   прошел   6v   км,   а   оставшуюся   часть   пути   длиной (s— 6v) км он прошел за  часов, так как скорость поезда на  этом участке пути была равна ⁵/₆ v.

Поезд  был  в   пути   всего  (с   учетом  двухчасовой  вынужденной стоянки)  часов.   Это   число  часов   на   один  час больше положенных по расписанию  ^s/_v  часов.     Таким    образом,    получаем уравнение

Проведя   аналогичное    рассуждение   относительно   второго   поезда, составим еще одно уравнение:

Из этой системы находим s = 600 км.

__________________________________________________

868. Обозначая через v скорость лодки в стоячей воде, а через w скорость течения, получим систему двух уравнений

Решая эту систему относительно неизвестных  и беря обратные величины, находим:

Отсюда следует, что

__________________________________________________

869. Пусть  х—время,   в  течение  которого   был открыт второй кран, v—скорость поступления воды из первого крана, w—скорость поступления  воды   из   второго  крана   (v и w  измеряются в м³/час). Имеем:

Из второго и третьего уравнений получаем:

Подставляя эти выражения в первое уравнение, находим:

3х²—41х—60 = 0,

откуда х=15 час. (Второй корень, отрицательный, не годится.)

__________________________________________________

870. Обозначим   искомую   скорость    поезда   через   v   км/час, а скорость   поезда   по  графику—через  v₁   км/час. Первую половину пути поезд проходил за   часов, на преодоление второй половины  и на стоянку поезд затратил в первый раз  часов   и   во второй   раз часов. Но оба   раза поезд пришел в В вовремя,

и поэтому

Из первого уравнения найдем v₁:

Это  уравнение  имеет  только   один   положительный   корень  v₁ = 40. Из второго уравнения найдем, что v = 60 км/час.

__________________________________________________

871. Пусть   расстояние   АВ   равно s  км,   а  скорости   первого и второго   самолетов   равны v₁ и v₂.  Тогда, в силу условий задачи, имеем систему трех уравнений:

Из   второго   и   третьего   уравнений  найдем:   х = ³/₂b, y = ⁵/₂b, а из первого:   Теперь  уже   нетрудно найти, что

__________________________________________________

872.  Пусть   u — скорость   катера в стоячей   воде, а v —скорость течения. Тогда имеем систему

Для ее решения положим ^u/_v = z.   Умножив   обе   части   второго уравнения на v , найдем:

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

24z²—168z = 0.

Так как z =/= 0,   то   z = 7.   Следовательно, u = 7v. Подставляя u = 7v  в первое уравнение системы, находим:

⁹⁶/_8v + ⁹⁶/_6u =14

откуда

v =2 км/час,      u =14 км/час.

__________________________________________________

873. Путь,  пройденный   каждым  телом   за   t   сек,   определяется формулой

Чтобы найти v₀ и а для   каждого  тела,  подставляем в эту формулу приведенные в условиях задачи числовые данные:

В тот момент, когда первое тело нагонит второе, будет s₁ = s₂ + 20; отсюда получаем квадратное уравнение для определения t:

t² —13t — 48 = 0.

Решая   его,   находим   t = 16.    Второй,   отрицательный,   корень   отбрасываем.

__________________________________________________

874. Пусть   v — собственная   скорость   лодки.   Тогда  время движения лодки равно

По условию имеем:

                (1)

Необходимо, чтобы было v > 1, так как в противном случае лодка не сможет двигаться против течения. От системы неравенств (1) перейдем к равносильной системе неравенств

3(v² — 1) < 16v — 4 < 4(v² — 1).

Итак, нужно, чтобы сразу выполнялись два неравенства:

3v²— 16v + 1 < 0

и

4v² —16v  > 0.

Первое неравенство удовлетворяется, если

Второе   неравенство   удовлетворяется,   если   v < 0   или   v > 4.   Но так как v > 1, то окончательно имеем:

__________________________________________________

875. Обозначим через x  объем воды в сосуде A до переливания. Тогда   первоначальный  объем   воды   в   сосудах   В и С  будет равен соответственно 2х и 3х, а общий объем х + 2х + 3х = 6х.

После первого переливания из A в В и из B в С глубина во всех сосудах стала одинаковой, и поэтому объемы воды относятся как площади основания, т. е. как 1 : 4 : 9. Поэтому после первого переливания объемы воды в сосудах А, В, С будут соответственно иметь значения

После второго переливания из С в В эти объемы станут соответственно равными

³/₇  x  ,    ¹²/₇ x + 128 ⁴/₇   ,   ²⁷/₇ x —128 ⁴/₇

После третьего переливания из В в А объем воды в А стал равным х—100, а в В —равным

¹/₂(x— 100)•4 = 2(x —100).

Сложив объемы воды во всех сосудах, получаем уравнение первой степени относительно х:

(х— 100) + 2 (х— 100) + ²⁷/₇ х— 128 ⁴/₇ = 6х.

Решая это уравнение, находим:

х = 500.

Итак, первоначальное количество воды во всех сосудах таково:

в А—    500 л,

в B — 1000 л,

в С— 1500 л.

__________________________________________________

876. Пусть искомое число имеет вид xyzt (здесь буквы х, у, z, t обозначают цифры соответствующих разрядов). По условиям задачи получаем следующую систему:

            (1)

В силу поразрядного вычитания в третьем уравнении системы (1) либо t= 9, либо

(10 + t )— 9 = х,

т. е.

x = t + 1.                  (2)

Но из первого уравнения системы (1) следует, что t < 4 и поэтому имеет место (2). Тогда из первого уравнения системы (1) получаем уравнение для определения t :

(t + 1)² + t ² =13,

откуда

t  = 2.

Из (2) следует теперь, что х = 3, и третье уравнение системы (1) принимает вид

3yz2— 1089 = 2zy3.                    (3)

Заметим далее, что z < 9 (если  z = 9, то из (3) следует, что у = 0, но тогда   не  удовлетворяется второе уравнение системы (1)).

Из (3) находим:

(z —1 + 10) — 8 = y,

т. е.

z = у —1.                                  (4)

Наконец, из второго   уравнения системы (1) и (4) определяем z = 6, у = 7. Итак, искомое число есть 3762.

__________________________________________________

877. Сначала   найдем   расстояние х от  начала   до места первой встречи. Уравнение времен движения обоих точек имеет вид

От начала движения до первой встречи прошло время, равное

Подставив сюда найденное значение х, получим:

Пусть  τ —интервал  времени между двумя последовательными встречами. Тогда

Последовательные встречи будут происходить в моменты   времени t₁, t₁+ τ, t₁+ 2τ,  ... Момент n-й встречи будет

__________________________________________________

878. Удельный   вес   первого   из   составляющих   сплав металлоз обозначим   через  γ₁ ,   второго—через    γ₂   и   воды — через    γ.   Пусть х—вес первого металла в сплаве.   По закону  Архимеда потеря веса сплава в воде равна

Аналогично для чистых металлов эта потеря будет равна

Эти   потери   даны и равны  соответственно   В и С. Отсюда находим:

Следовательно, потеря веса сплава равна

Для разрешимости задачи необходимо, чтобы В =/= С. Далее из того, что  ^x/_P  есть число, заключенное между 0 и 1, вытекает неравенство

Отсюда следует, что либо В > А > С, либо С > А > В. Итак, для того чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы число А было заключено между числами В и С.

__________________________________________________

879. Обозначим расстояние от пункта А до устья реки через s, расстояние от устья реки по озеру до пункта В — через s₁ скорость парохода (без буксировки) —через v, скорость течения реки через v₁.

Нужно определить .

Из условий задачи составляем три уравнения:

Из первого уравнения имеем:

      (1)

из второго уравнения найдем:

      (2)

из  третьего уравнения получим:

       (3)

Вычитая из  равенства (1)  равенство (2) и используя   равенство (3), получим уравнение относительно х:

Решая это уравнение, находим:

x₁=20,    x₂ = 224.

Очевидно,  значение  x₂ = 224  не подходит, так как в уравнении (1) левая часть не может быть отрицательна.

__________________________________________________

880. Обозначим расстояние АВ через s, расстояние ВС — через s₁; пусть, далее, v —скорость лодки, v₁—скорость течения (предполагается, что s и s₁ выражены в одних и тех же единицах длины; v и v₁ —скорости, рассчитанные на час).

Для движения лодки вниз по течению от A до С имеем:

                      (1)

Для движения лодки вверх по течению от С до A имеем:

                        (2)

При   условии,   что  на   АВ   течение  такое  же,   как и на ВС, путь АС займет

                        (3)

Нужно определить отношение  .

Приведем уравнения (1), (2) и (3) к общему знаменателю и, умножив обе части уравнения (3) на v =/= 0, получим систему

                 (4)

Сложив первые два уравнения и используя третье, получим:

2(s + s₁) v = v (13v—v₁) = 11v(v + v₁).

Отсюда    v = 6v₁    Но из третьего уравнения системы (4) имеем .

Следовательно,

__________________________________________________

881.  Обозначим через v объем сосуда, и пусть α₁ — процентное содержание кислоты в нем после первого перемешивания, α₂— процентное содержание кислоты после второго перемешивания и т. д. Имеем:

Умножая  s-e  равенство на   и складывая, получаем:

__________________________________________________

882.  В конце первого года вклад возрос на ^Ap/₁₀₀  рублей, а вкладчик взял В рублей. Поэтому к началу второго года вклад составил в рублях сумму

P₁ = A(1+ ^p/₁₀₀) — В

В конце второго года вклад составил сумму

P₂ = P₁ (1+ ^p/₁₀₀) — В = A(1+ ^p/₁₀₀) ² — В [ 1 +  (^p/₁₀₀  +  1 )]

а в конце третьего года

Р₃ = Ak³ — В ( l + k + k² ), где

k = 1+ ^p/₁₀₀.

Очевидно, в конце n-го года сумма вклада будет равна

По  условию   задачи   нужно   найти   такое п, чтобы Р_n  > 3А.  Тогда

Задача имеет смысл, если сумма вклада возрастает, т. е. если

Ар> 100 В.

Так как, кроме того, р > 0, А > 0, В > 0,   то выражение, стоящее в правой части неравенства (1), имеет смысл.

__________________________________________________

883. В  конце   первого   года на лесной делянке древесины было

a(1+ ^p/₁₀₀) — x = a₁

к концу второго года —

a₁(1+ ^p/₁₀₀) — x = a₂

к концу третьего года —

a₂(1+ ^p/₁₀₀) — x = a₃

и т.. д. Наконец, к концу n-го года было

a_{n —1}(1+ ^p/₁₀₀) — x = a_n= аq

древесины. Нужно определить х.

Положив для сокращения записи  1+ ^p/₁₀₀ = k     из    последнего уравнения получим

x = ka_{n —1} —aq. Из предыдущего уравнения выразим a_{n —1}  Получим:

x= k (ka_{n —2}—х)—aq = k²a_{n —2}—kх—aq.

Но

a_{n —2} = ka_{n —3}—x.

Следовательно,

x = k³a_{n —3} — k²x — kx — aq.

Продолжая   далее  таким   же образом, мы выразим,   наконец, a₂  через a₁ и получим следующее уравнение относительно х:

__________________________________________________

884. До переливания концентрация q_i спирта была равна:

Пусть после всех переливаний концентрации стали равны соответственно: p₁,   p₂, ..., p_n . Тогда p₁ = 1, а p _i при i > 1   определяется из уравнения

Это уравнение мы получаем, деля количество спирта

которое  оказывается   в  i-м   сосуде  при  переливании   из   ( i— 1)-го сосуда, на объем всего сосуда v. Таким образом,

__________________________________________________

885.  Дробь имеет вид   ,    где   р — целое,    большее    нуля. Условия задачи записываются в виде неравенств

Преобразуем первое неравенство к виду

3(р + 2) > р² + 1 или 0 > р² — 3р —5.

Решая соответствующее квадратное уравнение, получим:

Из  неравенства   0 > р² — 3р —5  получаем  р₂ < р < р₁.   Но р₂ < 0, а р > 0, поэтому

Легко видеть, что  р₁  лежит между 4 и 4,5. Следовательно, из этого неравенства вытекает, что р, как число целое, может принять только одно из четырех значений: р =1, 2, 3, 4. Подставляя эти значения во второе неравенство

находим, что р =/=1, р =/=2 и   р =/=3. Таким образом,

__________________________________________________