ГЛАВА 8

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К  РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Группа B

0381.  В куске сплава массой в 6 кг содержится медь. В куске другого   сплава   с   массой   8   кг   содержится меди в процентном отношении вдвое меньше, чем в куске первого сплава. От первого куска отделили некоторую часть и от второго куска отделили часть, вдвое большую по массе, чем от первого куска. Каждую из отделенных частей сплавили с остатком другого куска, после чего получили два новых сплава с одинаковым процентным содержанием меди. Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков первоначальных сплавов?

0382.  Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Бриллиант  массой  р карат был разбит на две части, после чего его стоимость уменьшилась в k раз. Найти массу частей, на которые   был   разбит   бриллиант   (1   карат = 0,2   г).   Доказать,   что наибольшая   потеря в стоимости бриллианта будет в том случае, когда обе его частицы равны по массе.

0383.   Куплено   несколько   килограммов  товара   двух сортов: первого на 45 руб. и второго на 20 руб. Первого сорта куплено на один килограмм больше. Стоимость одного килограмма товара первого   сорта   на   а   руб.   выше   стоимости   одного килограмма второго    сорта.    Сколько    килограммов   товара    каждого   сорта куплено? Определить число решений в зависимости от возможных значений а.

0384.   Уголь, добываемый в пункте A, продается по q рублей за  тонну,   а   добываемый  в  пункте В— на p% дороже. Пункты А и В соединяет дорога длиной S км. В какой зоне этой дороги АВ расположены потребители угля, для которых закупка и доставка угля из пункта В обходится  дешевле,   чем   из  пункта  А,   если перевозка 1 Т угля на расстояние 1 км обходится в r рублей? В каком месте дороги АВ расположено предприятие, расходы которого на потребление угля не зависят от выбора пункта снабжения А или B? Исследовать возможные случаи.

0385. Окружность касается двух взаимно перпендикулярных осей Ох и Оу и прямая АВ касается окружности в точке Р (см. рис. 10). Радиус окружности равен R, а площадь треугольника ОАВ в k/π раз больше площади круга. Требуется найти длины отрезков ОА и ОВ, а также установить допустимые числовые значения k для любого положения точки Р на окружности, при котором координаты точек А и В остаются положительными и большими, чем R.

0386. Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы  их  было  на  4   человека   больше  и  каждый  работал в день на 1 ч больше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если бы их было еще на 6 человек больше и каждый работал бы еще на 1ч в день дольше, то эта работа была бы сделана за 7 дней. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали?

0387.   Пять человек   выполняют   некоторую   работу.   Первый, второй и третий, работая вместе, могут выполнить всю работу за 71/2 ч; первый, третий и пятый вместе — за 5 ч;   первый, третий и четвертый вместе — за 6 ч, а второй, четвертый и пятый вместе — за 4 ч. За какой промежуток времени выполнят эту работу все 5 человек, работая вместе?

0388.   На соревнованиях авиамоделей с моторчиками лучшими сказались две модели. При   встречном   ветре первая модель продержалась  в  воздухе  на  т  мин  меньше  второй, но  пролетела на h м дальше. Скорость ветра  с м/мин,   но   на  продолжительность полета модели   ветер не влияет;   от  ветра   зависит только дальность полета. Предполагается, что собственная скорость каждой модели все время постоянна.   Какая из этих моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде?

0389.  Одновременно из пунктов А я В навстречу  друг другу снялись с якоря плот (по течению) и лодка. Через  5  часов они встретились и продолжали  движение без остановок.  Лодка  приплыла в пункт А и, повернув обратно, догнала плот в пункте В. Предполагается, что собственная скорость лодки  все  время одинакова.    Закончат   ли   плот   и   лодка   свое   движение   за   12,5 часов?

0390. Из пункта А отправилась моторная лодка вверх по Волге, а из пункта В одновременно вышел плот по течению. Через а часов они встретились и далее двигались без остановок. Дойдя до пункта В, лодка, не задерживаясь, повернула обратно и догнала плот в пункте А. Предполагается, что собственная скорость лодки была все время неизменной. Сколько времени находились в плавании плот и  лодка?

0391. Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку в 50 м, немедленно повернуть обратно и вернуться к месту старта. Сначала стартует первый, через а секунд — второй, еще через а секунд — третий. В некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, пловцы оказались на одном расстоянии от старта. Третий пловец, доплыв до конца дорожки и повернув назад, встретил второго в S м от конца дорожки, а первого в r м от конца дорожки. Найти скорости первого и третьего пловцов и установить связь в виде неравенств между параметрами r и S так, чтобы задача имела решение.

0392. Согнутые из проволоки окружность и прямоугольник прилажены так, что окружность проходит через две вершины А и В и касается стороны CD (см. рис. 11). Диаметр окружности равен 0,2 м, а периметр прямоугольника в k раз больше диаметра. Найти стороны прямоугольника только для таких   целых   значений k, которые возможны.

0393. В декабре 1965 г. по программе центрального телевидения на экранах телевизоров появилась равномерно двигавшаяся колонна нарисованных автомобильчиков, сохранявших между собой постоянную дистанцию. Зрителям сообщалось, что длина всей колонны 5 км. В последнем автомобиле ехал начальник колонны, а рядом— мотоциклист. Но вот по поручению начальника мотоциклист увеличил скорость, поравнялся с головной машиной, передал водителю пакет, мгновенно развернулся и с той же скоростью, с какой ехал вперед, поехал обратно на свое место, рядом с начальником колонны. Начальник сообщил мотоциклисту, что, пока тот выполнял поручение, колонна продвинулась вперед на 5 км. Сколько километров проехал мотоциклист?

0394.   Из пунктов А и В одновременно выезжают два автомобиля и встречаются в 12 ч дня. Если скорость первого удвоить, а скорость второго оставить первоначальной, то встреча произойдет на 56 мин раньше. Если же скорость второго удвоить, а скорость первого оставить первоначальной, то они встретятся на 65 мин раньше. Определить время встречи в том случае, когда скорость обоих была бы удвоенной.

0395.  Из аэропорта к центру города вышел автомобиль — такси и одновременно из центра города  в  аэропорт  вышел  автобус — экспресс. Когда первый прошел половину пути, второму осталось до конца маршрута   19,2 км,   а  когда  второй  прошел  половину пути, первому осталось до конца маршрута 12 км. Сколько километров остается пройти  автобусу   после того,   как  такси   закончит свой маршрут?  Предполагается, что скорости  такси и автобуса постоянны на всем пути.

0396.   Расстояние между двумя точками равно  d.   Под действием некоторых сил обе точки  начинают  равномерное движение навстречу одна другой. Чтобы они встретились на середине пути, нужно первой точке начать движение на t единиц времени раньше второй. Если же обе точки  начнут  сближение одновременно, то через Т  единиц  времени  расстояние  между  ними  составит k-ю часть (k >1) первоначального расстояния.   Найти  скорость движения каждой точки.

0397.  Два  брата   имели  билеты  на  стадион,   расположенный в 20 км от их дома. Вначале они намеревались добраться до стадиона пешком но  изменили намерение и решили воспользоваться своим велосипедом договорившись, что один отправится на велосипеде, а другой  одновременно с ним — пешком.   Проехав  часть пути, первый оставит велосипед, а второй, дойдя до оставленного велосипеда, дальше поедет  на   нем   и  догонит  первого   у   входа на стадион. Сколько  времени   выигрывают  братья   при  этом  по сравнению с первоначальным намерением идти весь путь пешком, если  каждый  из  них на велосипеде преодолевает каждый километр на  12 мин быстрее, чем пешком?

0398.  Спортсмен,   тренируясь  в  быстрой ходьбе вдоль шоссе, заметил,   что  каждые 6  мин его догоняет троллейбус и каждые 3 мин проходит встречный троллейбус. Требуется найти, через какие промежутки времени отправляются троллейбусы с конечных пунктов и во сколькo раз медленнее троллейбуса шел спортсмен, если допустить, что в обе стороны троллейбусы отправляются через одинаковые промежутки времени, идут без остановок с постоянной и одинаковой скоростью. Спортсмен также идет без остановок с постоянной скоростью (см. рис. 12, где AB — график движения спортсмена, прямые   M1N1 | | M2N2 и P1Q1 | | P2Q2 — графики движения каких-либо последовательно идущих один за другим троллейбусов попутно спортсмену и навстречу ему).

0399.  От   станции   А   по   направлению   к   станции В отошел пассажирский   поезд.   Через   а   ч от станции В по направлению к станции А отошел поезд «Стрела». Поезда встретились на станции   С.   После   встречи   пассажирский   поезд   шел   b ч, а поезд «Стрела»   шел   с  ч.   Сколько   времени   потребовалось   каждому из  этих   поездов  на  весь  путь между станциями A и B? Предполагается, что скорость поездов постоянна на всем пути.

0400.  По  расписанию  учебно-тренировочных  занятий сначала из   пункта   A  выедет  один   связист,   а через 6 ч выедет второй связист  с   такой   скоростью,   чтобы   нагнать   первого   в  180 км от   пункта А. Но в момент отправления первый связист получил распоряжение   ехать   со   скоростью   на   а   км/ч   большей,   чем намечалось первоначально. Второму же связисту не разрешалось увеличивать   скорость,   намеченную   расписанием, поэтому чтобы точно выполнить задание, ему пришлось выехать из пункта А на 3 ч раньше, чем намечалось. Сколько времени будет в пути каждый связист? Требуется, кроме того, доказать, что задача имеет смысл только при а<√30 .

0401.  Два   поезда выходят одновременно из А и В навстречу друг   другу   и встречаются на расстоянии  р км от В. Через t ч после  встречи второй поезд, миновав пункт A, находился в q км от   него,   а первый   в   это   время, миновав   пункт В, находился от  второго  поезда   на  расстоянии в два раза большем, чем расстояние   между   А   и   В.   Найти   скорости поездов и расстояние между   A   и   В.   Поезда не имели остановок и скорости их считаются постоянными.

0402.  Два  приятеля   собрались на охоту. Один из них живет в 46 км от охотничьей базы, другой, имеющий «Москвича», в 30 км от   базы — между этой базой и домом своего приятеля. Они тронулись в путь одновременно, причем владелец «Москвича» поехал навстречу своему приятелю, идущему пешком. Встретившись, они вместе   поехали на базу и прибыли туда через час после выхода из дома.  Если бы пешеход вышел из дома на 2 ч 40 мин раньше владельца   «Москвича»,   то   приятели   встретились   бы   в   11 км от  дома   пешехода.   Какова скорость автомобиля? Скорости движения пешехода и автомашины считать постоянными.

0403.  Поезд был задержан на станции отправления на 1 ч 42 мин. Получив  сигнал  отправления, машинист повел состав по такому графику:   на   участке,   составляющем   0,9 всего пути от станции отправления  до   станции   назначения,   он поддерживал скорость на 20% выше обычной и 0,1 пути вел состав со скоростью на 25% выше обычной. В результате поезд прибыл на станцию назначения без опоздания. Какова продолжительность движения этого поезда между станциями при обычной скорости?

0404.   Из  А   и   Б одновременно выехали мотоциклист и велосипедист в пункты В и Г соответственно, лежащие между А и Б. Встретившись   в  Д,   они   обменялись   машинами и каждый продолжал   свой   путь.   В   результате   первый затратил на поездку от  А   до  В 6 ч, а второй затратил на поездку от Б до Г 12 ч. Определить  длину   пути А Б, если известно, что каждый едущий на   мотоцикле   развивает   скорость   60   км/ч,   а на велосипеде — 25   км/ч   и,    кроме   того,   средняя   скорость   движения первого на пути А В равна средней скорости движения второго на пути БГ.

0405.   На беговой дорожке одновременно стартовали два конькобежца на дистанцию 5 м. Когда победитель достиг финиша, другому осталось бежать еще целый круг. Определить длину беговой дорожки, если победитель, пробегая каждый круг на а сек быстрее побежденного,   закончил   дистанцию   в   t   мин.   Считается,   что скорости спортсменов сохранялись постоянными на всей дистанции.

0406.   Вместимости трех сосудов А, В, С, каждый из которых имеет  форму   куба,   относятся,   как   1 : 8 : 27, а объемы налитой  в  них  воды — как    1 : 2 : 3.    После    переливания    части   воды из   сосуда   А   в   сосуд   В   и   из   сосуда   В в сосуд С получили во   всех   трех   сосудах   слой   воды   одинаковой   глубины.  Затем перелили   1284/7   л   воды   из   сосуда  С в сосуд В, а после этого из сосуда В в сосуд А столько, что глубина воды в сосуде А стала вдвое больше, чем в сосуде В. При этом оказалось, что в сосуде А имеется теперь на 100 л воды меньше, чем было первоначально. Сколько воды было первоначально в каждом сосуде?

0407.   Соревнуются  три  бригады  лесорубов. Первая и третья бригады   обработали   древесины   в   2   раза   больше,  чем   вторая, а вторая и третья — в 3 раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом соревновании?

0408.   Однажды телевизионная   камера   появилась   на  станции метро. На экранах телевизоров зрители увидели, что на верхней площадке около движущегося вниз эскалатора стоят два человека, которые одновременно начали   спускаться по эскалатору,   причем один шел вдвое  быстрее  другого.  Зрителям   сообщили, что один из спускавшихся   насчитал 60 ступенек, а второй — 40.   Сколько ступенек   пришлось   бы   им   отшагать  по   неподвижному эскалатору?

0409.   Из А в В   и   из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда   первый   прошел   половину   пути,   второму до конца пути осталось пройти  24 км, а   когда  второй   прошел   половину пути, первому до конца   пути   осталось   пройти   15 км.   Сколько километров останется пройти второму пешеходу   после того, как первый закончит переход?

0410.   Три космических корабля проходят  с  постоянными, но различными скоростями прямолинейный участок АВ пространства. Сначала  точку   А   прошел   первый   корабль,   а  5 мин  спустя— в том же направлении   второй и третий. Через  некоторое  время произошло сближение третьего корабля  с  первым,   а  еще  через 10 мин и второй космический корабль сблизился с первым. После сближения корабли продолжали движение с прежними скоростями. За какое время  первый   корабль   пройдет   расстояние  АВ,   если  второй прошел это расстояние за один час, а третий — за 40 мин?

0411.   К   берегу   водохранилища   подошли   трое:   А,  В  и  С.    А   отправился    на    противоположный    берег   вплавь   со   скоростью v км/ч. Одновременно отправились В и С на моторной лодке со скоростью 10v  км/ч.   Через некоторое время С решил остаток пути преодолеть вплавь и поплыл с той же скоростью, что и А. В тот же момент В повернул назад, чтобы взять в лодку А.   А быстро садится в лодку и продолжает путь вместе с В. На противоположном берегу все трое оказываются одновременно. Определить время переправы, если известно, что ширина водохранилища равна b км (скорость течения предполагается равной нулю).

0412.  От  почты  А   до  поселка  В  надо  пройти  9 км.   Пока у почтальона не появился мотоцикл, он весь путь туда и обратно, не   задерживаясь   в   поселке,   проходил   ровно   за   3 ч 41   мин. Дорога из  A в В идет сначала в гору, потом  по  ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту,   если в гору  почтальон  идет со  скоростью  4 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а под гору 6 км/ч?

0413.  Между пунктами   А   и   B,   удаленными  друг  от друга на 3,01 м, совершает колебательное движение  материальная частица  m1.   Скорость  ее  постоянна   и  на   конечных   пунктах она не   задерживается.   Одиннадцать   секунд   спустя   после   выхода частицы  m1 из пункта А, из пункта  В   начинает двигаться  другая частица  m2 тоже с постоянной,   но меньшей   скоростью. Эта частица, двигаясь в направлении пункта   А, дважды  встречается с частицей  m1, а именно через 10  и 45 сек после  выхода второй частицы. Определить скорости обеих частиц.

0414.  Два автомобилиста встретились на полпути между городами A и В. При встрече  выяснилось, что первый из A выехал раньше, чем второй   из   В, на  столько часов,   сколько  составит половина того времени (тоже в часах), которое прошло бы до их встречи при одновременном выезде   из  тех  же  пунктов,   по  той же дороге, с теми же скоростями,   постоянными   на   всем   пути. Во   сколько раз второй автомобилист ехал быстрее первого?

0415.  Самоходный  каток, употребляемый  для  ремонта дорог, в состоянии укатывать полосу шириной в 0,85 м, причем каждая следующая полоса перекрывает предыдущую на четверть ее ширины. С какой скоростью должен двигаться этот каток, чтобы за время, не большее 6 ч и не меньшее 5 ч, можно было дважды провести укатку участка шоссе длиной 750 м и шириной 6,5 м?

0416.  Из аэропорта к центру города выехал автомобиль-такси и одновременно  из  центра  города   в  аэропорт   выехал  автобус-экспресс. Когда такси проехал половину пути, автобусу осталось до конца маршрута 19,2 км, а когда  автобус  проехал половину пути, такси осталось до конца маршрута   12 км. Найти  отношение скоростей такси и автобуса, если скорости такси и автобуса на всем пути постоянны.

0417.  Две точки   А   и  В,   первоначальное  расстояние  между которыми   равно а,   одновременно  начали  двигаться  по разным сторонам прямого угла к его вершине с одной и той же постоянной скоростью v. Точка В достигает вершины на t единиц времени раньше, чем точка А (все измерения выполнены в одной системе единиц). Определить, сколько времени двигалась точка А. Если заданы только v и t, то какое значение надо придать величине а, чтобы искомое время приняло наименьшее из возможных его значений?

0418.   Три совхоза   расположены не на одной   прямой   линии. Расстояние от первого до третьего   через   второй  вчетверо  длиннее прямого пути между ними; расстояние от первого до второго через третий   на  а км длиннее прямого пути; расстояние от второго до третьего через   первый   равно 85 км. В каком интервале находятся все значения а, для которых было бы возможным указанное расположение совхозов не на одной прямой линии? Вычислить расстояние между совхозами при а = 5.

0419.   Дорога от почты А до поселка   В   идет сначала в гору на протяжении 2 км, потом по ровному месту 4 км и затем под гору  3 км.   Пока   у  почтальона   не   появился   мотоцикл ,   он  от почты  А   до   поселка   В   доходил   за   2 ч   16 мин,   а   обратно — за 2 ч 24 мин.  Естественно, что в гору он идет медленнее, а под гору быстрее, чем по ровному  месту.  Если   бы   конечный   пункт его пути  был   расположен   по  той   же  дороге,   но   вдвое  ближе к почте А, то на весь путь туда и обратно почтальону  было бы достаточно   2 ч   19  мин.   Сколько   километров   в час проходит почтальон всякий раз, когда он идет: а) в гору, б) по ровному месту, в) под гору?

0420.   Имеется брусок в форме прямой треугольной   призмы (рис.  13).  Непосредственным   измерением   получены   размеры сторон основания:   a,   b и  с. На боковых ребрах  призмы    надо   наметить  точки М и N так, чтобы при распиливании бруска по   линиям   СМ   и   CN  в сечении   получился равносторонний треугольник CMN. Найти    размеры отрезков    AN    и    ВМ, если, конечно,  возможно  такое сечение.

0421.   Из  двух    пунктов   А   и   В   одновременно   выехали  два инспектора к месту происшествия, в пункт С. Первый инспектор примчался  в  пункт  С  через   а   мин.   Если   второй   инспектор будет стремиться попасть из пункта В в пункт  С одновременно с первым, то ему придется на проезд каждого  километра затрачивать на с мин меньше, чем первому, так как расстояние от В до С на b км больше расстояния от А до С. На каком расстоянии от пункта А случились происшествие?

0422.  Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг  другу.   Через  4 ч   после   встречи   велосипедист, ехавший   из   А, прибыл   в  В,   а  через  9 ч  после   встречи велосипедист,   ехавший из В, прибыл   в   А.   Сколько  часов  был в пути каждый велосипедист?

0423.  Два прямолинейных железнодорожных пути пересекаются под прямым   углом. К месту пересечения приближаются по этим путям   два   поезда:   один   со   станции,   находящейся  в 40 км от места пересечения путей, другой со станции, находящейся в 50 км от того же пункта. Движение  обоих   поездов   равномерное. Первый — со скоростью 800 м/мин, второй — со скоростью 600 м/мин. Остановка поездов в пункте пересечения путей не предполагается. Через какое время, считая с момента  одновременного  отправления,   поезда   были   на   наименьшем   расстоянии  друг  от  друга? Каково это наименьшее расстояние?

0424.  Юноша, проезжая на равномерно  движущемся трамвае, заметил своего знакомого, идущего в противоположную  сторону. Через 8 сек он сошел на остановке и пошел пешком за знакомым. Через сколько времени он его  догнал,   если   скорость его   вдвое больше скорости знакомого и в 5 раз меньше скорости трамвая?

0425.  К цветущей яблоне полетел шмель со скоростью v1 м/мин. Одновременно   к  другой    яблоне   полетела   пчела   со  скоростью v2 м/мин. При этом шмелю нужно  было   преодолеть   расстояние в 2а м, а пчеле — расстояние в 2b м. Предположим,   что траектории их   полета — взаимно   перпендикулярные   прямые,   пересекающиеся в точке, делящей пополам и путь шмеля, и путь пчелы. Найти формулу, выражающую  зависимость   расстояния у между шмелем и пчелой от времени х  их   полета.   Установить  момент, когда в полете шмеля и пчелы расстояние между ними достигает наименьшего значения? Исследуйте, пролетит ли пчела или шмель точку пересечения их траекторий к моменту, когда будет достигнуто наименьшее расстояние между шмелем и пчелой.

0426.  Два велосипедиста выезжают одновременно из пункта А с различными (но для каждого постоянными)  скоростями и едут к пункту В. Достигнув его, они тотчас же едут обратно. Первый велосипедист, ехавший быстрее второго, на обратном пути встретил второго на расстоянии а км от В; затем, достигнув А,  едет снова по направлению к В и, пройдя k-ю часть пути АВ, встречает второго велосипедиста, возвращающегося из В.  Найти   расстояние от А до В.

0427.  Два поезда, длиной в 490 м и 210 м,  равномерно движутся навстречу друг другу по параллельным путям. Машинист одного из них заметил   встречный  состав  на   расстоянии 700 м; после этого через 28 сек поезда встретились. Определить скорость (км/ч) каждого поезда, если известно, что один из них проезжает мимо светофора на 35 сек дольше другого.

0428.    Кортеж   автомобилей   с   космонавтами,   совершившими полет на Луну, равномерно движется по проспекту со скоростью v км/ч.   Протяженность   кортежа   постоянно  сохраняется   равной т м. Букет цветов, брошенный из  окна  дома,   попал в коляску мотоциклиста,    ехавшего   сзади   кортежа.   Мотоциклист  проехал вперед, передал букет космонавту, находившемуся в первом автомобиле, и тотчас отправился обратно. На проезд туда и обратно вдоль двигающегося кортежа мотоциклисту потребовалось t мин. Вычислить скорость мотоциклиста, если она на всем   пути   была одинакова.

0429.  На станции сошли с поезда два   рыбака и направились к озеру по одной дороге.   Один  из  них первую  половину  пути прошел в полтора раза скорее, чем вторую половину пути. Другой шел первую половину времени со скоростью в полтора раза большей, чем вторую половину времени, и пришел к озеру одной минутой раньше первого.   За   какое  время   каждый  из   рыбаков дошел от станции до озера?

0430.  Арбузы, привезенные на базу, предназначены для двух магазинов. Первый магазин  сразу  приступил к перевозке  арбузов и перевозил их ежедневно одинаковыми весовыми порциями. Второй магазин приступил к перевозке арбузов на а дней позже и также перевозил их   ежедневно  одинаковыми,   но иными,   чем первый магазин  весовыми порциями. При этих  условиях,   через b дней, прошедших от  начала   перевозочных   операций,   на  базе осталась половина первоначального количества арбузов. За сколько дней были вывезены все арбузы с базы, если вес арбузов, полученных первым магазином, равен весу арбузов,   полученных вторым магазином?

0431 . В бригаде землекопов каждый работает ежедневно по одинаковому числу часов. Известно, что производительность труда одинакова у всех рабочих бригады и при этом бригада может вырыть канаву для укладки кабеля за 6 дней. Но еще до начала работы выяснилось, что рабочий день сокращается на 1 ч, а состав бригады уменьшается на 5 человек. В таком случае канава может быть вырыта за 9 дней. В действительности эту канаву рыли 12 дней, так как рабочий день был сокращен не на час, а на два часа и два человека не вышли на работу по болезни. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и сколько часов к день они работали?

0432. Три экскаватора производят работу. Если эту работу будет выполнять один первый, то он кончит работу на а дней позже, чем при работе всех экскаваторов вместе. Если же эту работу будет выполнять второй, то он кончит ее на b дней позже, чем все вместе, а если третий, то ему потребуется в с раз больше времени, чем всем экскаваторам вместе. Во сколько дней выполняет работу каждый из них в отдельности? Какие числовые значения может принимать с?

0433.   Имеется п мензурок с жидкостью. Из первой мензурки перелили 1/п часть имеющейся там жидкости во вторую мензурку, затем из второй мензурки 1/п часть оказавшейся там после переливания из первой мензурки жидкости перелили в третью мензурку и т. д. Наконец из п-й мензурки перелили 1/п часть оказавшейся в ней после переливания из предыдущей мензурки жидкости снова в первую мензурку. После этого в каждой мензурке оказалось по а см3 жидкости. Сколько первоначально было жидкости в каждой мензурке?

0434.  Для наполнения водою бассейна   были   поставлекы  два насоса. Один первый нассс может наполнить бассейн на 8 ч скорее, чем один второй. Сначала был открыт только один второй насос на время, равное двойному количеству времени, которое потребовалось бы для наполнения бассейна при одновременном действии обоих насосов. Затем открыли также первый насос и через полтора часа после того, как был открыт первый насос, бассейн наполнился водою. Во сколько часов каждый из насосов, работая порознь, может наполнить бассейн?

0435.   Пройдя через пористый  фильтрующий   материал,   жидкость равномерной  струей  вливается в сорокаведерную  бочку и может выливаться через кран, имеющийся в дне бочки. Если этот кран открыт, то приток и отток жидкости таковы, что за каждые 4 мин в бочке убавляется одно ведро. За   какое  время  отфильтрованная жидкость наполнит пустую бочку при закрытом нижнем кране, если известно, что для этого   потребуется   тремя минутами менее того времени, за которое  открытый   нижний   край способен пропустить 66 ведер?

0436.    Партия   одинаковых  деталей  обрабатывалась  на  трех станках разных конструкций в такой последовательности: сначала действовал только первый станок столько часов, сколько  потребовалось бы для совместного выполнения всей работы на втором и третьем станках, затем действовал только второй станок столько часов,   сколько  потребовалось  бы  для  совместного выполнения всей работы на первом и третьем станках. Остальная часть партии деталей была обработана на   третьем  станке в течение  стольких часов, сколько   потребовалось   бы   для   совместного   выполнения всей работы на первом и втором станках. Во сколько раз быстрее была бы выполнена эта работа,   если  бы действовали   совместно все три станка?

0437.  Сначала катер шел а км  по  озеру,   а   затем  половину этого расстояния по   реке, впадающей в озеро.   Весь рейс продолжался один  час.   Найти  собственную скорость   катера,   если скорость течения реки с км/ч. Решение исследовать.

0438.  Из Москвы в город N пассажир может отправиться поездом. В   этом   случае  он в  пути   пробудет  20   ч.   Если  же  он дождется   отправления   самолета   (а   ждать   придется   более   5 ч после отправления поезда), то пассажир доберется до  города N через  10 ч, включая и время ожидания. Во сколько раз скорость самолета превышает скорость поезда, если известно, что самолет окажется над этим поездом через 8/9 ч после отправления из аэропорта и пролетит к этому моменту столько же километров, сколько пройдет поезд?

0439.  Два понтона, находящихся в одном  месте,   надо  побыстрее сплавить вниз по реке   на а км.   Буксир   не  может  взять сразу два понтона, тогда возник такой план: один понтон сразу отправится самоходом (как плот), а другой будет  на   некотором участке реки (вначале) транспортироваться буксиром, после чего будет отцеплен и отправлен самоходом.  Буксир  же  тотчас   развернется и пойдет на сближение с плывущим  первым   понтоном, возьмет его и отбуксирует  до   конечного   пункта.   В   результате осуществления плана оба   понтона  пришли   к   месту   назначения одновременно. По течению буксир  все  время  поддерживал  скорость (v + и) км/ч, а против течения   (vи) км/ч,   где  и — скорость течения реки. Сколько времени потребовалось на всю транспортировку по этому плану,  и на сколько   он   сокращает время, за которое понтоны прошли бы требуемое расстояние по течению самоходом?

0440.  Два  спортсмена   бегают   по  одной   замкнутой   дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на  а сек  меньше,   чем   второй.   Если   они   начинают пробег с общего старта и в одном направлении, то сходятся через каждые b сек. Через какое время они встретятся, если побегут в  противоположных  направлениях   по  той   же дорожке о прежними скоростями?

0441.   Два  тела,   двигаясь   по окружности в одном и том же направлении, сходятся через каждые 56 мин. Если бы  они  двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то они встречались бы через каждые 8 мин.   Известно,   что  при движении в противоположных направлениях   расстояние  (по  окружности) между   ними   уменьшалось   за 24 сек с 40 м до 26 м. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

0442.  Сумму всех четных двузначных чисел разделили на одно из них, кратное девяти. Остатка не было. Получившееся частное отличается от делителя только порядком цифр. Какое двузначное число являлось делителем?

0443.   Искомое число более 400 и менее 500. Найти его, если сумма цифр его равна 9 и оно  равно 47/36  числа,    изображенного теми же цифрами, но написанного в обратном порядке.

0444.   На участке реки от А до В течение так   невелико, что им можно пренебречь; на   участке от В до С  течение  оказывает заметное влияние на движение лодки. Лодка покрывает расстояние вниз от А до С за 6 ч, а вверх от С до А за 7 ч. Если бы на участке от А до В течение было бы таким же, как на участке от В до С, то весь путь от А до С занял бы 5,5 часов. Сколько времени в этом случае понадобилось бы той же лодке на движение вверх от С до А? Собственная скорость   лодки   принимается неизменной во всех случаях.

0445.  На какое  целое  положительное  число   надо   разделить 180, чтобы остаток составлял 25% от частного?

0446.  Сосуд емкостью в 12 л наполнен кислотой. Из него выливают некоторое количество кислоты во второй сосуд такого же объема и этот второй сосуд дополняют водой. Теперь  смесью из второго сосуда дополняюг первый сосуд. Затем из первого сосуда отливают 4 л во второй, после чего в обоих сосудах   количество кислоты оказывается одинаковым. Сколько отлито первоначально кислоты из первого сосуда во второй?

0447.   Из сосуда с  водой   отлили   1 л воды  и   добавили   1 л кислоты. Затем отлили 1 л смеси и добавили 1 л кислоты и т. д. После   того   как  процесс был  повторен  20 раз,   оказалось, что смесь  в   сосуде  состоит   наполовину   из   воды  и   наполовину из кислоты. Сколько воды было первоначально  в сосуде?

0448.   Из   бутыли,    наполненной    12% -ным  раствором   соли, отлили 1 л и  долили  бутыль  водой,   затем отлили  еще  литр и опять долили водой.  В бутыли   оказался   3%-ный раствор соли. Какова вместимость  бутыли?

0449.   На   расстоянии l м   от моста А   вниз по  течению реки расположен   мост Б. Когда спортсмен проплывал мимо моста А, направляясь к   мосту Б,   ему   бросили   2 мяча.   Первый   мяч он подхватил, а второй оставил плыть по течению. Проплыв с мячом некоторый участок реки,   спортсмен  оставил этот мяч   и поплыл вверх по реке за вторым   мячом.   Подхватив второй   мяч, снова повернул по направлению к мосту Б и достиг его одновременно со свободно плывшим первым мячом. Какое расстояние пришлось проплыть спортсмену, если   его собственная   скорость   все время была в k раз  больше   скорости  течения?

0450. Латунь  состоит из меди и  цинка.   Сколько содержится меди и цинка в 124   кг латуни,   если 89 кг  меди теряют  в воде 10 кг; 7 кг  цинка  теряют в воде 1 кг, а 124  кг латуни теряют в воде 15 кг? Для каждого вещества вес и потеря веса в воде—прямо пропорциональные величины.

0451.  При умножении двух положительных чисел, из которых одно на 75 больше другого, по ошибке получилось произведение на 1000 меньше истинного. Вследствие этого, деля (при проверке) ошибочное   произведение   на меньший из  множителей,   получили в частном 227 и в остатке 113. Узнать оба числа.

0452. В колбе имеется раствор соли. Из колбы отливают 1/п часть раствора в пробирку, а раствор, оставшийся в колбе, выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли не повысится вдвое. После этого вливают в колбу раствор из пробирки. В результате содержание соли в растворе повысилось на р%. Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе. Какую часть первоначального   раствора следовало отлить, чтобы в результате описанной процедуры процентное содержание соли величилось в полтора раза?

0453. Школьнику было предложено сложить и перемножить два целых положительных числа. В сумме он получил верный ответ 962, но проверяя произведение делением на больший множитель, он получил в частном 384, а в остатке 85. Перемножая числа вторично, мальчик увидел, что когда он производил сложение промежуточных результатов при умножении «столбиком», то в одном из слагаемых принял в разряде тысяч цифру 1 за 4. Какие числа были даны мальчику?

0454.   На столе  стоит   цилиндрическая   банка с   водой  (рис. 14).    Радиус   основания   банки  R. Если в эту банку опускают шарик радиусом r, то он ложится  на дно  банки, а поверхность   воды при  этом поднимается настолько, что становится касательной  к шарику.  Доказать, что может произойти то же самое, если   в эту банку  с тем же  количеством  воды   опустить   вместо   данного шарика шарик другого радиуса. Найти радиус нового шарика и установить условия, при которых он будет больше или меньше радиуса данного шарика.

0455.  При перемножении двух чисел, из   которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков   произведения   на 4. При делении полученного  произведения на меньший множитель для проверки ответа он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти множители.

0456.   Из нового синтетического   материала изготовили брусок в форме   прямоугольного   параллелепипеда,   полная   поверхность которого равна 192 см2. Брусок был подвергнут давлению по всем граням таким образом, что форма прямоугольного параллелепипеда сохранилась, но каждое ребро уменьшилось на 1 см. Полная поверхность бруска уменьшилась при этом на 70 см2. Какой размер имела диагональ у первоначального бруска?

0457.  Сравнивая два бруска, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, установили,   что длина, ширина   и высота   второго бруска соответственно на 1 см больше, чем у первого бруска, а объем и полная поверхность   второго бруска соответственно на 18 см3 и 30 см2 больше, чем у первого. Какова величина полной поверхности первого бруска?

0458.  От станции А   отошли два  электропоезда с интервалом в 12  мин   и   практически   сразу   развили   одинаковую  скорость 50 км/ч. Они идут в одном направлении, без остановок, сохраняя указанную скорость  неизменной. С  какой постоянной  скоростью  шел встречный поезд, если он повстречал эти электропоезда через 5 мин один после другого?

0459.   Искомое трехзначное число начинается с цифры 1. Если ее стереть и затем ее же  приписать в качестве последней цифры числа, то полученное, новое трехзначное число будет больше искомого  на   9 a 1/lga. Найти число.

0460.   На полуокружности, опирающейся на диаметр АВ, длина которого принята за 1, выбрана точка М так, что сумма утроенной длины отрезка МА и учетверенной длины отрезка MB ровно в т раз больше диаметра, где т — некоторое положительное число. Найти длину отрезка  МА и выяснить, при   каких значениях т:

а)  невозможно выбрать на  данной полуокружности   точку М, удовлетворяющую условию задачи,

б)  возможна лишь одна точка,

в)  возможны две точки.

0461.   Если  двузначное   число  разделить   на   некоторое целое число, то в частном получится 3 и  в остатке 8. Если же в делимом поменять местами  цифры, а делитель оставить  прежним, то в частном  получится  2,   а  в  остатке  5.   Найти   первоначальное значение делимого.

0462.   Точка Р расположена на диаметре окружности радиуса R между  концами диаметра АВ.   Из этой   точки   Р разлетелись три единичные массы по направлениям  отрезков РА,  РВ  и PC, где PC — полухорда, перпендикулярная диаметру  АВ. На каком расстоянии от А находится точка Р, если известно, что скорости движения постоянны и за единицу времени первая масса достигла точки   А,   вторая — точки   В,   а   третья — точки   С?  При   этом израсходованная кинетическая энергия (mv2/2)   в сумме  составляет а2 единиц. В каких пределах можно изменять величину а2 , чтобы всякий раз выполнялось условие задачи?

0463.   На сторонах равностороннего треугольника ABC между его вершинами   расположены  точки А1, B1  и С1 так, что АА1 =  ВВ1 = СС1 = х.   Сторона  треугольника равна а.   Найти   такое значение х, при котором отношение площади /\ А1B1С1к площади /\  ABC  равнялось  бы  данному   положительному числу т. В каких пределах можно изменять величину т, чтобы всякий раз выполнялось условие задачи?

0464.  От двух кусков сплава одинакового веса, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равного  веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после  чего  процентное  содержание  меди в  обоих  кусках   стало одинаковым.   Во сколько  раз  отрезанный   кусок  меньше целого куска?

0465.  В   колбе имеется   раствор соли.   Из   колбы отливают 1/п часть раствора в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого получившийся раствор возвращают в колбу и смешивают с тем раствором, который там оставался. В результате содержание соли в растворе повысилось на р%. Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе.

0466.  По сторонам   прямого угла   по направлению к вершине с неравными, но с постоянными скоростями, двигаются два шара, радиусы  которых   2  см и  3 см.   В   некоторый   момент   времени центр меньшего шара находится на расстоянии 6 см от вершины, а центр  большего — на   расстоянии   16 см.   Через  одну секунду расстояние между центрами стало 13 см, а еще через две секунды шары ударились, не дойдя до вершины. Узнать скорости шаров.

0467.  Сплав состоит из олова, меди и цинка.   Если  от  этого сплава  отделить  20 г и  сплавить   их с 2 г олова,  то  во  вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от  первоначального  сплава  30 г и прибавить  сюда 9  г цинка, то в этом новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах   состав  первоначального  сплава.

0468.   Найти стороны прямоугольного треугольника, если   известны его полупериметр р и медиана т, проведенная к гипотенузе. Определить, в каких границах допустимы значения р, если дано числовое значение т.

0469.   На складе имеется некоторое число  бочек  двух   образцов (размеров) общей емкостью 7000 л. Если бы все бочки были первого образца, то емкость всех бочек увеличилась бы на 1000 л. Если бы все бочки были второго образца,   то  емкость   уменьшилась бы на 4000 л. Вычислить емкость   всех   бочек   каждого  образца в отдельности.

0470.   Известно, что разность переменных величин у и z пропорциональна   величине  х, а разность   величин z и x пропорциональна    величине   у.   Коэффициенты   этих   пропорциональностей равны  соответственно k1 и k2, причем  k1 =/= k2.   Некоторое значение величины z в 3 раза больше  разности соответствующих значений х и у. Доказать,   что  если   каждый   из   коэффициентов k1 и k2 увеличить  на 3, то произведение получившихся чисел будет равно  числу 8. (Предполагается,   что величины х и у не принимают нулевых значений.)

0471.   Из двух  орудий  одно   произвело  36   выстрелов,   когда начало  действовать  второе.   Второе орудие делает 7 выстрелов, когда первое делает 8.   Количество  пороха,   употребляемое  первым и вторым орудием на   каждый выстрел, относится,   как 3:4. Через сколько выстрелов второе орудие израсходует  столько же пороха, сколько первое орудие?

0472.   Предприятие А, потребляющее лед, закупает его в пункте В по цене а руб. за тонну. Иногда этому   предприятию   приходится  закупать лед в другом  пункте С по  цене   1,5а руб. за тонну. Оба изготовителя сами доставляют потребителю А закупленный им лед, начисляя за   перевозку  одинаково  по р руб. за тонно-километр. Потеря в массе, происходящая при  транспортировке от таяния льда, составляет п тысячных массы на километр пути. Предприятие А расположено между В и С, и каждая тонна фактически   полученного льда  обходится   предприятию А одинаково (в рублях) при доставке как из пункта В, так и из пункта С. Во сколько рублей обходится предприятию А тонна получаемого льда,   если   известно,   что  расстояние  от В до С через А равно S км?

0473.   Имеется  некоторое  количество  одинаковых  шаров. Их можно уложить на столе или в виде квадрата или в виде равнобочной трапеции. В  трапеции   каждый   следующий  горизонтальный ряд имеет шаров на один больше предыдущего ряда. Оказалось, что вдоль боковой стороны трапеции помещается на 2 шара меньше, чем на стороне квадрата, а на большем основании  трапеции вдвое больше, чем вдоль боковой ее стороны.   Определить число шаров.

0474.  На дороге лежало нечетное число массивных предметов на расстоянии 10 м один от другого. Все предметы  требовалось собрать в то место дороги, где находился средний предмет-. Один паренек взялся это сделать, но его тачка может вместить не более одного   предмета.   Так  он   и   перевез  все  предметы  по  одному, начав с одного из   крайних   предметов.  Считая  от  этого  места, паренек отшагал 3 км. Сколько предметов он перевез?

0475.   В  треугольнике  ABC  катет  AC = b  и катет   ВС = а. Точка М расположена на стороне ВС между В и С так, что отрезок MB  является   средним   арифметическим   к  отрезкам   МА и МС. Доказать, что в этом случае МС может иметь единственное значение:

При каком соотношении между катетами а и b было бы невозможным существование точки М, удовлетворяющей указанным требованиям?

0476.   В   одном   праздничном   выступлении   большая   группа спортсменов образовала фигуру, очертанием которой был   равносторонний   треугольник:    вершину   треугольника   занимал  один спортсмен, за ним расположились 2 спортсмена, в следующем ряду 3 спортсмена и т. д. Через некоторое время к этой группе подбежали еще 46 спортсменов, после чего все вместе перестроились в несколько одинаковых рядов, следующих один за другим и образующих сплошной квадрат. Вдоль стороны второй фигуры оказалось на р спортсменов меньше, чем было вдоль стороны первой фигуры. Сколько  спортсменов  участвовало в построении  первой фигуры? Определите  подходящее  числовое  значение р, если   известно, что р < 5.

0477.  В шахматном турнире среди участников были две женщины. Каждый участник  турнира  играл с остальными  участниками по 2 партии. Число партий, сыгранных мужчинами   между собой, оказалось на 66 больше  числа партий, сыгранных мужчинами с женщинами. Сколько всего  было  участников   в  турнире и сколько всего партий было сыграно?

0478.  Определить глубину колодца, зная, что звук  от  удара камня о дно колодца, брошенного в колодец с начальной скоростью, равной нулю, слышен через а сек oт начала падения камня. Ускорение силы тяжести   равно g.  Скорость  звука v. Сопротивлением воздуха можно пренебречь и считать, что через t единиц времени, прошедших от начала падения камня, пройденный камнем путь h = gt2/2.

0479.  Электронная   вычислительная  машина  (ЭВМ)  получила задание решить   последовательно   несколько  задач.   Регистрируя время выполнения  задания,   заметили,   что  на  решение  каждой следующей задачи машина затрачивала в одно и то же число раз меньше   времени,   чем  на  решение  предыдущей.  Сколько было предложено задач и сколько времени затрачено машиной на   решение всех задач, если   на  решение  всех  задач,   кроме  первой, затрачено 63,5 мин,   на  решение  всех  задач,   кроме  последней, затрачено 127 мин, а на решение всех задач, кроме первых двух, затрачено 30 мин?

0480.   Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча была зажжена на час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая и третья свечи стали одинаковой длины, а через два часа после этого одинаковой длины стали первая и вторая свечи.   За  сколько  часов сгорает первая свеча,   если   вторая  сгорает за 12 ч, а третья —  за 8 ч?

0481.   Найти трехзначное число, зная, что число его десятков есть  среднее   геометрическое числа сотен и единиц. Если   в его записи поменять  местами цифры сотен и единиц и вычесть новое число из искомого, то   разность будет равна 297.

0482.    Искомое   трехзначное   число   оканчивается   цифрой   1. Если ее стереть и затем ее же приписать в качестве первой цифры числа, то полученное новое трехзначное число будет меньше искомого на . Найти число.

0483.   Если  при начале отсчета времени было т0 г  вещества А и 2т0 г вещества В, то через любое число t лет, в результате радиоактивного  распада,   останется  этих   веществ соответственно  где λ1 и λ2 — константы, зависящие от  природы веществ. Вычислить период полураспада каждого из этих   веществ, т. е. найти, через сколько лет останется  от   каждого  вещества только половина его первоначального количества, если   известно,   что   период   полураспада  вещества В в два раза меньше,   чем  вещества А,   и что через 20 лет общая масса  этих веществ уменьшается в 8 раз.

0484.   В   соревновании   по   волейболу   участвовало  п команд. Каждая   команда   играла   со   всеми   остальными по одному разу. За   каждую  игру выигравшей команде засчитывалось одно очко, за   проигрыш  очки не начислялись; ничьих в волейболе нет. По окончании   соревнований   выяснилось, что набранные  командами очки образуют арифметическую прогрессию. Сколько очков  набрала команда, занявшая последнее место?

0485.  В магазин фирмы «Весна» поступил товар первого и второго сортов на общую сумму в 450 руб. Дополнительная экспертиза  установила,   что весь поступивший товар можно  продавать только   по   цене   второго   сорта.   Фирма   потерпела   бы   убыток в сумме 50 руб. Продавцы магазина безвозмездно не только устранили дефекты в товаре первого сорта, но и товар второго сорта довели до  кондиций первого сорта. Получив после этого  разрешение продавать весь товар по цене первого сорта, магазин  дал фирме прибыль в сумме 30 руб. В какую сумму оценивался первоначально весь товар первого сорта и весь товар второго  сорта отдельно?

0486.   Зная длины сторон треугольника, ученик  выразил  его площадь и обратил внимание на то, что значениями длин сторон и площади  этого треугольника являются  соответственно  четыре последовательных целых числа. Какие размеры сторон были у треугольника?

0487. Даны две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, а также дана точка А с координатами (а, а), где а >0. Требуется   найти координаты такой точки М на оси Ох и такой точки Р на оси Оу, чтобы треугольник AMP был равносторонним.

0488.  Разность логарифмов числа сотен и числа десятков трехзначного числа равна логарифму разности тех же чисел, а сумма логарифмов числа сотен и числа десятков равна логарифму суммы тех же чисел, увеличенной в 4/3 раза. Если из этого трехзначного числа   вычесть   число  обращенное   (т. е.   с   обратным   порядком цифр), то разность их будет равна положительному числу, у которого  цифра  сотен такая же, как и цифра десятков  у трехзначного числа. Найти это число.

0489.   1.   Запищите   на   языке    алгебры:     двузначное   число равно неполному квадрату суммы его цифр.

2.  Докажите, что если такое число существует, то цифра единиц меньше четырех.

3. Испытывая возможные значения цифры единиц, выясните,   сколько существует  таких  двузначных  чисел и являются ли они простыми или составными?

0490.   Контрольные пункты делят лыжную трассу на   равных участков. Известна средняя скорость лыжника на каждом отдельном участке:  vi  где i =1,  2,  ...,  п (это значит, что средняя скорость лыжника на первом участке выражается числом v1   на втором — числом  v2  и т. д.). Определить среднюю скорость лыжника на всей трассе в случае п  = 2. После этого, применяя полную математическую индукцию, доказать, что для любого числа п равных   по   длине   участков   справедливо   соотношение

,  

где v—средняя  скорость лыжникана всей трассе.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz