ГЛАВА 9
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Метод математической индукции
Ответы и решения
923. Очевидно, формула верна при п =1. Пусть формула верна для некоторого п; докажем, что тогда она будет верна и для п+1. Обозначив через Sn сумму, стоящую в левой части доказываемой формулы, будем иметь:
Отсюда, согласно методу и следует справедливость формулы при любом натуральном п.
__________________________________________________
924. Пусть Sn — сумма, стоящая в левой части формулы. При п =1 обе части формулы совпадают. Покажем, что если формула верна для некоторого п, то она верна также для п+1. Имеем:
Следовательно, формула верна при любом натуральном п.
__________________________________________________
925. Легко убедиться в справедливости утверждения при п =1. Пусть формула верна при некотором п >1. Обозначим через Sn сумму, стоящую в левой части формулы. Имеем:
Отсюда
Следовательно, формула справедлива при любом натуральном я.
__________________________________________________
926. Очевидно, формула верна при п =1. Пусть она верна при некотором п >1, т. е.
(cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ (1)
Чтобы убедиться в справедливости формулы при я+1, умножим обе части (1) на созф + г втф. Получим согласно правилу умножения комплексных чисел
Следовательно, формула справедлива при любом натуральном п.
__________________________________________________
927. Очевидно, a + b =1, ab = —1. Пользуясь этим, можно написать, что
или an = an+1 — an—1, откуда
an+1 = an + an—1
Отсюда следует, что если, при некотором n, an—1 и an суть числа целые и положительные, то и an+1, а следовательно затем и an+2, an+3, ... будут числами целыми и положительными. Но так как a1=1, a2=1 то, значит, при n >2 все an будут целыми и положительными.
__________________________________________________
928. При п =1 неравенство справедливо. Допустим, что оно верно для некоторого п. Умножая обе части его на l + an+1 > 0, находим
Так как сумма a1an+1 + a2an+1 + ... +an an+1 > 0, то отсюда следует, что неравенство справедливо и для п +1.
__________________________________________________
929. Прежде всего убеждаемся в том, что формула верна при п =1 . Действительно, при п =1 формула имеет вид
(a + b )1 = C10(а)0(b)1 + C11(а)1(b)0. (1)
Если теперь воспользоваться определением обобщенной степени,то станет очевидным, что обе частя формулы (1) равны а + b и, следовательно, равенство действительно имеет место.
Предположим теперь, что формула верна для некоторого n и докажем, что она будет верна и для n + l. Из определения обобщенной степени имеем:
Раскрыв здесь квадратные скобки, преобразуем каждое из п+1 слагаемых по формуле
В результате получим:
После приведения подобных членов будем иметь:
Используя, далее, тот факт, что
и легко проверяемое тождество
получаем:
Следовательно, доказано, что если формула, приведенная в условии задачи, верна для некоторого п, то она верна и для п +1 . Но она справедлива при п =1 , следовательно, согласно принципу полной индукции, она верна при всех натуральных п.
__________________________________________________
|