ГЛАВА 9

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Метод математической индукции

Ответы и решения

 

923.   Очевидно, формула   верна при   п =1. Пусть формула верна для некоторого  п; докажем, что  тогда она будет верна и для п+1. Обозначив  через  Sn  сумму,   стоящую   в левой   части  доказываемой формулы, будем иметь:

Отсюда, согласно методу и следует справедливость формулы при любом натуральном п.

__________________________________________________

924. Пусть  Sn — сумма,   стоящая   в левой  части   формулы.  При п =1   обе  части  формулы  совпадают.   Покажем,   что  если формула верна для некоторого п, то она верна также для п+1. Имеем:

Следовательно, формула верна при любом натуральном п.

__________________________________________________

925. Легко убедиться   в справедливости  утверждения при п =1. Пусть формула   верна   при   некотором  п  >1.  Обозначим   через  Sn сумму, стоящую в левой части формулы. Имеем:

Отсюда

Следовательно, формула справедлива при любом натуральном я.

__________________________________________________

926. Очевидно, формула   верна   при  п =1. Пусть она верна при некотором п  >1, т. е.

(cos φ + i sin φ)n = cos nφ  + i sin nφ                      (1)

Чтобы убедиться в справедливости формулы при я+1, умножим обе части (1) на созф + г втф. Получим согласно правилу умножения комплексных чисел

Следовательно, формула справедлива при любом натуральном п.

__________________________________________________

927. Очевидно,   a + b =1,    ab = —1.    Пользуясь   этим,    можно написать, что

или an = an+1 — an1, откуда

an+1  = an + an1

Отсюда следует, что если, при некотором n,   an1    и an суть числа целые и положительные, то и an+1, а следовательно затем и an+2, an+3, ... будут числами целыми и положительными. Но так как a1=1, a2=1  то, значит, при n >2 все an  будут целыми и положительными.

__________________________________________________

928. При   п =1  неравенство   справедливо.   Допустим,   что   оно верно для   некоторого  п.   Умножая  обе   части его на l + an+1 > 0, находим

Так как сумма a1an+1  + a2an+1 + ... +an an+1  > 0, то отсюда следует, что неравенство справедливо и для п +1.

__________________________________________________

929. Прежде  всего   убеждаемся   в  том,   что формула верна при п =1 . Действительно, при п =1  формула  имеет вид

(a + b )1 = C10(а)0(b)1 + C11(а)1(b)0.                          (1)

Если    теперь   воспользоваться   определением   обобщенной   степени,то  станет  очевидным,   что обе   частя формулы   (1)   равны   а + b   и, следовательно, равенство действительно имеет место.

Предположим теперь, что формула верна для некоторого n и докажем, что она будет верна и для n + l. Из определения обобщенной степени имеем:

Раскрыв   здесь   квадратные   скобки,   преобразуем  каждое   из  п+1 слагаемых по формуле

В результате получим:

После приведения подобных членов будем иметь:

Используя, далее, тот факт, что

и легко проверяемое тождество

получаем:

Следовательно, доказано, что если формула, приведенная в условии задачи, верна для некоторого п, то она верна и для п +1 . Но она справедлива при п =1 , следовательно, согласно принципу полной индукции, она верна при всех  натуральных п.

__________________________________________________

Используются технологии uCoz