ГЛАВА 9

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Комплексные числа

936.  Пусть   r — модуль    и     — аргумент    комплексного   числа z  (r > 0, 0 <φ < 2π ). Тогда z  = r  (cos φ+ i sin φ) и данное уравнение принимает вид

r2 (cos + i sin ) + r = 0.

Отсюда   либо     = 0   и    z = z  = 0,  либо   r cos  +1 + i r sin  = 0 и, значит,

Первому   уравнению  удовлетворяют значения φ = 0, π/2, π, 3π/2, а так как   в силу   второго  уравнения cos  < 0, то остаются только  значения  φ = π/2 и φ = 3π/2. При этом  в обоих  случаях из второго уравнения находим r =1, так что получаем еще два решения:

__________________________________________________

937.  Представим z в виде z = х + iy. Тогда уравнение  примет вид

(х — 4)2 + y2 = (х — 8)2 + у2.

Отсюда  х = 6  и, стало   быть, z = 6 + iy   Подставляем это значение  в уравнение   . Тогда   после   упрощения   уравнение примет вид

y2 — 25y + 136 = 0.

Отсюда

т. е.  y1 =17;  y2 = 8.

Ответ: z1 = 6+ 17i; z2 = 6 + 8i

__________________________________________________

938.  Для сокращения   записи положим .   Рассматриваемое произведение

имеет  тот же   вид,   что   и   произведение  в   задаче   887. Обозначим это произведение для краткости через Р.

Поступая так же, как и в задаче 887, найдем:

Остается   в   данную   формулу   подставить   вместо   z  его   значение. Будем иметь:

и, далее,

      (1)

Заметим, что при n > 2 имеем

   

Следовательно, в силу (1), при n > 2 будет

.

При n = 1 имеем:

Ответ:

__________________________________________________

939.  Так как вычитание комплексных чисел геометрически проводится по правилу параллелограмма, то модуль разности двух комплексных чисел | z' — z"| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости. Следовательно, условию |z — 25i | < 15 удовлетворяют точки комплексной плоскости, лежащие внутри и на границе круга с центром в точке z0  = 25i и радиусом 15 (рис. 6).

Из чертежа видно, что числу с наименьшим аргументом соответствует точка z1 , в которой прямая, проведенная из точки О, касается окружности. Из прямоугольного треугольника Oz1z0 находим x1 = 12 и y1 =16. Искомое число будет z1 = 12+16i.

__________________________________________________

940.  Докажем, что для    представления комплексного числа   a + bi в виде

              (1)

необходимо     и     достаточно,      чтобы |  a + bi | = 1 и  a + bi =/= — 1.

Докажем   необходимость.     Пусть   выполняется   равенство    (1). Тогда

так как |1 — ix | = | 1 + ix|  = √1 + х2  Далее,

так   как    в    противном   случае   мы   бы    имели  1 — ix = —1 — ix, т. е. 2 = 0.

Докажем достаточность. Пусть |  a + bi | = 1 и  a + bi =/= — 1. Положим arg(a + bi) = α , где — π < α  < π. Заметим, что α  =/= π в силу условия a + bi =/= — 1. Имеем теперь:

a + bi  = | a + bi  | (cos α + i sin α) = cos α + i sin α.              (2)

Но

Подставляя   эти   выражения в правую часть формулы   (2),  получаем

где х = — tg α/2.

__________________________________________________

941.  Пусть z =(cos φ + sin φ); тогда

Положим r2 = t ; | z | примет   наибольшее  значение  тогда, когда наибольшее значение примет t. Имеем:

Так как нас интересует наибольшее значение t, то перед корнем нужно взять знак плюс.   Легко   видеть,  что  наибольшее значение t  достигается тогда, когда cos   = — 1, т. е. при φ = π/2 + kπ. Это значение равно .   Следовательно,  наибольшее  значение   | z |  равно   

 

__________________________________________________

Используются технологии uCoz