ГЛАВА 9
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Комплексные числа
936. Пусть r — модуль и — аргумент комплексного числа z (r > 0, 0 <φ < 2π ). Тогда z = r (cos φ+ i sin φ) и данное уравнение принимает вид
r2 (cos 2φ+ i sin 2φ) + r = 0.
Отсюда либо = 0 и z = z = 0, либо r cos 2φ +1 + i r sin 2φ = 0 и, значит,
Первому уравнению удовлетворяют значения φ = 0, π/2, π, 3π/2, а так как в силу второго уравнения cos 2φ < 0, то остаются только значения φ = π/2 и φ = 3π/2. При этом в обоих случаях из второго уравнения находим
r =1, так что получаем еще два решения:
__________________________________________________
937. Представим z в виде z = х + iy. Тогда уравнение примет вид
(х — 4)2 + y2 = (х — 8)2 + у2.
Отсюда х = 6 и, стало быть, z = 6 + iy Подставляем это значение в уравнение . Тогда после упрощения уравнение примет вид
y2 — 25y + 136 = 0.
Отсюда
т. е. y1 =17; y2 = 8.
Ответ: z1 = 6+ 17i; z2 = 6 + 8i
__________________________________________________
938. Для сокращения записи положим . Рассматриваемое произведение
имеет тот же вид, что и произведение в задаче 887. Обозначим это произведение для краткости через Р.
Поступая так же, как и в задаче 887, найдем:
Остается в данную формулу подставить вместо z его значение. Будем иметь:
и, далее,
(1)
Заметим, что при n > 2 имеем
Следовательно, в силу (1), при n > 2 будет
.
При n = 1 имеем:
Ответ:
__________________________________________________
939. Так как вычитание комплексных чисел геометрически проводится по правилу параллелограмма, то модуль разности двух комплексных чисел | z' — z"| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости. Следовательно, условию |z — 25i | < 15 удовлетворяют точки комплексной плоскости, лежащие внутри и на границе круга с центром в точке z0
= 25i и радиусом 15 (рис. 6).
Из чертежа видно, что числу с наименьшим аргументом соответствует точка z1 , в которой прямая, проведенная из точки О, касается окружности. Из прямоугольного треугольника Oz1z0 находим x1 = 12 и y1 =16. Искомое число будет z1 = 12+16i.
__________________________________________________
940. Докажем, что для представления комплексного числа a + bi в виде
(1)
необходимо и достаточно, чтобы | a + bi | = 1 и a + bi =/= — 1.
Докажем необходимость. Пусть выполняется равенство (1). Тогда
так как |1 — ix | = | 1 + ix| = √1 + х2 Далее,
так как в противном случае мы бы имели 1 — ix = —1 — ix, т. е. 2 = 0.
Докажем достаточность. Пусть | a + bi | = 1 и a + bi =/= — 1. Положим arg(a + bi) = α , где — π < α < π. Заметим, что α =/= π в силу условия a + bi =/= — 1. Имеем теперь:
a + bi = | a + bi | (cos α + i sin α) = cos α + i sin α. (2)
Но
Подставляя эти выражения в правую часть формулы (2), получаем
где х = — tg α/2.
__________________________________________________
941. Пусть z = r (cos φ + i sin φ); тогда
Положим r2 = t ; | z | примет наибольшее значение тогда, когда наибольшее значение примет t. Имеем:
Так как нас интересует наибольшее значение t, то перед корнем нужно взять знак плюс. Легко видеть, что наибольшее значение t достигается тогда, когда cos 2φ = — 1, т. е. при φ = π/2 + kπ. Это значение равно . Следовательно, наибольшее значение | z |
равно
__________________________________________________
|