ГЛАВА 9

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Разные задачи

942. Через точку А проведено  п лучей под углами ^2π/_n . На одном из них на расстоянии d от А взята точка В, из нее опущен перпендикуляр на соседний луч, из основания этого перпендикуляра снова опущен перпендикуляр на следующий луч и т. д. до бесконечности. Найти длину L получаемой таким образом бесконечно завивающейся вокруг А ломаной,   а   также   выяснить, как   будет изменяться   L   при увеличении   числа   п,   в частности   при   неограниченном  его увеличении.  Решение

943. Шестизначное   число   начинается   слева   цифрой   1. Если эту   цифру   перенести   с первого   места  на последнее, сохранив порядок   остальных   пяти цифр,  то вновь полученное   число    будет   втрое   больше    первоначального.   Найти первоначальное число.  Pешение

944. Доказать,   что    если    натуральное   число   p = abc (а, b, с—цифры соответствующих разрядов) делится на 37, то и числа q = bca и r = cab также делятся на 37.  Решение

945. Показать,  что сумма кубов   трех последовательных целых чисел делится на 9. Решение

946. Доказать, что сумма

S_n= n³ + 3n² + 5n + 3

при любом целом положительном  п делится на 3 Решение

947. 120   одинаковых   шаров    плотно   уложены   в   виде правильной   треугольной   пирамиды.   Сколько   шаров   лежит в основании?  Решение

948. В ящик   вложили   k ящиков.   В каждый   из этих k ящиков либо опять вложили k ящиков, либо не вложили ни одного и   т. д.   Найти   число   пустых  ящиков,   если   наполненных оказалось т.  Решение