ГЛАВА 9

ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО ХАРАКТЕРА

Группа А

1551.   Найти два числа х и у, зная,  что  их  сумма, разность и произведение соответственно пропорциональны числам

a  + 1, а — 1 и √a² — 1  .

1552.   Найти точку пересечения графика функции

с осью ординат.

1553.   Найти точку пересечения графиков функций

y = log₂ (x + 14)    и   y = 6 — log₂ (x  + 2).

1554.   Найти абсциссу той точки графика функции

ордината которой равна единице.

1555.   Решить уравнение

(x² + x+1) + (x²+ 2x + 3) + (x² + 3x + 5) + ... +  (x² + 20x + 39) = 4500.

1556.  Определить сколько знаков содержит число  2²⁰•3³⁰•6⁶⁰, если   десятичные  логарифмы  чисел  2 и 3  равны соответственно 0,3010 и 0,4771.

1557.  Решить уравнение

| x² — 8x + 12| = x² — 8x + 12.

1558.   Определить х из условия, что третий  член разложения (x + x^{lg x})⁵ равен 10⁶.

1559.  Сократить дробь

1560.   В каких точках график функции

y = log₃(√x² + 21  — √x² + 12 )

пересекает ось Ох?

1561.  Составить   квадратное   уравнение  с   корнями , если x₁ и  x₂ — корни уравнения ax²  + bx + c = 0.

1562.   Найти натуральное число п из условия, что

2²•2⁴•2⁶... 2²ⁿ = 0,25^{— 28}.

1563.  При каких значениях р и q многочлен

х⁵ — 3х⁴ + 2qx³ — 2pх² — 5х — 5

делится без остатка на многочлен   х² — 3х + 2?

1564.  Решить уравнение

х² + 3 | х | + 2 = 0.

1565.  Определить, при каких  значениях  т один  из  корней уравнения

z³ — (т² — т + 7)z — (3т² — 3т — 6) = 0

равен минус единице. Найти два остальных корня уравнения при этих значениях т.

1566.   Решить уравнение

(x² + 1) + (2x² + 3) + (3x² + 5) +... + (10x² + 19) = 45.

1567.  Составить уравнение третьей степени, у которого числа

x₁ = l,     x₂ = —¹/₂ + √5     и    x₃ = —¹/₂—√5  являются корнями.

1568.   Решить уравнение

x(x+1) + (x+1)(x+2) +  (x+2)(x+3) + ... + (x + 9)(x+10) = 1•2 + 2•3 + ... + 9•10.

1569.  Составить  уравнение  второй  степени,  один  из  корней которого  был  бы  равен  сумме,   а другой  произведению корней уравнения

ax²  + bx + c = 0.

1570.   Решить    уравнение    1 +2x + 4x² +... +(2х)^п + ... =  3,4—1,2x в предположении, что | х |< 0,5.

1571.   Разложить на множители выражение

х²(y — z) + y²(z — х) + z²(х — у).

1572.   Решить уравнение

х² + 2х — 3| х+l | + 3 = 0.

1573.   Найти комплексное число а из условия:

(а + i )(1+2i ) + (1+ai )( 3—4i )=1 + 7i.

1574.   В каких точках график функции

у = √—x + 9  — √—x + 4

пересекается с прямой у = 1?

1575.  Найти два числа, если их среднее арифметическое и среднее геометрическое соответственно равны 0,615 и 0,600.

1576.  Выразить  sin 3α   через  sin α  и  с  помощью  полученной формулы вычислить     sin 54°, если  известно,   что  

1577.   Найти х из того условия, что

1578.  Составить квадратное уравнение, корни  которого  были бы на единицу больше корней уравнения ax²  + bx + c = 0

1579.  Составить уравнение третьей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа   1   и   2 + i   являются двумя из его корней.

1580.   Найти два рациональных числа, если их сумма на шесть меньше   суммы  их  квадратов и  в семь  раз  меньше  суммы   их кубов.

ОТВЕТЫ