ГЛАВА 9

ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО ХАРАКТЕРА

Группа Б

1581.  Определить, для каких положительных значений а неравенство

не выполняется ни при каких значениях z.

1582.  При каких значениях а решения (х, у) системы уравнений

таковы, что х > 0, а у < 0?

1583.   При каких  значениях   график  функции y = lg | tg х | расположен ниже оси абсцисс?

1584.   Найти отношение двух чисел, если  отношение их среднего геометрического к среднему арифметическому равно 3/5.

1585.   Выразить х и у через а и b так, чтобы  значение величины   было средним арифметическим между  х и у и средним геометрическим между а и b.

1586.   Решить уравнение

| х — 1|• |х + 2| = 4.

1587.   Решить уравнение

| x | +  | х — 1| =1.

1588.   Решить неравенство

|х +  1| > 2|х + 2|.

1589.   Найти все целые значения  х,   при которых  выражение

является действительным числом.

1590.  При каких значениях а уравнение

x2 — (2а — 1 )x — 3 (4а—1 — 2а—2) = 0

имеет равные действительные корни?

1591.  При каких значениях х член разложения (3tg x + ctg x), содержащий наибольший коэффициент, равен 60?

1592.   Найти натуральные значения х, удовлетворяющие неравенствам

1593.  Найти те значения х, при которых обе функции

y = x4 — 29x2 + 100    и    y = x4 — 9x2

одновременно положительны.

1594.  При каких значениях x комплексные числа

lg (2x    + x +1) + i • 4x    и    lg (x2 +1) + i (2x+1 — 3)

будут взаимно сопряженными?

1595.  При каких значениях а трехчлен x2— 2a+2• x  — 2a+3+ 12 принимает положительные значения  при  любых  действительных значениях х ?

1596.   Найти   неотрицательные  значения  х,   удовлетворяющие неравенству

1597.  При каких значениях р уравнение

имеет неотрицательные корни?

1598.  При каких значениях т может  выполняться   равенство

1599.  При каких значениях а равенство возможно,

если 0 < φ < π/4 ?

1600.  При каких значениях т система уравнений

имеет такие решения (х, у), для которых х — у < 2?

1601.  При каких значениях р система уравнений

имеет неотрицательные решения?

1602.   Число 19 представить в виде разности  кубов натуральных чисел. Показать, что такое представление единственно.

1603.  Найти два натуральных числа из того  условия, что их отношение заключено между 1 и 2, а произведение — между 4 и 7.

1604.   Найти   действительную  и  мнимую части  комплексного числа а, если известно, что a2 = 3 + 4i.

1605.  При каких значениях х сумма третьего и седьмого членов разложения

(√cos x  +  √sin x)8 равна 7?

1606.  Многочлен x4 — x3—11x2 + 31x — 20 разложить на множители   с   действительными   коэффициентами,   воспользовавшись тем, что один из его корней равен 2 + i.

1607.  Доказать, что если  для  чисел х, у, z, m, n, p  выполняются равенства то для них выполняется также и равенство

1608.  Решить уравнение аx3 + bx2 + cx + d = 0, если его коэффициенты а, b, с и d в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q.

1609.   Найти log24 54, если log23  = a.

1610. Проверить, что число  является корнем уравнения x3 — 3x — 2а = 0.

1611.  Определить, при каких значениях λ  неравенство

выполняется для всех значений х, кроме одного.

1612.  При каких значениях х и у возможно равенство 3lg(2x — y= 1, если известно, что  x2y2 > 0?

1613.   Найти х, если известно, что

tg α = х + l,

tg β = x — l,

tg (2α + 2β) = —4x/3.

1614.   Каково наибольшее значение функции y = sin x + cos x ? При каких значениях х оно достигается?

1615.   Катеты некоторого прямоугольного треугольника служат корнями уравнения      Аx2 + Вx + С = 0. Не решая этого уравнения, найти гипотенузу треугольника.

1616.  Сократить дробь  Убедившись в том, что ее числитель и  знаменатель  среди  своих корней имеют мнимую единицу i .

1617.  Определить коэффициенты р и q многочлена x5 + 3x3 + рx2 + qx + 2 ,  если  известно,   что  при делении  его  на x2  + 2 в остатке получается х + 1.

1618.  Указать   все    значения   х,   для   которых    выражение √logx2 — log2x принимает действительные значения.

1619.  Решить систему уравнений

1620.  Решить уравнение | x2 — 3| х | +1 | = 1.

1621.  Корни уравнения ax2  + bx + c = 0 действительны.   Увеличим меньший корень и уменьшим больший корень на единицу. Составить новое квадратное уравнение, для которого полученные два числа являются корнями.

1622.     При    каких    значениях   х   график    функции  расположен не ниже оси   абсцисс?

1623.  Указать  такие  значения х,   при   которых   неравенство y2 — (5х—1)(у—1) > 0    выполняется   для   всех   действительных значений у.

1624.   Решить уравнение

1625.   Решить неравенство

log2(x+ l) > logx+116

1626.  Показать,  что график функции

ни в одной точке не пересекает оси Ох.

1627.  Решить неравенство

1628.  При каких значениях х график функции , расположен не ниже прямой у=1?

1629.  При каких целых значениях а неравенство

21og0,5a — 3 + 2х1og0,5a x2   < 0

выполняется в любой точке оси Ох?

1630.   Решить уравнение

1631.  Найти  углы α , β  и γ  первой четверти,   если  известно, что они составляют арифметическую прогрессию с разностью π/12, а их тангенсы составляют геометрическую прогрессию.

1632.  Указать   все  точки   на   оси Ох,   в   которых   функция  не определена.

1633.  Длины сторон  остроугольного треугольника  составляют арифметическую прогрессию с разностью в 5 см. Найти наибольшее   число,   обладающее  следующим  свойством:   длина  большей стороны любого треугольника указанного выше типа — не меньше этого числа.

1634.   Найти длины  меньших  сторон  всех   тупоугольных треугольников, у  которых  стороны выражаются целыми   числами и составляют арифметическую прогрессию с разностью 3 см.

1635.   Найти точки пересечения  графика  функции y = xlg x — 10000 x3 с осью абсцисс.

1636.  Определить    при каком   значении   k   график   функции y = lg kx — 2lg(x + 1)  имеет только  одну  общую точку с осью абсцисс.

1637.  Многочлен  x8 —16   представить   в   виде   произведения многочленов с действительными коэффициентами не выше  второй степени.

1638.   Решить неравенство

1og0,5(2x—1)> x —1.

1639. Решить неравенство

logx—3(x —1) < 2.

1640.  Какое наименьшее число градусов может содержать плоский угол трехгранного угла, обладающего следующим свойством: каждый из трех плоских  углов  содержит целое число   градусов, причем  эти  три  числа  составляют   арифметическую   прогрессию с разностью 50?

1641.  Составить  уравнение   второй  степени,   корни   которого являются числами, обратными по отношению к квадратам корней уравнения

ax2  + bx + c = 0

1642.   Найти sin 2x, если   х принадлежит первой четверти и 0< m <  1.

1643.   Число х1 = — 3 + i служит корнем уравнения х32+ах+b = 0. Найти а и b и отыскать два других корня данного уравнения  (предполагается,   что а и b — числа   действительные).

1644.   Решить уравнение

1645.  Найти  коэффициенты  a,   b   и  с многочлена   х3+aх2+bх+c ,   если   известно,   что  он   нацело  делится   на   трехчлен х2 — 3х + 2, а при делении на двучлен х + 1 дает в остатке (— 24).

1646.   Найти такие значения λ ,   при которых оба корня трехчлена

(λ  — 1) х2 + (λ  — 3) х+ (λ  — 2)      положительны.

1647.   Найти х из уравнения

2x+2 + 2x+1+ 2x + 2x— 1 + ... = 3x+3  + 3x+2  + 3x+1  + 3x + ...

1648.  Решить систему уравнений

1649.  Решить систему уравнений

(предполагается, что | х |< 1, | у | < 1).

1650.  Найти действительные корни уравнения

(х — 1)(x9 + x8 + ...+ x2 + x+1) = x5 + 991.

1651.  Исключить р и q из равенств

1652.  Для  каких   значений  х  график   функции  у = х + 3 + √ (х+1)(х+7)  расположен ниже оси абсцисс?

1653.  Решить уравнение

x4 — (2а + 6)x3 + (а2+ 8а + 13) x2 — (2а2 + 12а + 14) х +  (2а2 + 8а + 6) = 0,

если известно, что одним из его корней является число x1 = 1 + i

1654.   Определить z, если известно, что

tg α = 3z,   tg β = 3z  и α — β = π/6.

1655.   Найти   коэффициенты   т и п   квадратного    трехчлена х2+ тх + п, если известно, что его остатки при делении на двучлены х — т и х — п соответственно равны т и п.

1656.  Составить   уравнение   второй  степени   с  корнями   x1= 2α + 3β и x2= 3α + 2β,   если α и β  являются, корнями уравнения ax2  + bx + c = 0.

1657.  Проверить, что число 3 + 4i является корнем уравнения

и найти все другие его корни.

1658.  Одна из сторон пятиугольника содержит 30 см. Остальные стороны выражаются в целых числах и составляют  арифметическую прогрессию с разностью 2 см, причем меньшая из этих сторон не превышает 7 см. Найти стороны всех пятиугольников, для которых выполняется это условие.

1659.  Решить систему неравенств

1660.  Для каких значений т неравенство

x2 — (8m — 2)x +15m2 — 2m — 7>0

выполняется а) при всех действительных значениях х?; б) при всех действительных значениях х, кроме одного?

1661.  Исключив и и v из равенств

и — v = a,

и2 — v2 = b,

и3 — v3 = с,

найти соотношение между а, b и с.

1662.  Решить уравнение

x4 — 10x3 + 36x2 — 58x + 35 = 0,

если известно, что число 2+i служит одним из его корней.

1663.  Определить, при каких значениях а уравнение

x3+(а2 — 1)x2 + (3а— 1)x+ 1=0

имеет корень, равный единице.Решить уравнение при этих значениях а.

1664.  Показать, что

log2cos 20° +  log2 cos 40° + log2 cos 80° = — 3.

1665.   На графике функции  найти точку, ордината   которой   в  два   раза  больше ее  абсциссы  (сам  график строить не обязательно).

1666.  Проверить, что число  является корнем уравнения x3+ 12x — 8 = 0.

1667.  Найти отношение двух положительных чисел, если отношение среднего арифметического   этих чисел к их среднему  геометрическому равно , где т и п — известные числа.

1668.  Показать,   что если  коэффициенты  а, b и с  уравнения ax2  + bx + c = 0  связаны условием 2b2 — 9ас = 0, то один из корней уравнения в два раза больше другого.

1669.   Решить систему уравнений

1670.  Показать, что если один  корень  уравнения ax2  + bx + c = 0  в три раза  больше другого,   то коэффициенты  а, b и с  связаны условием 3b2 —16ас=0.

 

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz