ГЛАВА 9
ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО ХАРАКТЕРА
Группа Б
1581. Определить, для каких положительных значений а неравенство
не выполняется ни при каких значениях z.
1582. При каких значениях а решения (х, у) системы уравнений
таковы, что х > 0, а у < 0?
1583. При каких значениях график функции y = lg | tg х | расположен ниже оси абсцисс?
1584. Найти отношение двух чисел, если отношение их среднего геометрического к среднему арифметическому равно 3/5.
1585. Выразить х и у через а и b так, чтобы значение величины было средним арифметическим между х и у и средним геометрическим между а и b.
1586. Решить уравнение
| х — 1|• |х + 2| = 4.
1587. Решить уравнение
| x | + | х — 1| =1.
1588. Решить неравенство
|х + 1| > 2|х + 2|.
1589. Найти все целые значения х, при которых выражение
является действительным числом.
1590. При каких значениях а уравнение
x2 — (2а — 1 )x — 3 (4а—1 — 2а—2) = 0
имеет равные действительные корни?
1591. При каких значениях х член разложения (3√tg x + ctg x), содержащий наибольший коэффициент, равен 60?
1592. Найти натуральные значения х, удовлетворяющие неравенствам
1593. Найти те значения х, при которых обе функции
y = x4 — 29x2 + 100 и y = x4 — 9x2
одновременно положительны.
1594. При каких значениях x комплексные числа
lg (2x + x +1) + i • 4x и lg (x2 +1) + i (2x+1 — 3)
будут взаимно сопряженными?
1595. При каких значениях а трехчлен x2— 2a+2• x — 2a+3+ 12 принимает положительные значения при любых действительных значениях х ?
1596. Найти неотрицательные значения х, удовлетворяющие неравенству
1597. При каких значениях р уравнение
имеет неотрицательные корни?
1598. При каких значениях т может выполняться равенство
1599. При каких значениях а равенство возможно,
если 0 < φ < π/4 ?
1600. При каких значениях т система уравнений
имеет такие решения (х, у), для которых х — у < 2?
1601. При каких значениях р система уравнений
имеет неотрицательные решения?
1602. Число 19 представить в виде разности кубов натуральных чисел. Показать, что такое представление единственно.
1603. Найти два натуральных числа из того условия, что их отношение заключено между 1 и 2, а произведение — между 4 и 7.
1604. Найти действительную и мнимую части комплексного числа а, если известно, что a2 = 3 + 4i.
1605. При каких значениях х сумма третьего и седьмого членов разложения
(√cos x + √sin x)8 равна 7?
1606. Многочлен x4 — x3—11x2 + 31x — 20 разложить на множители с действительными коэффициентами, воспользовавшись тем, что один из его корней равен 2 + i.
1607. Доказать, что если для чисел х, у, z, m, n, p выполняются равенства то для них выполняется также и равенство
1608. Решить уравнение аx3 + bx2 + cx + d = 0, если его коэффициенты а, b, с и d в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q.
1609. Найти log24 54, если log23 = a.
1610. Проверить, что число является корнем уравнения x3 — 3x — 2а = 0.
1611. Определить, при каких значениях λ неравенство
выполняется для всех значений х, кроме одного.
1612. При каких значениях х и у возможно равенство 3lg(2x — y) = 1, если известно, что x2 — y2 > 0?
1613. Найти х, если известно, что
tg α = х + l,
tg β = x — l,
tg (2α + 2β) = —4x/3.
1614. Каково наибольшее значение функции y = sin x + cos x ? При каких значениях х оно достигается?
1615. Катеты некоторого прямоугольного треугольника служат корнями уравнения Аx2 + Вx + С = 0. Не решая этого уравнения, найти гипотенузу треугольника.
1616. Сократить дробь Убедившись в том, что ее числитель и знаменатель среди своих корней имеют мнимую единицу i .
1617. Определить коэффициенты р и q многочлена x5 + 3x3 + рx2 + qx + 2 , если известно, что при делении его на x2 + 2 в остатке получается х + 1.
1618. Указать все значения х, для которых выражение √logx2 — log2x принимает действительные значения.
1619. Решить систему уравнений
1620. Решить уравнение | x2 — 3| х | +1 | = 1.
1621. Корни уравнения ax2 + bx + c = 0 действительны. Увеличим меньший корень и уменьшим больший корень на единицу. Составить новое квадратное уравнение, для которого полученные два числа являются корнями.
1622. При каких значениях х график функции расположен не ниже оси абсцисс?
1623. Указать такие значения х, при которых неравенство y2 — (5х—1)(у—1) > 0 выполняется для всех действительных значений у.
1624. Решить уравнение
1625. Решить неравенство
log2(x+ l) > logx+116
1626. Показать, что график функции
ни в одной точке не пересекает оси Ох.
1627. Решить неравенство
1628. При каких значениях х график функции , расположен не ниже прямой у=1?
1629. При каких целых значениях а неравенство
21og0,5a — 3 + 2х1og0,5a —x2 < 0
выполняется в любой точке оси Ох?
1630. Решить уравнение
1631. Найти углы α , β и γ первой четверти, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию с разностью π/12, а их тангенсы составляют геометрическую прогрессию.
1632. Указать все точки на оси Ох, в которых функция не определена.
1633. Длины сторон остроугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью в 5 см. Найти наибольшее число, обладающее следующим свойством: длина большей стороны любого треугольника указанного выше типа — не меньше этого числа.
1634. Найти длины меньших сторон всех тупоугольных треугольников, у которых стороны выражаются целыми числами и составляют арифметическую прогрессию с разностью 3 см.
1635. Найти точки пересечения графика функции y = xlg x — 10000 x3 с осью абсцисс.
1636. Определить при каком значении k график функции y = lg kx — 2lg(x + 1) имеет только одну общую точку с осью абсцисс.
1637. Многочлен x8 —16 представить в виде произведения многочленов с действительными коэффициентами не выше второй степени.
1638. Решить неравенство
1og0,5(2x—1)> x —1.
1639. Решить неравенство
logx—3(x —1) < 2.
1640. Какое наименьшее число градусов может содержать плоский угол трехгранного угла, обладающего следующим свойством: каждый из трех плоских углов содержит целое число градусов, причем эти три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью 50?
1641. Составить уравнение второй степени, корни которого являются числами, обратными по отношению к квадратам корней уравнения
ax2 + bx + c = 0
1642. Найти sin 2x, если х принадлежит первой четверти и 0< m < 1.
1643. Число х1 = — 3 + i служит корнем уравнения х3+х2+ах+b = 0. Найти а и b и отыскать два других корня данного уравнения (предполагается, что а и b — числа действительные).
1644. Решить уравнение
1645. Найти коэффициенты a, b и с многочлена х3+aх2+bх+c , если известно, что он нацело делится на трехчлен х2 — 3х + 2, а при делении на двучлен х + 1 дает в остатке (— 24).
1646. Найти такие значения λ , при которых оба корня трехчлена
(λ — 1) х2 + (λ — 3) х+ (λ — 2) положительны.
1647. Найти х из уравнения
2x+2 + 2x+1+ 2x + 2x— 1 + ... = 3x+3 + 3x+2 + 3x+1 + 3x + ...
1648. Решить систему уравнений
1649. Решить систему уравнений
(предполагается, что | х |< 1, | у | < 1).
1650. Найти действительные корни уравнения
(х — 1)(x9 + x8 + ...+ x2 + x+1) = x5 + 991.
1651. Исключить р и q из равенств
1652. Для каких значений х график функции у = х + 3 + √ (х+1)(х+7) расположен ниже оси абсцисс?
1653. Решить уравнение
x4 — (2а + 6)x3 + (а2+ 8а + 13) x2 — (2а2 + 12а + 14) х + (2а2 + 8а + 6) = 0,
если известно, что одним из его корней является число x1 = 1 + i
1654. Определить z, если известно, что
tg α = 3z, tg β = 3—z и α — β = π/6.
1655. Найти коэффициенты т и п квадратного трехчлена х2+ тх + п, если известно, что его остатки при делении на двучлены х — т и х — п соответственно равны т и п.
1656. Составить уравнение второй степени с корнями x1= 2α + 3β и x2= 3α + 2β, если α и β являются, корнями уравнения ax2 + bx + c = 0.
1657. Проверить, что число 3 + 4i является корнем уравнения
и найти все другие его корни.
1658. Одна из сторон пятиугольника содержит 30 см. Остальные стороны выражаются в целых числах и составляют арифметическую прогрессию с разностью 2 см, причем меньшая из этих сторон не превышает 7 см. Найти стороны всех пятиугольников, для которых выполняется это условие.
1659. Решить систему неравенств
1660. Для каких значений т неравенство
x2 — (8m — 2)x +15m2 — 2m — 7>0
выполняется а) при всех действительных значениях х?; б) при всех действительных значениях х, кроме одного?
1661. Исключив и и v из равенств
и — v = a,
и2 — v2 = b,
и3 — v3 = с,
найти соотношение между а, b и с.
1662. Решить уравнение
x4 — 10x3 + 36x2 — 58x + 35 = 0,
если известно, что число 2+i служит одним из его корней.
1663. Определить, при каких значениях а уравнение
x3+(а2 — 1)x2 + (3а— 1)x+ 1=0
имеет корень, равный единице.Решить уравнение при этих значениях а.
1664. Показать, что
log2cos 20° + log2 cos 40° + log2 cos 80° = — 3.
1665. На графике функции найти точку, ордината которой в два раза больше ее абсциссы (сам график строить не обязательно).
1666. Проверить, что число является корнем уравнения x3+ 12x — 8 = 0.
1667. Найти отношение двух положительных чисел, если отношение среднего арифметического этих чисел к их среднему геометрическому равно , где т и п — известные числа.
1668. Показать, что если коэффициенты а, b и с уравнения ax2 + bx + c = 0 связаны условием 2b2 — 9ас = 0, то один из корней уравнения в два раза больше другого.
1669. Решить систему уравнений
1670. Показать, что если один корень уравнения ax2 + bx + c = 0 в три раза больше другого, то коэффициенты а, b и с связаны условием 3b2 —16ас=0.
ОТВЕТЫ
|