ГЛАВА 9

ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО ХАРАКТЕРА

Группа В

1671.   Показать, что

log0,5 sin 70°+ log0,5 sin 50° + log0,5 sin 10° = 3.

1672.  Показать,   что равенство ab = c выражает   необходимое и достаточное условие того, что среди корней уравнения

х3+ ах2+ bx + c = 0,   с =/=0

содержатся два числа, отличающиеся друг от друга только знаком.

1673.   На биссектрисе первого — третьего   координатных углов найти  точку,   координаты  которой   удовлетворяют системе уравнений

1674.  Два   квадратных   трехчлена   с   одинаковыми   старшими коэффициентами не имеют  общих   корней.   Корни   первого  трехчлена по очереди подставлены  во  второй и результаты   перемножены; корни второго трехчлена подставлены в первый и   результаты  тоже  перемножены.   Найти   отношение   получающихся при этом двух чисел.

1675.   Найти все восемь корней многочлена х8—16.

1676.  Исключить и n из равенств

а = m2 — n2,

b = 2тп,

с = m2 + n2

1677.  Преобразованием левой части проверить, что

1678.   Решить   уравнение   12х3+ 4х2 — 17х + 6  = 0,   если   известно,   что  среди   его  корней   имеются  два   числа,   абсолютные величины которых обратны, а знаки противоположны.

1679.  Коэффициенты уравнения пятой степени, расположенного по убывающим  степеням  искомой  величины,   составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q.   Найти все пять корней этого уравнения.

1680.  Найти положительные решения, системы уравнений

например, с помощью подстановки

1681.   Решить систему уравнений

например, с помощью подстановки

1682.   Найти решения системы уравнений

например, с помощью подстановки

1683.   Найти аир для комплексных чисел x  =  α +  βi,  являющихся корнями уравнения

х2 — 3х +  (3 + i) = 0.

1684.   Решить уравнения

2х3 —5х2 + 6х —2 = 0

и

6х3 — 3х2 —2х + 1 = 0,

если известно, что они имеют общий корень.

1685.   Написать   уравнение   третьей   степени   по   его   корням x12, x1x2  и x22,  если  числа  x1 и x2  являются   корнями   уравнения  x2  + px + q = 0.

1686.   Решить уравнения

x3 — 6x2 — 39x — 10 = 0

и

x3 + x2 — 20x — 50 = 0,

если известно, что один из корней первого уравнения в два раза больше одного из корней второго уравнения.

1687.   Решить уравнения

x4x3 — 22x2 + 16x +  96 = 0

и

x3 — 2x2 — 3x + 10 = 0,

если известно, что у них есть общий корень.

1688.   Решить уравнение

x3 — 3√3  x2 + 7x — √3  = 0,

если   известно,   что  один   из  его  корней отличается  от другого на √2 .

1689.  Решить   уравнение  8x3+4x2 — 34x+15 = 0,   если   известно, что два  из его  корней x1 и x2 удовлетворяют  соотношению 2x1 — 4x2 = 1.

1690.  Найти действительную и мнимую части   хотя бы одного такого комплексного числа а, для которого

а3= 2—11i.

1691.   Найти целое число х из условия:

(30,5 + 34 )x  = 13,5.

1692.  Для каких значений х выполняется равенство

1693.  Составить   уравнение  четвертой  степени с  корнями x1x2, , если x1и x2 — корни уравнения

ax2  + bx + c = 0      (с =/= 0).

1694.  Для каких значений х выполняется равенство

1695.  Показать,   что если  коэффициенты членов   кубического уравнения, расположенных в порядке убывания степеней искомой величины,   составляют  геометрическую  прогрессию,   то  и   корни уравнения также составляют геометрическую   прогрессию со знаменателем i.

1696.   Решить уравнение

4 (log2cos x)2 + log2 (1 + cos 2x) = 3.

1697.  Проверить преобразованием левой части, что

1698.  Показать, что если график функции у = x3  + px 2+ qx + r проходит через точки  (2, 0), (1, 1) и (0, 4),   то ось  абсцисс он пересекает только в первой из них.

1699.  Проверить,   что  число 2 — √3    является корнем   уравнения

x2 + 41 = 14x + 10/x,

и найти все остальные его корни.

1700.  Решить уравнение

x4 — 6x3 + 7x2 + 6х — 2 = 0,

если известно, что оно имеет по крайней мере одну пару корней, разность между которыми равна единице.

1701.  Проверить,   что числоявляется корнем уравнения arctg xπ/12

1702.  Проверить, что число х = √6  — √3  + √2  — 2  является корнем уравнения  arctg xπ/24

1703.  Решить уравнение 3x3 + 2√3 x2 — 21х + 6√3  = 0, если известно, что произведение двух его корней равно единице.

1704.  Указать все значения х, для которых выполняется неравенство  (рассмотреть два случая: а> 1 и 0<а< 1).

1705.  Выяснить, для каких значений х справедливо равенство

если известно, что один из корней первого уравнения в два раза меньше одного из корней второго уравнения.

1709.  Число 2 разложить на сумму четырех различных положительных дробей вида 1/n, где п — натуральное число.

1710.   Найти все три корня уравнения аx3 + bx2 + cx + d = 0, если его коэффициенты удовлетворяют условию ad = bc.

1711. Найти произведение корней уравнения

1712.   Найти коэффициенты а, b и с многочлена

x4x3 + ax2  + bx + c,

если известно, что он без остатка делится на многочлен

x3 — 2x2 — 5x + 6.

1713.  Если остатки от деления некоторого многочлена на двучлены   х + 1 и   х —1  равны   соответственно  —1 и  1,   то  чему равен остаток от деления того же многочлена на x2 — 1?

1714.   Решить уравнение

| х+ 1 | + |х —1| = 2.

1715.   Показать, что условие тb2 — (т + 1)2ас = 0,   т =/= 0 является необходимым  и  достаточным для  того,   чтобы отношение корней уравнения ах2 + bх + с = 0 было бы равно т.

1716.   В конечной геометрической прогрессии известны ее первый член а, последний член b и сумма S всех ее членов. Найти сумму квадратов всех членов этой прогрессии.

1717.   Решить    уравнение   2ах3 — (2а2 +  a + 2)х2 + (а2 + 2a + 1)х — а = 0, если известно, что произведение двух из его корней равно единице.

1718.  Показать,   что для  всякой арифметической   прогрессии при любом п выполняется равенство

S2n = Sn+ 1/3 S3n

(Sk — сумма k первых членов прогрессии).

1719.   Решить систему уравнений

1720.  Решить уравнение

х3 — (2 + 2i) х2 + 3ix + (1 — i) = 0,

предварительно убедившись в том, что число служит  одним из его корней.

1721.   Найти х из уравнения

3 — (a— l)2х2— (2a2a + 2)х + 2a = 0.

1722.   1. Пусть числа x1,  x2 и x3 служат корнями   многочлена аx3 + bx2 + cx + d. В таком случае имеет место тождество

аx3 + bx2 + cx + d= а(xx1) (xx2) (xx3).

Воспользоваться этим тождеством для получения формул,  связывающих корни и коэффициенты данного многочлена.

2. С помощью формул, полученных в п. 1, найти корни x1,  x2 и x3 уравнения

8x3 — 20x2—10x + 33 = 0,

составив и решив новое кубическое уравнение с корнями  x1+ x2 , x2+ x3 и  x3+ x1

1723.  Доказать, что   ни   при   каких  действительных  значениях т комплексное число

log2 (m2 — 13m + 44) — 2 + ilog2m — 3

не может быть чисто мнимым.

В примерах 1724—1727 решить уравнение:

1728.  При каких значениях х функция

y  = 2(1 + sin 2x • sin3x) —1/2(cos 4x + cos 6x)

достигает наименьшего значения? Каково это значение?

1729.  Найти наибольшее значение функции

1730.  Дано  уравнение x2 + αx + β = 0.   Не   вычисляя корней этого уравнения, составить  второе   квадратное уравнение, корни которого были бы   равны  квадратам   корней данного уравнения. Доказать, что если α — рационально и α =/= 0, то из иррациональности корней данного уравнения следует иррациональность корней составленного уравнения.

1734.  Определить, при каких значениях а все корни уравнения

x3ах + (2а — 8) = 0 действительны.

1739.  Составить уравнение с   целыми коэффициентами, одним из корней которого было бы число  √2  + √3  . Степень   уравнения безразлична, но желательно, чтобы она была не выше четвертой.

1740.   1. Пусть x1,  x2 и x3 — длины ребер, выходящих из одной вершины некоторого прямоугольного параллелепипеда. Составить уравнение третьей степени с корнями x1,  x2 и x3 и выяснить геометрический смысл его  коэффициентов.

2. Найти длины ребер такого прямоугольного параллелепипеда, у которого сумма всех ребер, полная поверхность и объем соответственно равны 48 см, 88 см2 и 48 см3.

1741.   Решить уравнение

| lg2(l — 9x) + lg(l — 9x) — 2| =2— lg(l — 9x) — lg2(l — 9x).

1742.   При   помощи   цифр а   и   b, таких,   что а2   и   b2  также являются   цифрами,   составлены   две   десятичные   периодические дроби 0, (ab) и 0, (b2а2 ). Найти  а   и   b из того условия, что 0, (ab) = 4/33 ,  а  0, (b2а2 ) =41/99.

1743.   Решить уравнение

36x3 — 72x2 +  47x — 10 = 0,

воспользовавшись тем, что  его  корни являются   длинами cторон некоторого прямоугольного  треугольника.

1744.   При каких значениях х функция

у = sec2x + ctg2x +1

достигает наименьшего значения? Найти  это значение.

1745.  Длины ребер, исходящих из общей вершины некоторого прямоугольного параллелепипеда,   являются   корнями уравнения

аx3 + bx2 + cx + d= 0.

Определить длину диагонали этого параллелепипеда.

1746.  Решить уравнение

(cos 2х + i sin 2x)3   +  (cos xi sin x)2 — 2 = 0.

1747.  Дана окружность радиуса   1 c  центром в начале координат. На окружности взяты три  точки на   равных расстояниях друг от друга. Показать, что комплексные числа, соответствующие этим точкам, образуют  геометрическую  прогрессию.   Найти знаменатель этой прогрессии.

1748.   Показать, что  для   всякого   натурального   числа п выполняется равенство  И  с его помощью решить уравнение

1749.   Катеты   некоторого   прямоугольного   треугольника   являются корнями уравнения

Аx2х + С = 0,    (A>0).

Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1750.   В уравнении

x3 — 12x2 + rnx — 60 = 0

найти коэффициент т из того  условия, что  корни этого уравнения являются сторонами некоторого прямоугольного треугольника.

1751.  Найти все значения х, для которых мнимое число

[log0,5 log4 log5 (x2 + 9) — 1]i

изображается точкой, лежащей на верхней части мнимой оси.

1752.  Среднее арифметическое двух положительных чисел а и b (a>b) в т раз больше их среднего геометрического. Доказать, что

1753.   Найти площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, катеты которого являются корнями уравнения

Аx2х + С = 0.

1754.   Если loga sin 40° + loga  tg 40°+ loga sec 40° = b,   

то чему равняется loga sin 50° + loga tg 50° + loga sec 50°?

1755.  Выяснить, каким  условиям должны   подчиняться числа а и b, чтобы графики функций

у = а•2х+b

у = b•2х+а

имели бы: 1) только одну общую точку (и найти эту точку); 2) две общие точки (и найти эти точки).

1756.  Составить   уравнение   квадратичной   параболы  с   осью, параллельной   оси   ординат,   если   эта  парабола   проходит через точки (—2, —3), (—1, 2) и (1, 0). Показать, что она пересекает ось абсцисс по разные стороны от оси  ординат.

1757   Найти   действительное   число   b   из   того   условия, что точки, изображающие комплексные числа 3—5i, 1 — i  и —2 + bi, лежат на одной прямой.

1758.   Квадратичная  парабола,   ось которой   параллельна оси ординат,   проходит  через точки  (—1,   6), (0, 6) и (1, 4). Найти точки пересечения параболы с осью  абсцисс.

1759.  Доказать, что графики функций

у = m•3х+n

у = n•3х+m

при условии тп < 0 пересекаются в двух точках, из которых одна лежит на оси абсцисс, а другая  на оси ординат.

1760.   Найти такие значения а, для которых корни уравнения

log2 (x + 3) — 2 log4 x = a

были бы расположены между числами 3 и 4.

1761.   Величину   сравнить о нулем в точках x1= 0,2, x2 = 0,7 и x3 =1,2.

1762.  Определить,   при   каких   значениях   а  и   b   многочлен x4 — 3x3x2ax + b делится   на многочлен   x2 — 2x + 2:  1) без остатка, 2) с остатком, равным 1, 3) с остатком, равным х.

1763.  Выяснить, делится или не делится многочлен x4 + 2x2+ 4(1+i) на х—1+i.

1764.  Не производя деления, выяснить, делится или не делится многочлен

x4 — 11x3 + 42x2 — 64x + 32   на   многочлен   x3 — 6x2 + 11x —6.

1765.   Решить неравенство

arcsin x < arccos x.

1766.   Решить неравенство

arcsin x  < √x21 .

1767.   Найти площадь   поверхности   сферы,   описанной   около прямоугольного   параллелепипеда,   три   измерения   которого  являются корнями уравнения

x3+ax2  + bx + c = 0 .

1768.   Найти все  четырехзначные   числа, обладающие следующим свойством: если в этом числе зачеркнуть вторую слева цифру, то оставшиеся цифры, расположенные в прежнем порядке, образуют трехзначное число, равное квадрату двузначного числа, записанного двумя первыми цифрами искомого числа.

1769.  Решить неравенство

lg(x2+ 0,81) • arcsin x < 0.

1770.  Доказать, что графики функций

у = 4х — 3•2х    и    у = — (5•2х + 1)

общих точек не  имеют.

1771.   Если  logba = m и  logcb = n, то чему равен  logbcab?

1772.  Показать, что если logax,  logbx, logcx в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию, то

logab = logbc.

1773.   В некоторой геометрической прогрессии, содержащей 2п положительных членов, произведение первого члена на последний равно   1000.   Найти   сумму   десятичных  логарифмов всех членов прогрессии.

1774. Вычислить

[ 1 + 32 + 52 +... + (2п — 1 )2 +... + 1992] — [22 + 42 + 62 +... + (2п)2 + ... + 2002].

1775.  Даны два   квадратных   трехчлена,   у   которых старшие коэффициенты равны. Определить сумму остатков, получающихся при делении первого трехчлена на второй   и второго на первый.

1776.  Показать,   что  если   стороны  некоторого треугольника составляют геометрическую прогрессию, то и опущенные на них высоты также составляют геометрическую   прогрессию.

1777.  Определить целые значения к, удовлетворяющие системе неравенств

1778.  Найти  сотый   член   последовательности,   начинающейся с числа 100,   у  которой   разности   между   последующим   членом и   ему   предшествующим   составляют  последовательность  четных чисел, начинающуюся с числа 2.

1779.  Найти числа х, которые удовлетворяют уравнению

x3 + 4x2 + x — 6 = 0

и неравенству

1780.  Решить неравенство

1781.  При каких значениях коэффициента А уравнение

А sin4 х+  A cos4х + 1 =0

имеет решение?

1782.  Найти значения  х,   которые   удовлетворяют уравнению  и неравенству — 2< х <3.

1783.  Решить  уравнение  27x3 + 9x2 — 48x + 20 = 0,   если известно, что два из его корней равны друг другу.

1784.   Упростить

(Основания логарифмов, являющихся показателями корней, представляют собой подряд идущие натуральные степени числа 2.)

1785.  Доказать, что  во  всяком   прямоугольном треугольнике сумма квадратов   медиан   катетов   составляет 125%   от квадрата его гипотенузы.

1786.  Известно, что корни x1, x2, x3 уравнения

x3 — 6x2 + px + q = 0

удовлетворяют соотношению x1 :  x2 : x3 = 1 : 2 :3. Найти эти корни, а также коэффициенты   р и q.

1787.  Определить,   между   какими  двумя   наиболее близкими друг к другу целыми числами расположены коэффициенты р и q  уравнения x2  + px + q = 0 ,  если  его   корни   x1 и   x2  удовлетворяют неравенствам

—5< x1 <—4

2 < x2 < 3.

1788.   Решить неравенство

log2 log4 x + log4log2 x < — 4.

1789.   Найти    номер     наибольшего     члена     в     разложении . (√3  + √2 )100.

1790.  Положив    √a+bi  = и+vi   (b >0), выразить   и   и   v через а и b (иными словами,   получить  формулу для извлечения квадратного корня из комплексных чисел  с положительной мнимой частью). То же для случая

a—bi  ,      b >0.

1791.  Решить уравнения

            36 log23 x — 7 log2 x + 1 = 0

и              400 log43x — 21 log4 x + 1=0,

если известно, что они имеют общий корень.

1792.  Действительные числа а и b связаны  равенством

а2b — 4b = (2а)b.

Выразить а через b и b через а.

1793.   Решить   уравнение   x4 — 4x3 + 3x2 + 8x — 10 = 0,   если известно, что среди его корней имеются два действительных числа, отличающихся друг от друга лишь знаком.

1794.  Решить уравнение

2x5x4 — 2x3 + x2 — 4x + 2 = 0,

если известно,   что оно   имеет  две  пары  корней, отличающихся лишь знаком.

1795.  Решить уравнение

2 log43x — 3log42 x + 1  = 0.

1796.   Если log2 (√3  + 1) + log2 (√6 — 2) = А, то чему равна сумма

log2 (√3 —1) + log2 (√6 +2)

1797.  Найти   φ  и  т,   если   они   удовлетворяют   следующим условиям:

1798.  Найти действительные корни уравнения | х |3 + | х — 1 |3  = 9.

1799.  Найти точку пересечения параболы у = x2 + 1 и кривой у = |3x2—5|.

1800.  Найти точки пересечения  кривой  у =12x2 — 5| x | — 36 и

параболы у = 6x2 — 5х— 12.

ОТВЕТЫ

 

Используются технологии uCoz